专题05 一次函数与反比例函数（6大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题05 一次函数与反比例函数 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式稳定，主要分为以下三类： 1. 函数图象与性质基础题：通常以选择题或填空题形式出现，考查一次函数或反比例函数的图象特征、性质（增减性、象限分布）以及图象上的点的坐标特征。 2. 一次函数与反比例函数综合解答题：这是高频必考的中档解答题，分值通常在8-10分。题目通常给出一个一次函数和一个反比例函数，要求： (1) 根据交点坐标求函数解析式（待定系数法）。 (2) 求两个函数图象与坐标轴围成的三角形面积。 (3) 根据图象直接写出不等式或的解集。 (4) 涉及简单的几何变换（如平移）或与几何图形（如三角形）结合求点坐标或面积。 3. 一次函数的实际应用题：以利润、行程、方案选择等实际生活为背景，要求学生建立一次函数模型，并利用其性质（增减性、最值）解决问题。 二、命题特点 1. 基础性：待定系数法求解析式是核心考点，年年必考，要求学生熟练掌握。 2. 综合性：常将一次函数与反比例函数“捆绑”考查，并与方程、不等式、三角形面积、几何图形性质（如平行四边形、矩形、菱形）相结合，形成一道中档综合题。 3. 工具性：一次函数和反比例函数的图象与性质是解决更复杂综合问题（如二次函数、动态几何）的基础工具，其思想方法是进一步学习的基石。 4. 应用性：重视将一次函数作为建模工具解决实际问题，背景贴近生活，考查学生从文字或图表中获取信息、建立模型的能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 一次函数：解析式的求法（待定系数法）；图象的画法、k和b对图象位置和变化趋势的影响；与坐标轴的交点坐标；与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。 (2) 反比例函数：解析式的求法；图象（双曲线）的画法、和时图象的分布及增减性；k的几何意义。 (3) 综合：两个函数图象的交点问题、面积问题、不等式解集问题。 2. 能力要求： (1) 模型观念：能将实际问题中的变量关系抽象为一次函数或反比例函数模型。 (2) 运算能力：准确求出函数解析式、交点坐标、面积。 (3) 几何直观：能结合函数图象理解其性质，利用图象解决问题（数形结合）。 (4) 推理能力：能根据函数性质（如增减性）进行合理的推断和决策（如最优化问题）。 四、趋势展望 1. 情境化设计更深入：一次函数的实际应用题背景会更贴近社会热点（如“体重管理年”相关的健身器材购买、新能源车充电、垃圾分类等），数据呈现方式可能更复杂（表格、图形式）。 2. 与几何图形深度融合：一次函数与反比例函数综合题会更频繁地与平行四边形、矩形、菱形、三角形等几何图形结合，需要学生具备较高的几何分析和代数运算能力。 3. 注重过程与逻辑：对解题过程的完整性和逻辑性要求不会降低，特别是“根据图象直接写出解集”这类题目，需要明确说明判断依据。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，过好“三关”： (1) 解析式关：熟练掌握待定系数法，能根据“两点”或“点＋k”等条件快速求出一次函数和反比例函数的解析式。 (2) 图象关：能熟练在坐标系中画出一次函数和反比例函数的大致图象，并说出其性质（象限、增减性）。 (3) 面积关：掌握利用坐标系求三角形、四边形面积的常用方法，特别是“割补法”和“铅垂法”。 2. 重点攻关“一次函数与反比例函数综合题”： (1) 形成解题流程：训练学生建立“求交点→求解析式→求面积→解不等式”的标准解题流程。 (2) 强化数形结合：引导学生养成“审题看图象，解题想性质”的习惯，将代数问题与几何图象紧密联系。 (3) 精准表达：训练学生规范书写“根据图象，当……时，……的解集为……”这类问题的答案。 3. 提升实际应用能力： (1) 强化建模训练：多收集生活中的一次函数应用情境（分段计费、阶梯水电气价、利润最优化等），训练学生阅读材料、提取信息、建立函数模型的能力。 (2) 掌握最值求解：系统复习利用一次函数的增减性求最值的方法（通常结合自变量的取值范围确定）。 4. 关注跨学科融合：留意与物理、化学等学科的简单情境。 题型01 待定系数法求函数解析式 析典例·建模型 1．（2026·山东枣庄·一模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； (3)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，利用求出直线的解析式为，进一步求出； （3）根据平移的性质得到新抛物线的解析式为，过点作轴于点，连接，设，根据勾股定理可得，进而得到，再利用垂径定理得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得 ， 解得， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为， 设直线的解析式为， 代入点得， ， 直线与抛物线有且只有一个公共点 ，即， 直线与抛物线有且只有一个公共点， ， 解得， ， 当时，， ； （3）解：依题意得，新抛物线的解析式为， 过点作轴于点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、垂直平分线的判定、勾股定理、二次函数的平移、垂径定理，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 研考点·通技法 考查知识点结合： 一次函数；反比例函数 通用思路：“设→代→解→写” 1. 设：设出函数的一般形式。一次函数：；反比例函数：。 2. 代：将已知点的坐标代入所设的解析式中，得到关于待定系数的方程（组）。 (1) 一次函数需要两个点，得到二元一次方程组。 (2) 反比例函数需要一个点（不包含原点），得到一元方程。 3. 解：解方程（组）求出待定系数k、b的值。 4. 写：将求出的系数代回原设解析式，写出最终解析式。 易错提醒： 1. 注意区分一次函数和反比例函数中的k，不要混淆； 2. 代入时注意点的横、纵坐标不要代反。 破类题·提能力 2．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，已知双曲线和直线交于点和点的坐标是垂直于轴于点； (1)求双曲线和直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】1）根据待定系数法直接求解双曲线表达式，然后求出点坐标，再由待定系数法求解直线表达式； （2）设直线与轴交于点，先求出，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，双曲线经过点， ∴， ∴双曲线表达式为； 由题意得，点横坐标为， 将代入，得， ∴， 将点，代入， 则 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设直线与轴交于点， 对于，当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 3．（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，以及二次函数与三角形综合，三角形面积求法，待定系数法．在直角坐标系中“三角形的面积=水平宽铅垂高”是常用的方法． 4．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 题型02 函数图象与方程、不等式 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点轴，连接． (1)当的面积最小时，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，将直线向上平移4个单位长度，得到直线l，直线l与反比例函数的图象交于点B； ①求直线l的函数解析式； ②直接求出在第一象限内时的x的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据的面积与反比例函数关系推出，再结合二次函数最值情况分析求解出点坐标，设函数的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，将（1）中点坐标代入解析式求解，即可得到直线的解析式，再结合函数平移规律求解，即可解题； ②联立解析式求解，再结合图象找出一次函数在反比例函数下方的部分，即可求出其x的取值范围． 熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值情况，函数的平移法则是关键． 【详解】（1）解：点为反比例函数图象上的一个动点， ， ， 当时，的面积最小， ， 设函数的解析式为； ， 函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， 有，解得， 直线的解析式为， 直线向上平移4个单位长度，得到直线l， 直线l的函数解析式为； ②当时，解得， 在第一象限内时的x的取值范围为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 函数值的大小比较；交点的含义；不等式的图象解法 通用思路：“找交点，看高低” 1. 解方程（组）：两个函数图象的交点坐标，就是联立两函数解析式所得方程组的解。 2. 解不等式：对于不等式，在图象上表现为的图象在的图象上方的部分，对应的x的取值范围即为解集。反之亦然。 关键步骤： 1. 找出两个函数图象的所有交点。 2. 过交点作x轴的垂线（虚线），将x轴分成若干区间。 3. 在每一个区间内，观察哪个函数的图象在上方，从而确定解集。 方法技巧： 特别注意反比例函数图象的“不连续”性，解集通常由两个部分构成，需要用“或”连接。 破类题·提能力 2．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求和的值： (2)已知对于函数，当时，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入和，即可得和的值： （2）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交点是， ∴， 解得． （2）解：在中， 当时，， ∴过点， 在中， 当时，， 把代入，得， 当时，直线与直线平行， ∵当时，， ∴． 3．（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 4．（2026·山东菏泽·一模）已知一次函数，二次函数． (1)求证：二次函数的顶点坐标在一次函数的图象上； (2)若函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，都在（2）中的函数的图象上，且，求的取值范围．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将转换为顶点式，即可得出其顶点表达式，代入，即可求证； （2）得出新函数的表达式及其对称轴所在直线，根据二次函数的图像和性质，得出，求解该不等式即可； （3）先得出点关于对称轴的对称点的坐标，根据二次函数性质得出对应不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， ∴的顶点坐标为， 当时，， 故二次函数的顶点坐标在一次函数的图象上； （2）解：函数， 对称轴为直线， ∵， ∴该图象开口向上， ∴， 解得； （3）解：∵点的横坐标为，的对称轴为， ∴点在对称轴右侧图象上， 点关于对称轴的对称点的坐标为， ∵， ∴根据图象可得． 题型03 与坐标轴围成的图形面积 析典例·建模型 1．（2026·山东聊城·一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①的面积为______； ②当时，自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)，； (2)①；②或 【分析】（1）先将点代入求出反比例函数解析式，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①先求出点的坐标，再结合求解即可；②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得，， 解得：， 反比例函数， 当时，， 解得：， ， 将点，代入一次函数可得， ，解得：， 一次函数； （2）解：①令，则， ， ②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则当时，自变量x的取值范围为或． 研考点·通技法 考查知识点结合： 函数与坐标轴的交点；割补法求面积 通用思路：“底乘高除以2”或“割补法”。 1. 三角形：优先选择坐标轴上的边作为底边，底边长度好求，高就是另一个顶点的横坐标或纵坐标的绝对值。 2. 四边形：通常用“割”或“补”的方法将其转化为几个三角形面积的和或差。 3. 常用的“铅垂法”：，其中“水平宽”是两点的水平距离，“铅垂高”是两点的垂直距离。 关键步骤： 1. 找出构成图形的所有交点（与坐标轴的交点、函数图象的交点）。 2. 判断图形形状，选择合适的求面积方法。 3. 计算各线段的长度（点的坐标相减取绝对值）。 4. 代入面积公式计算。 易错提醒：注意三角形面积公式中的；用点坐标求线段长时，要加绝对值。 破类题·提能力 2．（2025·山东济南·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】对于（1），先求出反比例函数的解析式，可得点B的坐标，再代入直线关系式得到方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点G，再设，则，然后根据可求出答案； 对于（3），设交轴于点，先求出点，再求出，，然后证明，求出，进而求出直线的解析式，最后与反比例函数关系式联立求出解即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入，解得， ， 把和分别代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线交轴于点，如图1， 令得， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图2，设交轴于点， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴. ∵，， ∴，. ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，用面积差表示出是解题的关键． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 4．（2026·山东济南·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 因此点的坐标为：； （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 题型04 一次函数的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温随加热/保温时间的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温会上升，此时水温是加热/保温时间的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温会先下降，此时水温是加热/保温时间的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温是加热/保温时间的一次函数，加热效率与之前一致． (1)若起始水温为，水温第一次升至预设的最高温度用时，然后水温第一次降至预设的最低温度，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，小明计划洗澡，要求水温不低于，若他在当天时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)当时，解析式为；当时，解析式为 (2)他洗澡时水温符合要求，理由见详解 【分析】（1）根据不同阶段水温的变化情况，分别确定一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据（1）中求出的函数表达式，计算出在给定时间内水温的变化情况，判断是否符合要求． 【详解】（1）解：当时， ∵起始温度为，y是x的一次函数， ∴设． 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时， ∵y是x的反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时，代入中，可得， 解得， ∴水温第一次下降阶段的函数关系式为， 综上所述，当时，解析式为；当时，解析式为． （2）解：根据题意设第二次加热过程中的函数解析式为， 把代入得：， 把，代入得：， ∴第二次加热过程中的函数解析式为， ∵到经过38分钟， 把代入得：， ， ∴符合要求． 研考点·通技法 考查知识点结合： 利润、行程、方案、最优化 通用思路：“审题→建模→求解→检验→作答”。 1. 审题：明确变量（自变量、因变量）的含义及变化关系，特别注意分段函数的自变量的取值范围。 2. 建模：根据数量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间、利润=（售价-进价）×销量）或图象上的点，建立一次函数模型。 3. 求解：利用函数性质求解，如通过、判断增减性，结合自变量取值范围求最值。 4. 检验：检查解是否符合实际意义。 方法技巧： 1. 分段函数：注意不同的自变量取值范围，函数的表达式可能不同，解题时要分段讨论。 2. 方案选择：当有多种方案（多个一次函数）时，通过解不等式等来确定最优方案。 3. 利用图象：读懂行程图、利润图等图象的坐标轴、拐点、交点的意义。 破类题·提能力 2．（2026·山东临沂·一模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出速度随时间变化的正比例函数解析式，再代入到达斜面底端的时间，即可求出此时的速度； （2）先根据小球在水平面上的匀减速运动，求出速度随时间变化的一次函数解析式，再令速度为0，求出小球停止的总时间，减去斜面运动时间，即可得到水平面上的运动时长． 【详解】（1）解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； （2）设小球在水平面上滚动时的速度函数为， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 3．（2026·山东济南·一模）为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． (1)求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ (2)该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】(1)共享单车单价500元，共享电动车单价700元 (2)采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元 【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，根据“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．”列出方程，即可求解； （2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解， 共享电动车单价：（元）， 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． （2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆， ， 又， ， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， （元）， 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元． 4．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 【答案】(1) (2) (3)够用，见解析 【分析】（1）由题意得，顶点，，再由待定系数法求解即可； （2）设直线表达式为：,与抛物线联立得，，整理得，，根据直线与抛物线有一个交点，则，即可求解； （3）先求出，，则，设装饰木条和支架的总长度为，设，则，则，再求出，然后根据二次函数的性质求解的最大值与比较． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设抛物线表达式为 将代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴设直线表达式为： 与抛物线联立得，， 整理得，， ∵直线与抛物线有一个交点， ∴ 解得， ∴直线表达式为：； （3）解：够用，理由如下： 将代入得， ∴， 将代入得， 解得 ∴ ∴， 设装饰木条和支架的总长度为， 设，则， ∴ 当时，， 解得 ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，， 答：米的木条够用． 题型05 一次函数与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·山东淄博·一模）如图，过点分别作，轴的平行线，交曲线于，两点，的面积为． (1)求的值； (2)如图，，，分别为直线和图象第一象限上的点．求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出点、的坐标，进而表示出和，利用的面积构造方程求出的值即可； （2）设直线交轴于点，交轴于点，由垂线段最短可知，当时，最小，此时过点作轴的平行线，交直线于点，设点的坐标为．容易得出，，，通过可得，变形得，当，即时，取得最小值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 由图可知，点在反比例函数的图象上方，即， ∴； （2）解：设直线交轴于点，交轴于点， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 当时，如图，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 在直角中，， ∵轴， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当，即时，取得最小值． 研考点·通技法 考查知识点结合： 平移、对称、平行四边形、三角形 通用思路：“代数运算与几何性质互推” 1. 设点坐标：通常设出动点（在函数图象上）的坐标，用一个字母表示。 2. 表示线段长：根据点坐标表示出相关线段的长度。 3. 建立几何关系：利用题目中的几何条件（如平行四边形对边平行且相等、面积关系、全等、相似、直角等）列出方程。 4. 解方程：求解方程得到点的坐标或待定系数的值。 关键步骤：“设点→表示→建等量→求解” 核心工具： 1. 两点间距离公式； 2. 中点坐标公式； 3. 平行四边形的判定和性质。 破类题·提能力 2．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 3．（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的表达式为，得出，求出，过点M作 轴交的延长线于点D，证明，联立抛物线和直线的表达式求出（舍去）或，即可得点，求出直线的表达式，根据轴，得出，求出点，根据，列出方程，求解即可； （3）根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下，根据点是抛物线上的两点，得出，分三种情况：①当时，即，②当时（即），③当时（即），分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：根据（1）可得抛物线的表达式为， ∴， 令，解得：或， ∴， 过点M作轴交的延长线于点D， 则， ∵恰好平分，即， ， ， 联立抛物线和直线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 当时，， 即点， 设直线的表达式为， 代入点的坐标得， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，则， 当，则， 即点， ∵，由的坐标得：， 则， 解得：； （3）解：根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下， ∵点是抛物线上的两点， ∴， 分情况讨论：①当时，即， 此时，最高点为顶点， 最低点由和的较小值决定： 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（不在范围内，舍去）． 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（均不符合区间条件）． ②当时（即）， 此时y随x的增大而增大，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（正值舍）． ③当时（即）， 此时y随x的增大而减小，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（负值舍）． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理，一次函数解析式求解，二次函数最值，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 题型06 反比例函数k的几何意义 析典例·建模型 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设点，结合轴，得出，根据面积公式以及的面积为12，进行列式计算，即可作答． （2）先得出，再代入反比例函数求出，假设存在点使得四边形为平行四边形， 结合平行四边形以为对角线，列式计算得，因为，即不在反比例函数的图象上． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， 设点， ∵轴， 则点， ∴ ∵ 点， 的面积为12， ， 解得， ∴k的值为． （2）解：不存在． 理由如下： ，， ∴， 由（1）得k的值为． 把代入 得， ， 由（1）得k的值为． 把代入，得， 得， 假设存在点使得四边形为平行四边形， 根据题意得，平行四边形以为对角线， ，， ， ∵ 即不在反比例函数的图象上． 研考点·通技法 考查知识点结合： 矩形或三角形的面积与k的关系 通用思路：“面积转化为” 1. 过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于。 2. 过反比例函数图象上任意一点向一条坐标轴作垂线，与原点构成的三角形面积等于。 核心公式： 1. 2. 关键步骤： 1. 找到反比例函数图象上的点。 2. 过该点作x轴或y轴的垂线，构建矩形或三角形。 3. 利用面积公式建立关于k的方程。 4. 根据函数图象所在的象限（在一、三象限，在二、四象限）确定k的符号，进而求出k值。 易错提醒： 注意面积是，不要忘了绝对值；当矩形或三角形被坐标轴分割时，要注意面积的转化。 破类题·提能力 2．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解； （3）根据题意得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， k的值为6； （2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B， ∵点 ∴， ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 的面积为； （3）解：的面积为．理由： ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ， 的面积是． 3．（2024·山东淄博·一模）如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上．    (1)已知的面积为8，请求出k的值； (2)如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式； (3)根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式、三角形的面积、一次函数的图象是解题的关键； （1）过点C作轴，设点C的横坐标为a，则点C的纵坐标为，进而得到B、D两点坐标，再利用的面积，即可求出k的值 （2）根据，的面积得出点D的横坐标，根据反比例函数得出点D的坐标，然后根据点C为中点得出坐标，代入一次函数即可； （3）观察图象，找到直线在双曲线下方即可得到答案； 【详解】（1）    过点C作轴于点E， 点C、D在反比例函数上， 设点C的横坐标为a， 点C的纵坐标为， 斜边的中点C， ， 的面积为8， ， ． （2）由（1）反比例函数的解析式为，，， ，的面积为8， 为等腰直角三角形， ， 点C的横坐标为2，点D的横坐标为4， 点C、D在反比例函数上， ， 将，代入中得 ，， 直线的表达式为； （3）由图象可知，关于x的不等式的解集是反比例函数图象总在一次函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即∶或． 4．（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05一次函数与反比例函数 内s容導航 【命题解码定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 INRINEOBENE■■IEODENEOEENEODEIEOEEI IODES EOSEI IN■nna■n■ain■EIIONIEONEEIIN■EnEEIE■IIEOEEIINEENE■IIIEEIn ☑ PART 命题解码•定方向 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式稳定，主要分为以下三类： 1.函数图象与性质基础题：通常以选择题或填空题形式出现，考查一次函数或反比例函数的图象特 征、性质（增减性、象限分布）以及图象上的点的坐标特征。 2.一次函数与反比例函数综合解答题：这是高频必考的中档解答题，分值通常在8-10分。题目通常 给出一个一次函数和一个反比例函数，要求： (1)根据交点坐标求函数解析式（待定系数法）。 (2)求两个函数图象与坐标轴围成的三角形面积。 (6)根据图象直接写出不等式c+b>或x+b<咒的解集。 (4)涉及简单的几何变换（如平移）或与几何图形（如三角形）结合求点坐标或面积。 3.一次函数的实际应用题：以利润、行程、方案选择等实际生活为背景，要求学生建立一次函数模 型，并利用其性质（增减性、最值）解决问题。 二、命题特点 1.基础性：待定系数法求解析式是核心考点，年年必考，要求学生熟练掌握。 2.综合性：常将一次函数与反比例函数“捆绑”考查，并与方程、不等式、三角形面积、几何图形 性质（如平行四边形、矩形、菱形）相结合，形成一道中档综合题。 3.工具性：一次函数和反比例函数的图象与性质是解决更复杂综合问题（如二次函数、动态几何） 的基础工具，其思想方法是进一步学习的基石。 4.应用性：重视将一次函数作为建模工具解决实际问题，背景贴近生活，考查学生从文字或图表中 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 获取信息、建立模型的能力。 三、核心考查内容与能力要求 1.核心内容： (I)一次函数：解析式y=:+b(k≠0)的求法（待定系数法）；图象的画法、k和b对图象位置和变 化趋势的影响：与坐标轴的交点坐标：与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。 口反比例函数：解折式y一k≠0的求法：图象（双曲线）的画法、k>0和k<0时图象的分布及 增减性：k的几何意义。 (3)综合：两个函数图象的交点问题、面积问题、不等式解集问题。 2.能力要求： (1)模型观念：能将实际问题中的变量关系抽象为一次函数或反比例函数模型。 (2)运算能力：准确求出函数解析式、交点坐标、面积。 (3)几何直观：能结合函数图象理解其性质，利用图象解决问题（数形结合）。 (4)推理能力：能根据函数性质（如增减性）进行合理的推断和决策（如最优化问题）。 四、趋势展望 1.情境化设计更深入：一次函数的实际应用题背景会更贴近社会热点（如“体重管理年”相关的健 身器材购买、新能源车充电、垃圾分类等)，数据呈现方式可能更复杂（表格、图形式）。 2.与几何图形深度融合：一次函数与反比例函数综合题会更频繁地与平行四边形、矩形、菱形、三 角形等几何图形结合，需要学生具备较高的几何分析和代数运算能力。 3.注重过程与逻辑：对解题过程的完整性和逻辑性要求不会降低，特别是“根据图象直接写出解 集”这类题目，需要明确说明判断依据。 五、备考策略建议 1.夯实基础，过好“三关”： ()解析式关：熟练掌握待定系数法，能根据“两点”或“点十等条件快速求出一次函数和反比例 函数的解析式。 (2)图象关：能熟练在坐标系中画出一次函数和反比例函数的大致图象，并说出其性质（象限、增减 性)。 (3)面积关：掌握利用坐标系求三角形、四边形面积的常用方法，特别是“割补法”和“铅垂法”。 2. 重点攻关“一次函数与反比例函数综合题”： (1)形成解题流程：训练学生建立“求交点→求解析式→求面积一解不等式”的标准解题流程。 2/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)强化数形结合：引导学生养成“审题看图象，解题想性质”的习惯，将代数问题与几何图象紧密 联系。 (3)精准表达：训练学生规范书写“根据图象，当…时，…的解集为…”这类问题的答案。 3.提升实际应用能力： ()强化建模训练：多收集生活中的一次函数应用情境（分段计费、阶梯水电气价、利润最优化等）， 训练学生阅读材料、提取信息、建立函数模型的能力。 (2)掌握最值求解：系统复习利用一次函数的增减性求最值的方法（通常结合自变量的取值范围确 定)。 4. 关注跨学科融合：留意与物理、化学等学科的简单情境。 ☑ PART 02 解题建模•通技法 >题型01待定系数法求函数解析式<《 折典例建模理、 1.(2026-山东枣庄一模)已知抛物线"=ar+br经过点4-2,3)，B4,0) (1)求抛物线的解析式： (2)点C在抛物线的对称轴上，直线AC与抛物线有且只有一个公共点.求点C的坐标： ③)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点D的坐标为22)，是新抛物线上一动点，以 点2为圆心，OD的长为半径的圆交x轴于M,N两点.当点Q在新抛物线上运动时，求△MWD的面 积. 研考点通技法 3/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考查知识点结合： -次两数y=+b≠0：反比例函数y-40 通用思路：“设→代→解→写” 1. 设：设出函数的一般形式。一次函数：y=:+bK≠0)：反比例函数：y=k≠0。 12. 代：将已知点的坐标代入所设的解析式中，得到关于待定系数的方程（组）。 (1)一次函数需要两个点，得到二元一次方程组。 (2)反比例函数需要一个点（不包含原点），得到一元方程。 3.解：解方程（组）求出待定系数k、b的值。 14. 写：将求出的系数代回原设解析式，写出最终解析式。 易错提醒： 1. 注意区分一次函数y=x+bk0和反比例函数y=(k≠0中的k,不要混淆： 12. 代入时注意点的横、纵坐标不要代反。 破类题提能力、 2.(2022山东枣庄·模拟预测)如图，已知双曲线y=元和直线y=mx+n交于点4和B,B点的坐标是 (2,-3到，AC垂直于y轴于点C,AC= ; (1)求双曲线和直线的解析式： (2)求△AOB的面积. 3.(2026山东东营一模)如图，抛物线=+b低+c与x轴交于点4机-L0和点140，与y轴交 于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点（与点B,C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点 Q,连接CQ,BQ,设点Q的横坐标为m. 4/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式和点C的坐标： △BCQ (2)当 的面积等于3时，求”的值： (3在点'运动过程中，是否存在”值使得 BCQ 的面积最大？若存在，求出”值：若不存在，请说理 由. 4. （2026山东济南一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数)-X+6的图象与反比例函数y= 下的 图象交于点A4,,与y轴交于点B,经过点A、点o的直线与反比例函数y=的图象在第三象限交 于点C,△AHC是以AC为斜边的直角三角形. 图1 图2 (1)求反比例函数的解析式： (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3)如图2，若AH平分∠BAC,求点H的坐标. 题型02函数图象与方程、不等式<了 折典例·建模犁 5/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026山东淄博一模)如图，点P2,a+2a+3引为反比例函数图象上的一个动点，过点P11x轴， 连接OP (I)当PO 的面积最小时，求函数”的解析式： (2)在(1)的条件下，将直线OP向上平移4个单位长度，得到直线1，直线1与反比例函数的图象交于 点B: ①求直线1的函数解析式”， ②直接求出在第一象限内片<乃 时的x的取值范围， 研考点通技法 考查知识点结合： 函数值的大小比较；交点的含义；不等式的图象解法 通用思路：“找交点，看高低” 1. 解方程（组）：两个函数图象的交点坐标，就是联立两函数解析式所得方程组的解。 解不等式：对于不等式片>”，在图象上表现为”的图象在的图象上方的部分，对应的x的取值范 y 围即为解集。反之亦然。 关键步骤： 1. 找出两个函数图象的所有交点。 2. 过交点作x轴的垂线（虚线），将x轴分成若干区间。 3. 在每一个区间内，观察哪个函数的图象在上方，从而确定解集。 方法技巧： 6/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别注意反比例函数图象的“不连续”性，解集通常由两个部分构成，需要用“或”连接。 破类题提能力 2. (2026山东德州一模)在平面直角坐标系0，中，直线=2x+1与双商线%-名k￥0，x>0)的交点 是a3) (I)求a和k的值： 2已知对于函数为=mx-川m≠0，当x>3时，都有<y<”,请直接写出0的取值范围。 3。(2026山东滨州一模)在平面直角坐标系*0中，已知抛物线”=-2m (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若点1-L0,B4,0 ,抛物线”=-2m与线段4B只有一个交点，求m的取值范围， 6)M1-m,Vm是抛物线=-2x上两点，若以-≤4，直接写出m取值范围. 4. 2026山东荷泽一模)已知一次函数=+2，=次丽数为=-2m+m-m+2 (①)求证：二次函数”的顶点坐标在一次函数”的图象上： 2若函数=%+，当<2时，'随的增大而减小，当>4时，'随的塔大而增大，求m的取 值范围： ⑤)若点1m+3,a,Bm,6)都在(2)中的函数的图象上，且a>b,求”的取值范围，（结果用含 m的代数式表示) >题型03与坐标轴围成的图形面积<了 折典例建模理、 1.(2026山东聊城一模)如图，已知一次函数y=m+川m≠0与反比例函数yk≠0)的图象相交 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点41,6，B6-),与广轴交于点M,连接40、B0 (1)求出一次函数和反比例函数的解析式： (2)填空： ①△ABO的面积为 ②当1≤”时，自变量x的取值范围为】 研考点通技法 考查知识点结合： 函数与坐标轴的交点；割补法求面积 通用思路：“底乘高除以2”或“割补法”。 1. 三角形：优先选择坐标轴上的边作为底边，底边长度好求，高就是另一个顶点的横坐标或纵坐标的绝 对值。 四边形：通常用“割”或“补”的方法将其转化为几个三角形面积的和或差。 常用的“铅垂法”：S=×一一，其中“水平宽”是两点的水平距离，“铅垂高”是两点 的垂直距离。 关键步骤： 1. 找出构成图形的所有交点（与坐标轴的交点、函数图象的交点）。 2. 判断图形形状，选择合适的求面积方法。 3. 计算各线段的长度（点的坐标相减取绝对值）。 4:- 代入面积公式计算。 8/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错提醒：注意三角形面积公式中的2；用点坐标求线段长时，要加绝对值。 破类题提能力、 2。(2025山东济南三模)如图，一次函数y=:+6的图象与反比例函数y=（(x>0)的图象相交于点 A2,3到，6，川两点，与轴相交于点C 备用图 (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)点P是y轴上一动点，连接AP,BP,当△ABP面积为10时，请求出点P的坐标； (3)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD,连接CD,在反比例函数上，是否存在一点Q,使 得∠CDB+∠OCO=90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(2026山东济南一模)如图，在平面直角坐标系中抛物线y=-)x+br+C交y轴于点B(0,6):交x 2 轴正半轴于 点C2,0,交x轴负半轴于点A:连接4B 0 图1 图2 (I)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，连接PA、PB,设△PAB的面积为S,求出S的最 大值及此时点P的坐标： 9/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，点G是线段OB的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，在平移后的抛物 线上存在点K,使得∠GAK=45°，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标. 4.(2026山东济南一模)二次函数y=+r+6的图象的对称轴为直线*=L,与x轴交于4-，0)，B 两点，与y轴交于点C,直线I经过B,C两点. C 图1 图2 图3 (I)如图1，求二次函数的表达式： (2)如图2，点P为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接AP与直线I相交于点D,连接PB,若 S,4D=2SD,求点P的坐标： 6定义：若点M(工川满足+y=,则称点M为“阶融合点”.例如：M23引满足2+3=5，则称 点从为个5阶磁合点”.如图3，将二次函数'=+c+6的图象'轴左侧部分沿过点C且垂直 于'轴的直线翻折，将二次函数y=+6r+6, 的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数 y=ax2+bx+6 在第一象限内的图象组成新的函数图象T(如图中实线部分)，若函数图象T上有且只 有2个“t阶融合点”，请直接写出t的取值范围. 题型04一次函数的实际应用<了 折典例建模犁 10/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.（2026,山东济宁·一模)小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温℃ 随加热/保温时 间x(min 的变化规律如下： D开机后热水器开日快速加热功能，水湿川心会上开，此时木盆小©是知路保温时何m 的一 次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段： ②智能保温阶段，水温川℃ 会先下降，此时水温℃)是加热保温时 xmin) 的反比例函数，水温 降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升 过程中水温⊙是加热/保温时间m血的一次函数，加热效率与之前一致」 (1)若起始水温为20℃，水温第一次升至预设的最高温度60℃用时20min,然后水温第一次降至预设的 最低温度40℃，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式： (2)在(1)的条件下，小明计划20：00洗澡，要求水温不低于50℃，若他在当天19：22时启动热水器快 速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由. 研考点·通技法✉ 考查知识点结合： 利润、行程、方案、最优化 通用思路：“审题→建模→求解→检验→作答”。 1.审题：明确变量（自变量、因变量）的含义及变化关系，特别注意分段函数的自变量的取值范围。 2. 建模：根据数量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间、利润=（售价-进价）×销量)或图象上的 点，建立一次函数模型'=+b(k≠0) 求解：利用函数性质求解，如通过k>0、k<0判断增减性，结合自变量取值范围求最值。 4. 检验：检查解是否符合实际意义。 方法技巧： 1.一分段函数：注意不同的自变量取值范围，函数的表达式可能不同，解题时要分段讨论。 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方案选择：当有多种方案（多个一次函数）时，通过解不等式等来确定最优方案。 3. 利用图象：读懂行程图、利润图等图象的坐标轴、拐点、交点的意义。 破类题提能力 2.(2026山东临沂·一模)在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动， 到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度y(m/$)与时间 x($)之间的关系如图②所示. y(m/s) 3.5B x(s) 图① 图② (I)求小球到达斜面底端时的速度： (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长， 3.(2026山东济南·一模)为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工 具，己知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共 享电动车的数量相同. (1)求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ (2)该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍， 请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 4.(2026山东青岛一模)图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行 装饰，(、b为阁楼屋梁，装饰木条DF、DE分别与、平行，且均与抛物线窗户 心有唯一交点. 同时，用相同木条在窗户上方与木条DE、DF之间搭建支架OP、QM、MN,其中点P、N在抛物 线上，点M、O分别在木条DF、DE上. 信息一：窗户水平宽度AB为1.6米，竖直高度OC为0.6米（其中C为抛物线顶点）.建立如图2所示 的平面直角坐标系，O为原点，AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴。 信息二：1和马关于y辅对称，且马关系式为少=-3x -4r+l,OP⊥x轴，MN⊥x轴，Mg∥x轴. 12/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请解答下列问题： 6 FA O BE 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)求木条DE所在直线的函数表达式： (③)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条DF、DE和支架P0、 PO OM MN ,请你通过 计算判断3米长的木条是否够用.（木条裁剪过程中的损耗不计） >题型05一次函数与几何综合< 折典例建模理 1.(2026山东淄博一模)如图。过点C22分别作，y轴的平行线，交面线y>0)于A,g两 点，△ABC的面积为2. -3-21Q 12 (1)求k的值： 2)如图，4：y=-1x -山，D:B分别为直线和y-会>0图象第一象限上的点。求0心的抛小值 13/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 研考点通技法 考查知识点结合： 平移、对称、平行四边形、三角形 通用思路：“代数运算与几何性质互推” 1. 设点坐标：通常设出动点（在函数图象上）的坐标，用一个字母表示。 2. 表示线段长：根据点坐标表示出相关线段的长度。 3. 建立几何关系：利用题目中的几何条件（如平行四边形对边平行且相等、面积关系、全等、相似、直 角等)列出方程。 4. 解方程：求解方程得到点的坐标或待定系数的值。 关键步骤：“设点→表示→建等量→求解” 核心工具： 1. 两点间距离公式d=V-广+-， 2 中点华标公式兰，) 平行四边形的判定和性质。 破类题提能力、 2.(2025山东青岛·模拟预测)我们约定，在平面直角坐标系O中，经过象限内某点且平行于坐标轴或 平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”.例如，点M(L,3)的参照线有：x=1，,y=3, y=x+2 OABC xOy ,(如图1).如图，正方形 在平面直角坐标系中，点”在第一象限，点1，C 分别在x轴和y轴上，点D(m,n)在正方形内部. VA 1=x+2 C B C C M y=3 D =-x+4 -1O 12345x A A 图1 图2 备用图1 备用图2 (I)直接写出点D的所有参照线： 14/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(6,0) D 的垂直平分线上，且点D有一条参照线是"=+7， OA D (2)若 ，点在线段 ，则点的坐标是 (3)在(2)的条件下，点P是AB边上任意一点（点P不与点A,B重合），连接OP,将△OAP沿着 OP折叠，点A的对应点记为A,当点A在点D的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点P的坐标 3.（2025山东济南模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线G:)=r+x+3经过点2.3》和点，，与 x轴交于A,B两点. M/ C (1)求抛物线的表达式。 1:y=k(x-1)+4 BC.若8C恰好平分 BC (2)如图，己知直线 与抛物线C交于顶点M和另一点C,连接 ∠ABM,求k的值. P,1+3,是抛物线C:y=ar+hr+3 (3)点 的两点，若P,Q之间的图象（包括点P,Q) 的最高点与最低点纵坐标的差为2，请直接写出：的值。 1 4。(2025:山东青岛·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=+2x+2过点1,3)，且交x轴 于m,0, 两点，交'轴于点C. 15/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求直线BC的表达式和a,m的值. (2)P是直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值及△BPC面积最大时点P的坐标. ③)在(2)中△BPC 面积最大的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，“为平移后的 CB M 抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N，使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写出 所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. >题型06反比例函数k的几何意义<了 折典例建模理、 1.(2026山东聊坡一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=4(x<0)的图象上，点B 在反比例函数y兰+Qx<0的图象上，连接AB交x轴于点C,B∥y轴，点D在x轴正半轴上 OC=OD AD,BD △ABD ,连接 ,已知 的面积为12. D (1)求k的值： ②若点D2,0，在反比例函数y=兰(x<0)的图象上是否存在点E使得四边形ADBc为平行四边形。 16/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由. 研考点通技法、 考查知识点结合： 矩形或三角形的面积与k的关系 通用思路： “面积转化为。 1. 过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 2 过反比例函数图象上任意一点向一条坐标轴作垂线，与原点构成的三角形面积等于 2 核心公式： 1. S形=x×y以=| sa川-内 1 2. 2 关键步骤： 1. 找到反比例函数图象上的点。 2. 过该点作x轴或y轴的垂线，构建矩形或三角形。 3. 利用面积公式建立关于k的方程。 4. 根据函数图象所在的象限(k>0在一、三象限，k<0在二、四象限)确定k的符号，进而求出k值。 易错提醒： 注意面积是风 ,不要忘了绝对值；当矩形或三角形被坐标轴分割时，要注意面积的转化。 破类题提能力、 2.(2023山东青岛模拟预测)如图，点P3.2在反比例函数y-x>0)的图象上，过点P作pMx抽 交反比别函致y子的国象于直从作P心少y年交发比料两藏y子的图家于点水注接心 2 17/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k的值： (2)求△PMN的面积： (3)连接OM,ON,直接写出△MON的面积. 玉.(2024山东淄博一模)如图1，已知反比例函数y-k>0,x>0)的图象经过RI08斜边OB的中点 C,且与直角边AB相交于点D,另一直角边OA在x轴上. 图1 图2 (I)已知RIAOAB的面积为8，请求出k的值： y=mx+b 经过C,D两点，在(1)的条件下，当∠40B=45° CD (2)如图2，直线 时，请求出直线的表 达式： (3)根据图象，请直接写出关于x的不等式，>m心+b的解集。 4、(2024山东济宁一模)如图，点436，B164是反比例函数y=受的图象上的两点，连接O1 OB 18/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (I)求a的值： (2)求△AOB的面积； (3)若点C的坐标 9,0， 点P是反比例函数图象上的点，若△POC的面积等于△AOB面积的3倍，求 点P的坐标. 19/19