专题07 探索规律（精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷）-2026年六年级毕业数学二轮复习专题汇编必刷卷

2026年六年级毕业数学讲练•真题重组汇编•考前必刷培优讲练 专题07 探索规律『浙江专用』 【精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷】 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2024-2025年名校真题 试题难度系数：0.45（较难） 一．用心思考，认真填写（共11小题，满分26分） 1．（本题2分）先找规律，再填空。 （1，24），（2，12），（3，8），（____，6）。 2．（本题2分），，，，，…这列数的每一项越来越小，越来越接近( )。 3．（本题4分）探索与发现。 数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察如表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 …… 算式 1×3＋1＝22 2×4＋1＝32 3×5＋1＝42 … 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )2，16×18＋1＝( )2。 (2)( )×( )＋1＝20242。 4．（本题2分）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形的个数占小长方形总个数的( )。 5．（本题2分）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 6．（本题2分）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 7．（本题4分）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 8．（本题2分）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 9．（本题2分）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 10．（本题2分）下图中的图形都是用长度相同的小木棒按一定规律拼成的，依此规律，第88个图形需____根小木棒。 11．（本题2分）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 12．（本题2分）根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 13．（本题2分）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 14．（本题2分）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 15．（本题2分）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 16．（本题2分）下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（    ） A． B． C． D． 三．反复斟酌，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 17．（本题2分）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 18．（本题2分）0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。( ) 19．（本题2分）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 20．（本题2分）〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 21．（本题2分）1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 四．看清题目，巧思妙算（共2小题，满分18分） 22．（本题12分）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 23．（本题6分）已知，，按这样的规律，请计算：。 五．灵活应用，解决问题（共6小题，满分36分） 24．（本题6分）观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 25．（本题6分）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 26．（本题6分）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 27．（本题6分）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 28．（本题6分）找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 29．（本题6分）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？ （2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？ （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年六年级毕业数学讲练•真题重组汇编•考前必刷培优讲练 专题07 探索规律『浙江专用』 【精编思维导图+知识梳理精讲+浙江地区历年真题重组培优卷】 模块一 精编思维导图 模块二 专题知识梳理精讲 小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答 知识点梳理01：数字中的规律 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点梳理02：图形中的规律 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点梳理03：算式中的规律 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点梳理04：数形结合中的规律 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点梳理05：周期规律 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点梳理06：找规律问题常见策略 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 模块三 浙江地区历年真题重组培优卷 试题来源：浙江省省各市2024-2025年名校真题 试题难度系数：0.45（较难） 一．用心思考，认真填写（共11小题，满分26分） 1．（本题2分）先找规律，再填空。 （1，24），（2，12），（3，8），（____，6）。 【答案】4 【思路引导】观察所给的数对（1，24），（2，12），（3，8），发现每个数对中两个数的乘积都为24；由此规律求出第四个数对中第一个数。 【规范解答】第一个数对（1，24），1×24＝24 第二个数对（2，12），2×12＝24 第三个数对（3，8），3×8＝24 规律：数对中两个数的乘积都为24。 第四个数对的第1个数是：24÷6＝4。 填空如下： （1，24），（2，12），（3，8），（4，6）。 2．（本题2分），，，，，…这列数的每一项越来越小，越来越接近( )。 【答案】0 【思路引导】分子都是1，分母依次乘2，这样分母越来越大，分母越大，分数值越小，所以这个分数越来越小，越来越接近0，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，，，，，，…这列数的每一项越来越小，越来越接近0。 3．（本题4分）探索与发现。 数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形。观察如表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 …… 算式 1×3＋1＝22 2×4＋1＝32 3×5＋1＝42 … 根据发现的规律填空： (1)4×6＋1＝( )2，16×18＋1＝( )2。 (2)( )×( )＋1＝20242。 【答案】(1) 5 17； (2) 2023 2025 【思路引导】观察所给算式1×3＋1＝22，2×4＋1＝32，3×5＋1＝42。对于乘法部分，第一个因数依次是1、2、3，呈现依次增加1的规律；第二个因数依次是3、4、5，比对应的第一个因数大2。等式右边是一个数的平方，这个数比乘法算式中的第一个因数大1。总结规律为：n×（n＋2）＋1＝（n＋1）2（n为自然数）然后根据此规律计算填空。 【规范解答】（1）4×6＋1：这里n＝4，根据规律（n＋1）2，即4＋1＝5，所以4×6＋1＝52，16×18＋1：这里n＝16，16＋1＝17，所以16×18＋1＝172 4×6＋1＝52，16×18＋1＝172 （2）因为结果是20242，由规律（n＋1）2＝20242，可得n＋1＝2024，则n＝2023，n＋2＝2023＋2＝2025，即2023×2025＋1＝20242 2023×2025＋1＝20242。 4．（本题2分）把相同规格的小长方形（黑长方形和白长方形）按规律排列（如图），照此规律，当刚好出现第7个黑长方形时，黑长方形的个数占小长方形总个数的( )。 【答案】/0.25 【思路引导】观察图形排列规律，可发现是按照“1个黑长方形，n个白长方形”这样的顺序循环排列，其中n依次从1开始递增。当出现第7个黑长方形时，需要先确定此时白长方形的个数。前面6个黑长方形对应的白长方形个数分别是1、2、3、4、5、6个，然后用黑长方形的个数除以此时小长方形（黑长方形与白长方形总和）的总个数，就能得到黑长方形个数占小长方形总个数的比例。 【规范解答】7÷（7＋1＋2＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（8＋2＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（10＋3＋4＋5＋6） ＝7÷（13＋4＋5＋6） ＝7÷（17＋5＋6） ＝7÷（22＋6） ＝7÷28 ＝ ＝0.25 黑长方形的个数占小长方形总个数的或0.25。 5．（本题2分）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 6．（本题2分）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【思路引导】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【规范解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 7．（本题4分）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 8．（本题2分）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【思路引导】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【规范解答】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 9．（本题2分）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【思路引导】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【规范解答】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 10．（本题2分）下图中的图形都是用长度相同的小木棒按一定规律拼成的，依此规律，第88个图形需____根小木棒。 【答案】11748 【思路引导】通过观察可知，第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要（3＋6）根小棒，第3个图形需要（3＋6＋9）根小棒，也就是3×（1＋2＋3）根小棒，以此类推，第n个图形需要的小棒数量是：3×（1＋2＋3＋…＋n）根，据此解答。 【规范解答】3×（1＋2＋3＋…＋88） ＝3×（1＋2＋3＋…＋44＋45＋…＋86＋87＋88） ＝3×[（1＋88）＋（2＋87）＋（3＋86）＋…＋（44＋45）] ＝3×[89×44] ＝3×3916 ＝11748（根） 第88个图形需要11748根小木棒。 【考点剖析】本题考查图形的排列规律，找到小木棒的数量随图形序号变化的规律是解题关键。 11．（本题2分）根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。 【答案】41 【思路引导】数列规律是：从自然数里去掉所有5的倍数得到的。要找51是第几个数，得算1到51中有多少个5的倍数，用自然数总数减去5的倍数的个数就能得到结果。 【规范解答】1到51中5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，一共10个，所以51的位置是51－10＝41 【考点剖析】关键是发现数列去掉所有5的倍数的规律，通过自然数个数减去5的倍数个数确定目标数的位置。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 12．（本题2分）根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【答案】D 【思路引导】第一个算式1个6和1个7相乘等于42，第二个算式2个6和67相乘等于4422，第三个算式3个6和667相乘等于444222，第四个算式应该是4个6和6667相乘等于44442222，据此选择即可。 【规范解答】可以推出下一个算式是6666×6667＝44442222。 故答案为：D 13．（本题2分）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【规范解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 14．（本题2分）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】用倒推法解决问题，每个数恰好等于它前面两个数之和。第7个数＋第8个数＝第9个数，第8个数和第9个数分别是81和131，则第7个数＝131－81＝50；第6个数＋第5个数＝第7个数，这样一个一个数往前面推。直至找出第一个数即可。 【规范解答】根据分析： 第7个数：131－81＝50 第6个数：81－50＝31 第5个数：50－31＝19 第4个数：31－19＝12 第3个数：19－12＝7 第2个数：12－7＝5 第1个数：7－5＝2 第一个数是2。 故答案为：B 15．（本题2分）有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【思路引导】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【规范解答】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 16．（本题2分）下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题中有三幅图中的规律都是：右面数是上面数和左面数的积的一半。有一选项不符合这一规律。通过计算进行比较选择。 【规范解答】A．3×6÷2＝9 B．3×6＝18 C．×÷2 ＝÷2 ＝× ＝ D．×2.8÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 通过四个选项的计算可知，选项B的规律和其它图形不一样； 故答案为：B 三．反复斟酌，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 17．（本题2分）像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 【答案】√ 【思路引导】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【规范解答】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 18．（本题2分）0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。( ) 【答案】√ 【思路引导】观察这列数，后面的数比前一位多一位小数，并且多的位数上是9。所以这列数是无限扩大的，并无限靠近1的。据此解题。 【规范解答】根据分析得，0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。这种说法是正确的。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了数字排列的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 19．（本题2分）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 【答案】√ 【思路引导】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【规范解答】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 20．（本题2分）〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。 【规范解答】111÷6＝18（组）……3（个） 所有第111个图形是☆。原题说法正确。 故答案为：√。 【考点剖析】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。 21．（本题2分）1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 【答案】√ 【思路引导】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。 【规范解答】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1 ＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1） ＝82＋72 ＝64＋49 ＝113 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 四．看清题目，巧思妙算（共2小题，满分18分） 22．（本题12分）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【答案】；1； 5670； 【思路引导】（1）先算括号内的加法，先把小括号里的异分母进行通分再相加得到的结果乘2后，再算括号外的分数除法，据此得到结果； （2）利用加法交换律先把和交换位置，得到，再利用加法结合律和减法性质得到简便计算，据此得到结果； （3）首先将8.77×567转化为877×5.67，再利用乘法分配律简便计算，据此得到结果； （4）先把化成，化成，化成，化成，化成，化成，化成，再去掉括号计算，据此得到结果。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2－1 ＝1 （3）123×5.67＋8.77×567   ＝123×5.67＋877×5.67 ＝（123＋877）×5.67 ＝1000×5.67 ＝5670 （4）1－ ＝1－－－－－－－ ＝1－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋ ＝ 23．（本题6分）已知，，按这样的规律，请计算：。 【答案】 【思路引导】已知，，可以发现规律：对于（n为正整数），可转化为。即可转化为，则原式变为。然后利用乘法分配律计算即可。 【规范解答】 ＝ 所以。 五．灵活应用，解决问题（共6小题，满分36分） 24．（本题6分）观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【答案】见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【思路引导】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【规范解答】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 【考点剖析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 25．（本题6分）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【规范解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 26．（本题6分）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【规范解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 27．（本题6分）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【思路引导】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【规范解答】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【考点剖析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 28．（本题6分）找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 【答案】（1）分子，和 （2）① ②19 【思路引导】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【规范解答】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【考点剖析】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 29．（本题6分）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？ （2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？ （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）每相邻两个之间相差10； （2）； （3）35、45、55、65。 【思路引导】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【规范解答】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。 （2）最下面一个数字可以用表示。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为。 4＋60＝200 4＝140 ，，。 答：她圈的是35、45、55、65。 【考点剖析】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $