10.1.1 有限样本空间与随机事件与 10.1.2 事件的关系和运算教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 教学设计 教材分析 本节课是概率章节的起始核心内容，承接初中随机事件的初步认知，从集合视角重新定义随机试验、样本点、样本空间，进而界定随机事件、必然事件、不可能事件；再依托集合间的包含、并、交、互斥、对立关系，迁移定义随机事件的关系与运算。 既是对初中概率知识的系统化、严谨化升级，也是后续古典概型、概率公式学习的基础铺垫，起到承上启下的关键作用，同时培养学生用集合思想建模随机现象的数学思维。 教学目标 1. 理解随机试验的三个特征，能准确写出有限随机试验的样本点与样本空间； 2. 区分基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件，明确事件是样本空间的子集； 3. 掌握事件的包含、相等、并事件、交事件、互斥事件、对立事件的定义及符号表示，能判断简单事件间的关系。 核心素养 1. 数学抽象：从抛掷硬币、骰子、摸球等实例中抽象出随机试验、样本空间、随机事件的概念； 2. 逻辑推理：类比集合关系推导事件关系，辨析互斥事件与对立事件的区别与联系； 3. 数学建模：把实际随机问题转化为样本空间和集合子集模型； 4. 数学运算：会列举样本点、书写样本空间，进行事件关系的判定与表示； 5. 直观想象：借助树状图、韦恩图直观理解样本结构和事件运算关系。 教学重难点 重点：有限样本空间的书写、随机事件的概念；事件的包含、并、交、互斥、对立关系的理解与判定。 难点：用集合观点理解随机事件；互斥事件与对立事件的辨析；复杂实际问题中样本空间与事件的表示。 教学过程 环节一：情境导入，初识随机试验 教师活动 展示 4 个生活实例，引导学生观察共性： 1. 抛掷一枚硬币，观察正反面朝上； 2. 抛掷一枚骰子，观察朝上点数； 3. 从班级随机抽 1 名学生，观察性别； 4. 每天上学路上等待红绿灯的时间。 提问：以上试验有什么共同特征？结果是确定的吗？能否在相同条件下重复做？ 学生活动 独立思考后举手发言，归纳：可重复进行、结果不止一个、事前无法确定具体结果。 设计意图 从熟悉生活场景切入，跳出枯燥定义，让学生自主感知随机试验特征，自然引入新课，衔接初高中知识。 环节二：新知探究一 随机试验与有限样本空间 1. 随机试验定义 教师规范板书： 满足三个特征的试验称为随机试验： ① 相同条件下可重复进行； ② 所有可能结果明确且多于 1 个； ③ 每次试验恰好出现一个结果，事前无法预知。 2. 样本点与样本空间 定义讲解： 样本点：随机试验 E 的每一个基本可能结果，记作； 样本空间：全体样本点构成的集合，记作； 本节只研究有限样本空间。 3. 典例精讲 规范书写 例 1：抛掷 1 枚硬币，写出样本空间。 规范：记正面为正，反面为反，；简记。 例 2：抛掷 1 枚骰子，写出样本空间。 规范：。 例 3：抛掷 2 枚硬币，用有序数对表示结果，书写样本空间，并画树状图梳理所有结果。 师生共同板书： 引导学生总结样本空间两种表示法：列举法（集合）、树状图法。 4. 即时小练 射击打靶，环数 0～10 环，写出样本空间。 学生板演，教师纠错规范格式。 学生活动 跟随教师梳理定义，模仿例题格式书写样本空间，尝试画树状图梳理试验结果。 设计意图 由定义到典例，再到即时练习，层层递进，规范答题格式，落实写样本空间的核心技能。 环节三：新知探究二 随机事件的分类 1. 随机事件的集合本质 教师引导：样本空间的子集称为随机事件，简称事件，用表示； 基本事件：只含 1 个样本点的事件； 事件 A 发生：当且仅当试验结果属于 A 中的样本点。 2. 三类事件界定 1. 必然事件：本身，每次试验一定发生； 2. 不可能事件：空集，每次试验都不发生； 3. 随机事件：的非空真子集，可能发生也可能不发生。 3. 实例辨析 判断事件类型： ① 掷硬币出现正面；② 12 月本地下雪；③ ；④ 明天是星期八。 学生口答：随机事件、随机事件、必然事件、不可能事件。 4. 拓展典例 电路 3 个元件正常 / 失效，用 0、1 表示状态，写出样本空间，表示 “恰好两个元件正常”“电路通路” 事件。 师生共同用有序数对列举样本点，用集合表示对应事件。 设计意图 建立事件 = 样本空间子集的核心认知，用实例辨析三类事件，把抽象概念具象化。 环节四：新知探究三 事件的关系与运算 类比集合的关系与运算，逐一讲解，配合韦恩图演示： 1. 包含关系与相等关系 包含：若 A 发生必导致 B 发生，则（B 包含 A）； 相等：且，则，两事件本质相同。 2. 并事件（和事件） （或）：A、B至少一个发生。 3. 交事件（积事件） （或）：A、B同时发生。 4. 互斥事件 ：A、B不能同时发生，也叫互不相容事件。 5. 对立事件 且：A、B有且仅有一个发生，记作。 重点辨析：互斥 vs 对立 教师总结：对立一定互斥，互斥不一定对立；对立是互斥的特殊情况，需满足并为全集。 典例应用 从 40 张扑克牌中任取一张： ① 抽红桃、抽黑桃；② 抽红色牌、抽黑色牌；③ 点数 5 的倍数、点数大于 9。 小组讨论：判断互斥、对立，并说明理由。 学生活动 跟随老师类比集合知识理解事件关系，结合韦恩图记忆，小组合作完成辨析题，代表发言。 设计意图 利用知识迁移降低学习难度，用韦恩图直观突破难点，通过扑克牌实例精准辨析互斥与对立。 环节五：课堂练习 巩固提升 1. 抛掷三枚硬币，写出样本空间，用集合表示 “恰好两个正面”“至多一个正面”； 2. 考试成绩中：，，判断事件关系； 3. 辨析：对立事件、互斥事件的区别。 学生独立完成，教师巡批讲评。 环节六：课堂小结 师生共同梳理框架： 1. 随机试验的三个特征； 2. 样本点、样本空间定义与书写方法； 3. 事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件； 4. 事件五大关系：包含、相等、并、交、互斥、对立； 5. 核心思想：用集合思想研究随机事件。 环节七：布置作业 1. 教材课后习题 10.1 第 1、2、3 题； 2. 自编 2 个生活随机试验，写出样本空间并定义 2 个事件，判断事件关系。 板书设计 10.1 有限样本空间与随机事件 事件的关系和运算 1. 随机试验：可重复、结果有限且确定、事前不确定 2. 样本点 样本空间 表示：列举法、树状图 3. 事件：的子集 必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件 4. 事件关系与运算 包含 相等 并事件 交事件 互斥： 对立： 教学反思 1. 本节课依托集合迁移讲解事件关系，降低学生认知难度，树状图、韦恩图的直观教学效果较好； 2. 易错点集中在互斥与对立事件辨析，后续可增加更多生活化实例强化对比； 3. 部分学生书写样本空间易遗漏样本点，需多强调有序列举、树状图辅助检查的习惯； 4. 课堂小组讨论参与度较高，可适当增加开放性探究问题，提升学生数学建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $