八年级数学下学期期末学情自测·培优卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：八下全册）

**基本信息** 八年级数学下学期期末培优卷（沪教版五四制），90分钟100分，28题覆盖选择（6题12分）、填空（12题36分）、解答（10题52分），以几何（矩形、菱形判定）、函数（一次函数与反比例综合）为核心，融入U型管引流、饮水机水温等现实情境，通过动点问题（如正方形中E点运动）考查几何直观与推理能力，适配期末培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|坐标系、平行四边形性质|结合山东等地期末真题，如第3题矩形菱形判定| |填空题|12/36|多边形内角和、反比例函数|融入围棋坐标（第12题）、几何作图（第16题）| |解答题|10/52|函数应用、几何证明|25题饮水机水温变化体现模型意识，28题正方形动点综合考查创新意识|

八年级数学下学期末学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键． 由轴，可知点与点纵坐标相等；结合，利用两点之间距离公式求点横坐标的值，进而代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点和点， ∴ ， ∵，且轴， ∴， 即， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴， 故选：C． 2．关于函数，下列结论正确的是(    ) A．函数必经过点 B．y随x的值增大而增大 C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到答案. 【详解】解：函数为，其中，， ∵当时，， ∴函数不经过点，A错误； ∵， ∴随的值增大而减小，B错误； ∵函数与轴相交时，令得，解得， ∴函数与轴交于，C错误； ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确. 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过B作轴于E，轴于F，证明，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，则， ， ， ，， 四边形是正方形， ∵点，点， ∴，， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为，又反比例函数的图象经过点， ， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：在反比例函数中， 函数图象的两支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ，， 点，位于第三象限， ，， ， ， 点位于第一象限， ， ． 10．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 【答案】3 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，的几何意义，正确掌握的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，根据的几何意义和等腰三角形的性质，易求，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在反比例函数（）的图象上，轴， ， ，轴， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 12．已知，，若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶．黑棋C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其他点的坐标． 【详解】解：根据，，建立平面直角坐标系如图所示： 所以 ， 故答案为:． 13．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 15．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：①当时，函数，②当时，函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：①当时，函数， ， 随的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，； ②当时，函数， ， 随的增大而增大， 当时，；当时，； 当时，； 综上可知，当时，则函数值y的取值范围是． 18．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 【答案】或 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)这个“多加的锐角”是 度． (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)150度 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的计算， （1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到； （2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则 ， ∵n是正整数，， ∴， 故答案为30； （2）由（1）知，这个多边形是正十二边形， ∴这个正多边形的一个内角是． 20．（4分）（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形． （2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ． 21．（4分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 22．（4分）已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，当三角形的面积为3时，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)2 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移规律解决问题即可． （2）利用分割法求解即可． （3）根据三角形的面积为3，求出的长，进而得到的坐标． 【详解】（1）由题意，， ，，． （2） （3）当点在轴上时， 或． 23．（4分）（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则， ∴正比例函数的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， 故一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， 的面积，则的面积， 设点， 的面积， 解得：或， 故点D的坐标为或． （3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H， ，， ， ，， ， 则，， ， 则点 当为直角时， 同理可得，点， 综上，点E的坐标为或． 24．（4分）（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 25．（6分）（25-26九年级上·河北衡水·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与开机后用时（单位：）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序，水温（单位：）与时间（单位：的关系如图所示． (1)__________，__________． (2)求出图中与之间的函数关系式． (3)嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为__________． 【答案】(1)15；20 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用、待定系数法求函数解析式以及利用函数关系式求解对应自变量的值，熟练掌握从实际问题中抽象出函数模型，并运用待定系数法求解函数关系式是解题的关键． （1）根据加热阶段的初始温度、结束温度和加热时间，计算每分钟的升温速率；再根据降温阶段的反比例函数关系，利用已知点求出函数解析式，进而求得水温降至所需的时间． （2）分两段求函数关系式：加热阶段为一次函数，降温阶段为反比例函数，分别利用待定系数法求解． （3）分别求出加热和降温阶段水温为对应的时间，计算两者的时间差，即为最多等待时间． 【详解】（1）解：， ， 将代入得 ， ， 当时，， 解得， ， 故答案为：15，20； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴当时，与之间的函数关系式为， 当时，与之间的函数关系式为． 与之间的函数关系式为； （3）解：把，得， 把，得， ． ∵饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序需要的时间为． ∴嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为， 故答案为：． 26．（6分）（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： (1)． (2)的垂直平分线必经过点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质得出，，等量代换即可得证； （2）连结，，，．证明四边形是平行四边形，进而证明，，从而得出，根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）证明∶， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． （2）证明：如图，连结，，，． ， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ， ． ， ． 在与中， ， ， 是等腰三角形， 的垂直平分线必经过点． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（8分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）甲骑摩托车从地匀速驶往地，乙开汽车沿同一条公路从地匀速驶往地，两人同时出发（摩托车的速度小于汽车的速度），各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)、两地之间的路程为_____千米，摩托车的速度是_____千米/小时，点的坐标为_____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)请直接写出甲行驶_____小时，两人相距180千米． 【答案】(1)300，50， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）根据函数图像和行程问题的关系求解； （2）利用待定系数法； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论． 【详解】（1）解：由图可知，、两地之间的路程为千米，甲行驶的总时间为6小时， 摩托车的速度小于汽车的速度，甲骑摩托车从地匀速驶往地， 摩托车的速度是：千米/小时， 甲、乙的速度和：千米/小时， 汽车的速度：千米/小时， 乙从地到地所用的时间：小时， 此时甲行驶的路程：千米， 故点的坐标为； （2）解：设线段表达式为． 已知， 代入得：， 解得：， 函数表达式为； （3）解：相遇前，两人相距180千米， 两人一共行驶的路程为千米． 则甲行驶的时间：小时， 相遇后，当乙还没到目的地， 两人一共行驶的路程为千米． 则行驶的时间：小时， 乙小时就到达终点， 不符合题意； 当乙小时到达目的地， 此时甲已行驶千米， 之后甲继续向地行驶，距离逐渐增大，直到千米， 则甲行驶的时间：小时， ​ 所以甲行驶小时或小时后，两人相距180千米． 28．（8分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 2．关于函数，下列结论正确的是(    ) A．函数必经过点 B．y随x的值增大而增大 C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 9．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______________． 10．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 11．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 12．已知，，若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶．黑棋C的坐标为__________． 13．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为________． 14．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 15．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 17．如图是函数的图象，当时，则函数值y的取值范围是________． 18．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)这个“多加的锐角”是 度． (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 20．（4分）（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 21．（4分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（4分）已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在轴上，当三角形的面积为3时，求出点的坐标． 23．（4分）（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 24．（4分）（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 25．（6分）（25-26九年级上·河北衡水·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与开机后用时（单位：）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序，水温（单位：）与时间（单位：的关系如图所示． (1)__________，__________． (2)求出图中与之间的函数关系式． (3)嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为__________． 26．（6分）（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： (1)． (2)的垂直平分线必经过点． 27．（8分）（25-26八年级上·江苏淮安·期末）甲骑摩托车从地匀速驶往地，乙开汽车沿同一条公路从地匀速驶往地，两人同时出发（摩托车的速度小于汽车的速度），各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)、两地之间的路程为_____千米，摩托车的速度是_____千米/小时，点的坐标为_____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)请直接写出甲行驶_____小时，两人相距180千米． 28．（8分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $