精品解析：四川成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年下学期七年级半期学情监测数学试题

2025-2026学年度下期初2025级半期学情监测数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1. 2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先将100纳米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的要求整理得到结果，科学记数法形式为，要求满足，n为整数． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴100纳米米， 整理得：米． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法，多项式乘多项式的法则，同底数幂的乘法运算即可求解． 【详解】A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，同底数幂的运算，幂的乘方运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 3. 下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，对各选项进行判断即可． 【详解】A、，不能摆成一个三角形，不符合题意； B、，不能摆成一个三角形，不符合题意； C、，能摆成一个三角形，符合题意； D、，不能摆成一个三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如果，，，那么它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义、乘方的意义分别计算各数，然后比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 6. 如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　） A. 39° B. 45° C. 50° D. 51° 【答案】D 【解析】 【分析】由BD//l1得∠1＝∠CBD＝39°，根据平行公理的推论得BD//l2，其性质得∠ABD＝∠2，角的和差求得∠2＝51°． 【详解】如图，作BD//l1， ∵BD//l1， ∴∠1＝∠CBD， ∵l1//l2， ∴BD//l2， ∴∠ABD＝∠2， 又∵∠1＝39°， ∴∠CDB＝39° 又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝51°， ∴∠2＝51°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 7. 如图，，，，于D，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 8. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】图中，符合该结果的频率在和之间 A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率约为，不合题意； C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为； 故选：C． 【点睛】本题考查频率的计算，理解频数与频率的概念是解题的基础． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 在中，，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：15． 10. 若，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：18． 11. 等腰三角形的一边长为cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为_________________ cm． 【答案】 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形． ∴第三边为9cm． 故答案为9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 如图，，，，则的度数为______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1） （2）． （3）先化简，再求值：，其中a，b满足：． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）首先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号、合并同类项、计算除法，然后再利用绝对值的非负性和偶次幂的非负性，得到、的值，然后把、的值代入化简后的式子中，即可得出结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． ∵， ∴，， 解得：， ∴原式． 15. 已知：，，，求：，的度数． 请将证明过程及理由补充完整． 解：∵， ∴∠ 理由（ ） ∵ ∴___° 又∵ ∴∠ 理由：（ ） ∴ 【答案】见解析 【解析】 【详解】解：∵， ∴理由（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴ 又∵ ∴理由：（两直线平行，内错角相等） ∴． 16. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为 （1）参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______． （3）若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？ 【答案】（1）400；见解析 （2）20； （3）600人 【解析】 【分析】（1）利用概率公式可求出参与调查的人数，再求出B组的人数并补全统计图即可； （2）根据总人数和A组人数，然后求出m即可；用乘以C组的人数占比，求出圆心角度数即可； （3）用750乘以样本中初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的人数占比即可． 【小问1详解】 解：人， ∴参与此次调查的学生有400人， ∴B组的人数为人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴； 扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：人 答：估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有600人． 18. 已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． （1）如图1，若，直接写出的度数； （2）如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 （3）如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y=_____________． 【答案】27 【解析】 【分析】首先根据3x+4y-3=0，求出3x+4y的值是多少；然后根据 ，即可求解． 【详解】解：∵3x+4y-3=0， ∴3x+4y=3， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）． （2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 20. 用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可解答； 【详解】 设 则 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，该题解答的关键是确定针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比． 21. 为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），例如： ，若，则______， _____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到和的值，本题得以解决．本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值． 【详解】解：， ， ， ，， 故答案为：4，． 22. 将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①、②、③，即可求解． 【详解】解：①时，如图所示： ∴； ②时，如图所示： ∴ ∴； ③时，如图所示： ∴ ∴； 综上所述：或或 故答案为：或或 23. 如图，在中，，，现平面内有一点D，使得，连接BD，CD，若，，则点A到BD的距离为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分点D在上方和下方两种情况，通过作辅助线发现四点共圆、构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质推出长度关系即可解答． 【详解】解：①当点D在上方，如图所示，过A作交干点H，在上取占P，使， ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆, ∴， 在和中， , ∴ ∴, ∵， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴'； ②当点D在上方，如图所示：过A作交干点H，在上取占P，使， ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆, ∴， 在和中， , ∴ ∴, ∵， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴'． 综上所述，点A到距离为或． 【点睛】本题主要考查了四点共圆、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 若的展开式中不含的二次项和一次项． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式的应用． （1）根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）把原式化为，再利用平方差公式逐步计算即可解题． 【小问1详解】 解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 上式． 25. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________； 图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）， （2）①；②22； （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ，， ； ②设，，则，， ∴， 即； 故答案为：22； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 26. 如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G． （1）若平分，，求的度数； （2）如图2，若，连接，证明：； （3）在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，根据三角形内角和定理，得到，由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即：，解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 【小问3详解】 解：作，，连接，作 交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期初2025级半期学情监测数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上） 1. 2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小棒的长度，其中能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A. B. C. D. 5. 如果，，，那么它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　） A. 39° B. 45° C. 50° D. 51° 7. 如图，，，，于D，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 在中，，，则______． 10. 若，则的值为______． 11. 等腰三角形的一边长为cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为_________________ cm． 12. 如图，，，，则的度数为______． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1） （2）． （3）先化简，再求值：，其中a，b满足：． 15. 已知：，，，求：，的度数． 请将证明过程及理由补充完整． 解：∵， ∴∠ 理由（ ） ∵ ∴___° 又∵ ∴∠ 理由：（ ） ∴ 16. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 17. 为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为 （1）参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______． （3）若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？ 18. 已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． （1）如图1，若，直接写出的度数； （2）如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 （3）如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若3x+4y﹣3＝0，则27x•81y=_____________． 20. 用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______________． 21. 为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），例如： ，若，则______， _____． 22. 将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，__________． 23. 如图，在中，，，现平面内有一点D，使得，连接BD，CD，若，，则点A到BD的距离为______________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 若的展开式中不含的二次项和一次项． （1）求的值； （2）求的值． 25. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________； 图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 26. 如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G． （1）若平分，，求的度数； （2）如图2，若，连接，证明：； （3）在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $