精品解析：甘肃武威第十中学等校九年级2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷 （武威十中，武威十三中，武威爱华联考） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意； B、，原选项错误，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， ∴， 故选：D． 5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个不相等的实数根得到判别式大于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 解得：， 综上，的取值范围是且． 6. 如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，先根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接与， ∴，又， ∴， 故选：A． 7. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 8. 近年来，甘肃在接待国内游客人数和旅游收入方面得到了发展，如图所示的统计图反映了2020—2024年甘肃省国内旅游收入情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2024年甘肃省国内旅游收入最多 B. 2022年甘肃省国内旅游收入最少 C. 2020-2024年，甘肃省国内旅游收入持续增加 D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图提供信息解答即可． 本题考查了统计图的应用，从统计图中得到解题所需要的信息是解题的关键． 【详解】解：A. 根据统计图信息，得到， 故2024年甘肃省国内旅游收入最多，正确，不符合题意； B. 根据题意，得， 故2022年甘肃省国内旅游收入最少，正确，不符合题意； C. 根据题意，得， 故2020-2024年，甘肃省国内旅游收入不是持续增加，而是先增加后又下降，再增加，原说法错误，符合题意； D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元，原说法正确，不符合题意； 故选C． 9. 如图，在正方形中，，以为边向外作等边，连接，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由正方形和等边三角形的性质可得，，即得，得到，进而得到为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：． 10. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，则，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是__________．（只写一个） 【答案】3（大于2的数均可） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键．根据题意得出时，满足该反比例函数在各象限内y的值随x的增大而增大，再求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴k的值可以是3． 故答案为：3（大于2的数均可）． 13. 小亮测得一圆锥模型的底面直径为，母线长为，那么它的侧面展开图的面积为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥模型的侧面展开图的面积为：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，点是边延长线上一点，，点是边上一点，，连接并延长交于点，则的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据，证明，过点G作于点M，则四边形是矩形，得到，， 在中，根据勾股定理，得． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点G作于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，得． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 16. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键． 观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律，即可求解． 【详解】解：第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 则第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， 第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 . 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先依次求出两个不等式的解集，再取公共部分为不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①：， 解得； 解不等式②：， 解得； 故不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先通分化简括号内，再把除法转化为乘法约分即可． 【详解】解：原式 ． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【小问1详解】 解：（1）如图： 【小问2详解】 ． 理由：连接DF，EG如图所示 则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为_____； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式求解即可； （）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到卡片的结果有种， 抽到卡片的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有种， ∴． 22. 人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！其碑身正面镌刻毛泽东题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字；背面是毛泽东、周恩来题写的百余字碑文．在了解相关历史背景后，某数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走12.7米到点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：） 【答案】38米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，根据代入数值计算得，证明是等腰直角三角形，得，又因为米，得出，再列式计算，即可作答． 【详解】解：在中， ． ． 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴． 米， 设米， 则， ． 答：纪念碑顶部点到地面的距离的长约为38米． 23. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站．为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A.，B.，C.，D.），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 九年级 71 80 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有600人，九年级有800人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀． 【答案】（1）70；80；55 （2）九年级成绩更好，因为九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高 （3）估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义和优秀率计算公式依次求解即可； （2）根据平均数、众数、中位数、优秀率进行比较即可； （3）分别计算两个年级的优秀人数，再相加． 【小问1详解】 解：∵30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100中70出现的次数最多， ∴； 由条形图知，九年级中A等级有6人， ∵B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82， 将数据从高到低排列后，第10个和第11个数据都是80， ∴九年级数据的中位数为， ∴； ∵九年级80及以上的人数有（人）， ∴九年级优秀率为， ∴； 【小问2详解】 解：九年级成绩更好； 理由：九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高； 【小问3详解】 解：（人）， （人）， （人） ∴估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：； （2）点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：； ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴ ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 由题意得， 解得， ∵点P为y轴负半轴上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 25. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，易证，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）先利用“”说明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． 26. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论； （2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论； （3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线， ∴, ∵， ∴， ∴, 在和中， , ∴, ∴; （2）∵，四边形是正方形， ∴,, ∴, ∵，， ∴, ∴, 在和中， , ∴, ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, 即； （3）过点D作于点H，连接BD， ∵， ∵， ∴， ∵, ∴， 在和中， , ∴, ∴，， ∵且, ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，, ∴, ∵是正方对角线， ∴, ∵ ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴在中，, ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1） （2）①，②5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷 （武威十中，武威十三中，武威爱华联考） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，甘肃在接待国内游客人数和旅游收入方面得到了发展，如图所示的统计图反映了2020—2024年甘肃省国内旅游收入情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2024年甘肃省国内旅游收入最多 B. 2022年甘肃省国内旅游收入最少 C. 2020-2024年，甘肃省国内旅游收入持续增加 D. 从2023年开始，甘肃省国内旅游收入突破2500亿元 9. 如图，在正方形中，，以为边向外作等边，连接，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是__________．（只写一个） 13. 小亮测得一圆锥模型的底面直径为，母线长为，那么它的侧面展开图的面积为 _________． 14. 如图，在矩形中，，点是边延长线上一点，，点是边上一点，，连接并延长交于点，则的长为_____． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 16. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为_____； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率． 22. 人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！其碑身正面镌刻毛泽东题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字；背面是毛泽东、周恩来题写的百余字碑文．在了解相关历史背景后，某数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走12.7米到点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：） 23. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站．为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A.，B.，C.，D.），部分信息如下： 八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100 九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82 八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 八年级 71 a 70 九年级 71 80 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____． （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有600人，九年级有800人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 25. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 26. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $