甘肃武威第十中学等校九年级2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年第二学期初中数学期中联考卷，以AI技术、神舟二十一号等科技热点，《算法统宗》、清代几何作图等文化素材，甘肃旅游、天水投石机等地方情境为载体，通过基础到综合的梯度设计，考查抽象能力、推理意识和模型观念，实现数学与现实的深度联结。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、科学记数法、一元二次方程根的判别式等|第3题以AI工具DAU数据考查科学记数法，培养数感；第7题《算法统宗》分银问题强化模型意识| |填空题|6/18|因式分解、反比例函数、规律探究等|第16题醇类分子氢原子规律题，发展抽象能力；第15题投石机抛物线模型，体现应用意识| |解答题|9/52|几何作图、统计分析、圆的切线证明、二次函数综合等|第25题圆的切线证明考查推理能力；第27题二次函数动点问题，融合空间观念与创新意识，符合期中综合检测要求|

2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷（武威十中，武威十三中，武威爱华联考） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 答案：A 解析：只有符号不同的两个数互为相反数，2026 的相反数是−2026。 2. 答案：A 解析： · A：，正确； · B：，错误； · C：与不是同类项，不能合并，错误； · D：，错误。 3. 答案：D 解析：科学记数法形式为（），。 4. 答案：D 解析：正十二边形每个内角，故。 5. 答案：A 解析：一元二次方程，且，得且。 6. 答案：A 解析：圆周角，圆内接四边形外角等于内对角，。 7. 答案：D 解析：每人 7 两多 4 两：；每人 9 两少 8 两：。 8. 答案：C 解析：2020-2022 年收入下降，2022-2024 上升，并非持续增加。 9. 答案：B 解析：正方形，为等边，，，为等腰直角三角形，。 10. 答案：B 解析：菱形，为对角线，点到时对应图象转折点，，。 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 答案： 解析：。 12. 答案：3（答案不唯一，即可） 解析：反比例函数随增大而增大，，得。 13. 答案： 解析：圆锥侧面积。 14. 答案： 解析：由相似与勾股定理得。 15. 答案：50 解析：抛物线，对称轴。 16. 答案：4054 解析：规律：氢原子数，时，。 三、解答题 17. 计算： 解：原式。 18. 解不等式组 解： ①，； ②，； 解集：。 19. 化简： 解： 原式 。 20. （1）作图：按题意用圆规画弧，保留痕迹即可； （2）大小关系：。 21. （1）概率：； （2）列表 / 树状图：总情况 16 种，相同卡片 4 种，概率。 22. 解： 设，中，； 中，； ，，； 答：长约米。 23. （1），，； （2）九年级更好：九年级优秀率更高、中位数更高； （3）估算：人。 24. （1）解析式： 代入，，，一次函数：； 代入，，，； 反比例函数：，； （2），设，，； 在负半轴，，坐标。 25. （1）证明：连接，为直径，，； 由，得，，是切线； （2）求：由切割线定理，，； 设，中，，。 26. （1）证明：正方形，，，； （2）结论：； （3）计算：。 27. （1）解析式：代入、，得； （2）①坐标； ②最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷 （武威十中，武威十三中，武威爱华联考） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 2026 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内 AI 产品榜统计数据，某款 AI 搜索工具在上线仅 20 天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达 22150000。将数据 22150000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图 1 是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图 2 是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图 2 中的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 如图，四边形内接于，是延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分多四两，九两分之少半斤。试问各位善算者，多少人分多少银？” 译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两。若每人分 7 两，则还多 4 两；若每人分 9 两，则还差 8 两。请问：有多少客人？分多少银两？” 设客人为人，银两为两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，甘肃在接待国内游客人数和旅游收入方面得到了发展，如图所示的统计图反映了 2020—2024 年甘肃省国内旅游收入情况。根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2024 年甘肃省国内旅游收入最多 B. 2022 年甘肃省国内旅游收入最少 C. 2020-2024 年，甘肃省国内旅游收入持续增加 D. 从 2023 年开始，甘肃省国内旅游收入突破 2500 亿元 9. 如图，在正方形中，，以为边向外作等边，连接，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图 1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点。设运动的时间为，的面积为。已知与之间的函数图象如图 2 所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 因式分解： _______。 12. 已知反比例函数（为常数，），在各象限内的值随的增大而增大，则的值可以是_______。（只写一个） 13. 小亮测得一圆锥模型的底面直径为，母线长为，那么它的侧面展开图的面积为_______。（结果保留） 14. 如图，在矩形中，，点是边延长线上一点，，点是边上一点，，连接并延长交于点，则的长为_______。 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地。如图 1 所示的投石机是古代战争中的攻城首选。已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图 2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系。当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是_______。 16. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，○代表氧原子，○代表氢原子。第 1 种如图 1 有 4 个氢原子，第 2 种如图 2 有 6 个氢原子，第 3 种如图 3 有 8 个氢原子，第 4 种如图 4 有 10 个氢原子，…… 按照这一规律，第 2026 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是_______。 三、解答题 17. （4 分）计算：。 18. （4 分）解不等式组： 19. （4 分）化简：。 20. （6 分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图 1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角。以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线。 如图 2，为直角。以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线，。 （1） 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图 2 中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系。 21. （6 分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动。为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种 AI 软件，他将四种 APP 的图标依次制成 A、B、C、D 四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上。 （1）从中随机抽取一张，抽到 B 卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率。 22. （8 分）人民英雄纪念碑是我们中华民族的丰碑，它记录着我们中华民族的荣与辱！其碑身正面镌刻毛泽东题词 “人民英雄永垂不朽” 八个鎏金大字；背面是毛泽东、周恩来题写的百余字碑文。在了解相关历史背景后，某数学研学小组的同学们决定利用所学知识来测量人民英雄纪念碑的高度，方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离，同学们在点处测得点的仰角；然后沿方向走米到点处，此时测得点的仰角。请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长。（结果精确到 1 米。参考数据：，，） 23. （7 分）2025 年 10 月 31 日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站。为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了 20 名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用表示，总分 100 分，80 分及以上为优秀，共分为四个等级：A.，B.，C.，D.），部分信息如下： · 八年级 20 名学生的竞赛成绩为：。 · 九年级 20 名学生的竞赛成绩中 B 等级包含的所有数据为：。 根据以上信息，九年级抽取学生竞赛成绩统计表，解答下列问题： （1）填空：，，_______； （2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有 600 人，九年级有 800 人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀。 24. （7 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点。 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点为轴负半轴上一点，连接。若的面积为，求点的坐标。 25. （8 分）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知。 （1）求证：是的切线； （2）过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长。 26. （8 分）已知正方形，，为平面内两点。 （1）如图 1，当点在边上时，，且，，三点共线。求证：。 （2）如图 2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线。猜想并证明线段，，之间的数量关系； （3）如图 3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点。若，，求的长。\ 27. （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点。 （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图 2，连接，过点作与抛物线相交于另一点。 ①求点的坐标； ②如图 3，点，为线段上两个动点（点在点的右侧），且，连接，。求的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $