第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 3．（5分）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据知O、A、B、C是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【解答过程】因为，且P、A、B、C四点共面， 则，解得， 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解答过程】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 5．（5分）（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，用坐标运算计算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围． 【解答过程】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，，，， ，， ， 当时， 取得最小值， 当或1，或1时，取得最大值0， 所以的取值范围是. 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·福建福州·阶段练习）正四棱柱的底面边长为1，点E，F分别为，的中点，且已知与所成角的大小为60°，则直线与平面之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设正四棱柱高为，求出与的方向向量，即可表示出与所成角，从而求得正四棱柱的高，再求出平面的法向量和，即可求得直线与平面之间的距离. 【解答过程】解：以为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，    因为点分别为，的中点，则，，，， 所以，，因为与所成角的大小为60°， 所以，解得， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，由得，解得， 令，得，所以， 因为，又平面，所以平面， 所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离，因为， 所以直线与平面之间的距离为：. 故选A. 7．（5分）（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【解题思路】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【解答过程】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【解答过程】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南开封·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解题思路】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【解答过程】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 10．（6分）（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解题思路】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【解答过程】对于选项A，由题意，，， 假设，则存在实数，使得， 即，所以，方程组无解， 即不存在实数，使得，所以和不平行，故A错误； 对于选项B，由，，可得， ，则，故B正确； 对于选项C，由，， 可得， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，由，， 可得，故D错误. 故选：BC． 11．（6分）（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．平面与底面的夹角余弦值为 B．点到平面的距离为 C．点到点的距离最大值为 D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A，根据点面距离的向量法即可求解B，根据面面平行的性质可得截面为六边形，即可根据点点距离公式求解CD. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， ，取，则， 而平面的一个法向量为， 所以平面与底面的夹角余弦值为.故A错误， 所以点到平面的距离为，故B正确， 延长交于点,连接交延长线于点,连接交于， 由于点为体对角线靠近点的三等分点，所以, , , 在棱上取，使得, 由于,故， 连接,故六边形即为平面上与正方体所截得的截面， 由于 , 由于最大，故为最大值，故当在处时，最大为,正确， 由于 ,因此六边形的最长对角线的长度不小于的长度，因此六边形的最长对角线的长度大于，故D正确， 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【解答过程】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据数量积的坐标运算结合二次函数性质，即可求得答案. 【解答过程】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·北京朝阳·期末）在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【解题思路】根据给定的长方体，建立空间直角坐标系，由确定点的竖坐标关系，再利用空间位置关系的向量证明判断①③；利用向量夹角公式求解判断②；利用点到平面距离的向量求法求解判断④即可得解. 【解答过程】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得，解得， 对于①，，，因此，①正确； 对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2) 【解题思路】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【解答过程】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 16．（15分）（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3). 【解题思路】（1）根据向量模的坐标表示计算； （2）由向量垂直的数量积为0求解； （3）由向量夹角公式计算． 【解答过程】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 17．（15分）（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 18．（17分）（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求证：； (2)若AB与平面的所成角的正弦值为，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质定理得证线线垂直； （2）取中点，证明出平面，以为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设，由线面角的空间向量法求线面角，从而求得，再由点到平面距离的向量法求解． 【解答过程】（1）因为是正方形，则， 因为平面平面,平面平面 ,平面， 所以平面， 又因为平面，所以； （2）取中点，连接， 因为，所以， 平面平面，平面平面 ,平面， 所以平面， 以为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 设， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 由已知，解得（负值舍去）， 则， 所以点B到平面的距离为． 19．（17分）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【解答过程】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以 ,平面,平面， 所以 平面； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 3．（5分）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 5．（5分）（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·福建福州·阶段练习）正四棱柱的底面边长为1，点E，F分别为，的中点，且已知与所成角的大小为60°，则直线与平面之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 8．（5分）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·河南开封·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 10．（6分）（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 11．（6分）（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点为棱 的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．平面与底面的夹角余弦值为 B．点到平面的距离为 C．点到点的距离最大值为 D．设平面与正方体棱的交点为、… 、，则边形最长的对角线的长度大于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 13．（5分）（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 14．（5分）（24-25高二上·北京朝阳·期末）在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 16．（15分）（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 17．（15分）（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 18．（17分）（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求证：； (2)若AB与平面的所成角的正弦值为，求点B到平面的距离． 19．（17分）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $