专练19 二次函数的应用(二)商品利润&专练20 二次函数的应用(三)实物抛物线-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

19 专练19二次函数的应用（二） 商品利润 【方法规律】(1)根据利润=单个的利润X销售量，写出函数解析式 (2)注意自变量的取值范围（特别是自变量为整数的情况）， 典例导练 示范题某特许零售店销售亚运会吉祥物“琮琮”，若“琮踪”的进价为每件40元，如 果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，但不超过80元，每件商 品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后若再涨价，则每涨1元 每个月少卖3件.设每件“琮琮”的售价为x元，每个月的销售量为y件. (1)求y关于x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围， (2)设每月的销售利润为，请直接写出与x的函数关系式. (3)每件“琮琮”的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多 少元？ 【思路点拨】(1)分两种情况：①当50≤x≤80时；②当80x≤140时，y关于x的函 数关系式 (2)根据利润=单个的利润×销售量，写出函数解析式 (3)分两种情况分别求出最大利润，然后得出结果 【自主解答】 20 专练20二次函数的应用（三） 实物抛物线 【方法规律】正确建立平面直角坐标系、熟练运用待定系数法及二次函数与一元二次 方程的关系是解题的关键， 心)典例导练 示范题小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水 平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上 的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.小 明某次试投时的数据如图所示， (1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式 (2)若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距 3m 离O℃的长度)不小于10m,成绩为优秀.请通过计算，判断小 明此次试投的成绩是否能达到优秀 【思路点拨】(I)根据题意画出图象，由顶点式设抛物线的解析式， (2)根据题意解方程即可得到结论. 【自主解答】 知能检测 如图，某城区公园有直径为7的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装 置，喷出水呈抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的 水流达到最大高度为8m. (1)抛物线解析式为 (2)若不改变(1)中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水 槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？ 02)2-9,设y=(x+2-p)2-9, -(a+2-1)2-2,解得a=-2 由题意，得(2一p)2-9=0,解得 或0（舍去）. 2xm,DC=AB=2(200 p=5或p=一1（舍去），故p的 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 值为5. )=(100-号x)m,放y= 最大值为一2，此时不符合题 示范题2287 意.综上，a的值为5或一2. (100-x）=-号x2+10x,自 5 知能检测 专练15数形结合（一）】 1.y=3(x+1)2-1 函数值的大小比较 变量x的取值范围为：28≤x< 80. 2.y= 2(x-1)2 典例导练 B (2)由题意可得：y=- 3.y=- 3 x2+ x-3)2+3 知能检测 3 1.C 8Cx2-80x)= 5 100x=- 专练14二次函数的区间最值 4 2.-1<n<0 与增减问题 x-40)2+2000,28≤x<80,. 由题意，可知抛物线开口向上， 典例导练 当x=40时，y有最大值，最大值 对称轴为直线x=1, y=x2+2m.x+m+2=(.x+m)2 为2000m2. ,A,B两点在对称轴x=1的 十2十m一m2,对称轴为直线x= 两侧，则点A在x=1的右侧， (3)由题意得，S矩形EAGH=AG· -m, .列不等式组 (1)当-m<-2时，即m>2时， AE=(100-)· 2n+3>1 x=一2函数有最小值，则4一4m 6x2+25x,SE形rc=DC·DE 3n-1<1 十m+2=-3,解得m=3. 1-(n-1)>2m+3-1 (2)当-2≤-m≤2时，x=-m 解得-1<n<0. -(10-·=-+ 函数有最小值，则2十m一m2= 专练16 数形结合（二） 50x,设安装成本为心元，则w 3,解得m1= 1+/2 (舍去)，m2 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 40(-x2+25x)+20(-8 -1-/2I C 2 +50.x)=-25.x2+2000x,令w 知能检测 (3)一m>2时，x=2函数有最小 1.B2.B =30000,则-25.x2+2000x= 值，则4+4m十m+2=-3,解得 专练17数形结合（三） 分析 30000,解得x=60或20，.28≤ 9 m= (舍去).综上所述，m的 一元二次方程的根 x<80,∴.60≤x<80时，安装成 典例导练 本不超过30000元. 值为3或 -√/21 m2-3m(-1<m<0) 专练19二次函数的应用（二）】 2 (1)d= 商品利润 知能检测 -m2+3m(0<m<3)》 1号或-3 2)09 <d<4时，点P的个数 典例导练 (1)当50≤x≤80时，y=210 2.y=-x2+2x-3=-(.x-1)2 9 为1：②1=时，点P的个数为2： (x-50),即y=260-x,当80< 一2，函数图象开口方向向下， x≤140时，y=210-(80-50) 对称轴为直线x=1,顶点为(1， ③0<d<号时，点P的个数为8 3(x-80),即y=420-3.x.∴.y -2). 知能检测 /260-x(50≤x≤80) (1)当a-3>1时，此时x=a1.D2.D 420-3.x(80<x≤140)1 一3时，y取最大值-3，可得： 专练18二次函数的应用（一） (2)当50≤x≤80时，销售利润： -3=-(a-3-1)2-2,解得a 图形面积 =(x-40)(260-x)=-x2+ =5或3（舍去） 典例导练 300x-10400;当80x≤140时， (2)当a+2<1,此时x=a+2 =(x-40)(420-3x)=-3.x2 时，y取最大值一3，可得：一3= (1)由题意得，AE=HG=AD 十540x一16800.综上分析可知，w= 64 -x2+300x-10400(50x≤≤80) -x2+2x十3，∴.C(0,3),设直线x=-1,设M(m,yM),N(-1, |-3x2+540x-16800(80x≤140) BC的解析式为y=kx+3,将点B 2 n),yM=- 2、 (3)当50≤x≤80时，=-x2+ (3,0)代入y=kx+3,解得：k=一 3m+2, 300.x-10400=-(x-150)2+ 1,.直线BC的解析式为y=一x ①当四边形ACMN为平行四边 12100,当x=80时有最大值，最 +3, 形时，AC平移到NM,有 大值为：-(80-150)2+12100= 设点P(x,-x2十2x十3)，则点 m=0+2 ,解得：m=2,yM= 7200(元)；当80<x≤140时， H(x,一x+3),由点P、C、H的 yM=2+n =-3x2+540x-16800=-3(.x 坐标得PH=(一x2+3.x)2, CH2=2x2,PC2=x2+(-x2+ 号即M(2 1 3:②当四边形 -90)2+7500,当x=90时，有最 2x)2.分三种情况： ACNM为平行四边形时，AC平移 大值，最大值为7500元.故售价 定为90元时.每个月可获得最大 ①当PC=CH时，2x2=x2+(- m=-3-1 到MN,有 解得：m= 利润，最大利润为7500元. x2+2x)2,整理，得x-4x3十 yM=n-2 3.x2=0,x>0,∴.x2-4x+3= 即-4- 10 专练20二次函数的应用（三） -4,yM= 实物抛物线 0,解得x1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，∴点P的坐标为(1,4)； ③当四边形AMCN为平行四边 典例导练 m-1_-3+0 (1)依题意，设该抛物线的表达式 ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 2 为y=a(x一4)2+3，由抛物线过 2x)2=（-x2十3x)2,整理，得 形时，有： ,解得： ym十n 0+2 点A,有16a+3=2.解得a=一 2x3-4x2=0,.x>0,.2x-4 =0,解得x=2,.P(2,3); 6心该抛物线的表达式为y= 1n= 2,yM=2,即M(-2,2). ③当PH=CH时，(-x2+3.x)2 =2x2,整理，得x2-6.x+7=0, 综上所述，点M的坐标为(2， 16.x-4)2+3. 解得x1=3-√2，x2=3+√2，由 9)或(-4，-9)或-22》. (2)令y=0,得-6(x-4)2+3 题意，得0<x<3,∴x=3一√2， 专练23 二次函数综合（三） ∴.P(3-√2,4√2-2). =0,解得x1=4+4V3,x2=4-4W3 面积问题 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 (C为x轴正半轴，故舍去).∴.点C 典例导练 (2,3)或(3-√2,42-2) 的坐标为(4+4√3,0)，∴.OC=4 知能检测 ×2+2b+c=0 2 +43>10.∴.小明此次试投的成 (1,1) (1)由题意，得 绩达到优秀， ×82+8b+c=6 专练22 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与平行四边形 b=- 解得： ,∴.二次函数解析式 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 c=6 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 1 -1)2+k,把(3.5,0)代入可得k 0),B(1,0),由题意，得 为：y=2x2-4x+6: 125,.解析式为y=-2(x-1)2 2 (2),二次函数的对称轴交x轴 a= +12.5,当x=0时，y=10.5. a+b+2=0 3 于C点..C点的坐标为(4,0)， ,解得 答：水管OA的高度调整为10.5m. 9a-3b+2=0 易求BC所在的直线解析式为y b= 专练21二次函数综合（一） 3 3 3 2 x-6,“E点是直线y=之x 抛物线与特殊三角形 ∴.抛物线解析式为y=一 3 2 典例导练 一6与二次函数y= 2x2-4x+6 1-b+c=0 (1)由题意，得 3x+2; 的图象的交点， 3 -9+3b+c=0 (2)以AC为边或对角线分类讨 2x-6=2x 1b=2 解得： ∴.b=2,c=3: 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y -4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 c=31 (2),抛物线的函数表达式为：y= 3x+2的对称轴为 去)，当x=3时，y= 2X3-6= 3 66