专练15 数形结合(一) 函数值的大小比较&专练16 数形结合(二)二次函数图象与系数a，b，c的关系-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

2)2-9,设y=(x+2-p)2-9, -(a+2-1)2-2,解得a=-2 由题意，得(2一p)2-9=0,解得 或0（舍去）. 2xm,DC=AB=2(200 p=5或p=一1（舍去），故p的 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 值为5. )=(100-号x)m,放y= 最大值为一2，此时不符合题 示范题2287 意.综上，a的值为5或一2. (100-x）=-号x2+10x,自 5 知能检测 专练15数形结合（一）】 1.y=3(x+1)2-1 函数值的大小比较 变量x的取值范围为：28≤x< 80. 2.y= 2(x-1)2 典例导练 B (2)由题意可得：y=- 3.y=- 3 x2+ x-3)2+3 知能检测 3 1.C 8Cx2-80x)= 5 100x=- 专练14二次函数的区间最值 4 2.-1<n<0 与增减问题 x-40)2+2000,28≤x<80,. 由题意，可知抛物线开口向上， 典例导练 当x=40时，y有最大值，最大值 对称轴为直线x=1, y=x2+2m.x+m+2=(.x+m)2 为2000m2. ,A,B两点在对称轴x=1的 十2十m一m2,对称轴为直线x= 两侧，则点A在x=1的右侧， (3)由题意得，S矩形EAGH=AG· -m, .列不等式组 (1)当-m<-2时，即m>2时， AE=(100-)· 2n+3>1 x=一2函数有最小值，则4一4m 6x2+25x,SE形rc=DC·DE 3n-1<1 十m+2=-3,解得m=3. 1-(n-1)>2m+3-1 (2)当-2≤-m≤2时，x=-m 解得-1<n<0. -(10-·=-+ 函数有最小值，则2十m一m2= 专练16 数形结合（二） 50x,设安装成本为心元，则w 3,解得m1= 1+/2 (舍去)，m2 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 40(-x2+25x)+20(-8 -1-/2I C 2 +50.x)=-25.x2+2000x,令w 知能检测 (3)一m>2时，x=2函数有最小 1.B2.B =30000,则-25.x2+2000x= 值，则4+4m十m+2=-3,解得 专练17数形结合（三） 分析 30000,解得x=60或20，.28≤ 9 m= (舍去).综上所述，m的 一元二次方程的根 x<80,∴.60≤x<80时，安装成 典例导练 本不超过30000元. 值为3或 -√/21 m2-3m(-1<m<0) 专练19二次函数的应用（二）】 2 (1)d= 商品利润 知能检测 -m2+3m(0<m<3)》 1号或-3 2)09 <d<4时，点P的个数 典例导练 (1)当50≤x≤80时，y=210 2.y=-x2+2x-3=-(.x-1)2 9 为1：②1=时，点P的个数为2： (x-50),即y=260-x,当80< 一2，函数图象开口方向向下， x≤140时，y=210-(80-50) 对称轴为直线x=1,顶点为(1， ③0<d<号时，点P的个数为8 3(x-80),即y=420-3.x.∴.y -2). 知能检测 /260-x(50≤x≤80) (1)当a-3>1时，此时x=a1.D2.D 420-3.x(80<x≤140)1 一3时，y取最大值-3，可得： 专练18二次函数的应用（一） (2)当50≤x≤80时，销售利润： -3=-(a-3-1)2-2,解得a 图形面积 =(x-40)(260-x)=-x2+ =5或3（舍去） 典例导练 300x-10400;当80x≤140时， (2)当a+2<1,此时x=a+2 =(x-40)(420-3x)=-3.x2 时，y取最大值一3，可得：一3= (1)由题意得，AE=HG=AD 十540x一16800.综上分析可知，w= 64 -x2+300x-10400(50x≤≤80) -x2+2x十3，∴.C(0,3),设直线x=-1,设M(m,yM),N(-1, |-3x2+540x-16800(80x≤140) BC的解析式为y=kx+3,将点B 2 n),yM=- 2、 (3)当50≤x≤80时，=-x2+ (3,0)代入y=kx+3,解得：k=一 3m+2, 300.x-10400=-(x-150)2+ 1,.直线BC的解析式为y=一x ①当四边形ACMN为平行四边 12100,当x=80时有最大值，最 +3, 形时，AC平移到NM,有 大值为：-(80-150)2+12100= 设点P(x,-x2十2x十3)，则点 m=0+2 ,解得：m=2,yM= 7200(元)；当80<x≤140时， H(x,一x+3),由点P、C、H的 yM=2+n =-3x2+540x-16800=-3(.x 坐标得PH=(一x2+3.x)2, CH2=2x2,PC2=x2+(-x2+ 号即M(2 1 3:②当四边形 -90)2+7500,当x=90时，有最 2x)2.分三种情况： ACNM为平行四边形时，AC平移 大值，最大值为7500元.故售价 定为90元时.每个月可获得最大 ①当PC=CH时，2x2=x2+(- m=-3-1 到MN,有 解得：m= 利润，最大利润为7500元. x2+2x)2,整理，得x-4x3十 yM=n-2 3.x2=0,x>0,∴.x2-4x+3= 即-4- 10 专练20二次函数的应用（三） -4,yM= 实物抛物线 0,解得x1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，∴点P的坐标为(1,4)； ③当四边形AMCN为平行四边 典例导练 m-1_-3+0 (1)依题意，设该抛物线的表达式 ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 2 为y=a(x一4)2+3，由抛物线过 2x)2=（-x2十3x)2,整理，得 形时，有： ,解得： ym十n 0+2 点A,有16a+3=2.解得a=一 2x3-4x2=0,.x>0,.2x-4 =0,解得x=2,.P(2,3); 6心该抛物线的表达式为y= 1n= 2,yM=2,即M(-2,2). ③当PH=CH时，(-x2+3.x)2 =2x2,整理，得x2-6.x+7=0, 综上所述，点M的坐标为(2， 16.x-4)2+3. 解得x1=3-√2，x2=3+√2，由 9)或(-4，-9)或-22》. (2)令y=0,得-6(x-4)2+3 题意，得0<x<3,∴x=3一√2， 专练23 二次函数综合（三） ∴.P(3-√2,4√2-2). =0,解得x1=4+4V3,x2=4-4W3 面积问题 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 (C为x轴正半轴，故舍去).∴.点C 典例导练 (2,3)或(3-√2,42-2) 的坐标为(4+4√3,0)，∴.OC=4 知能检测 ×2+2b+c=0 2 +43>10.∴.小明此次试投的成 (1,1) (1)由题意，得 绩达到优秀， ×82+8b+c=6 专练22 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与平行四边形 b=- 解得： ,∴.二次函数解析式 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 c=6 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 1 -1)2+k,把(3.5,0)代入可得k 0),B(1,0),由题意，得 为：y=2x2-4x+6: 125,.解析式为y=-2(x-1)2 2 (2),二次函数的对称轴交x轴 a= +12.5,当x=0时，y=10.5. a+b+2=0 3 于C点..C点的坐标为(4,0)， ,解得 答：水管OA的高度调整为10.5m. 9a-3b+2=0 易求BC所在的直线解析式为y b= 专练21二次函数综合（一） 3 3 3 2 x-6,“E点是直线y=之x 抛物线与特殊三角形 ∴.抛物线解析式为y=一 3 2 典例导练 一6与二次函数y= 2x2-4x+6 1-b+c=0 (1)由题意，得 3x+2; 的图象的交点， 3 -9+3b+c=0 (2)以AC为边或对角线分类讨 2x-6=2x 1b=2 解得： ∴.b=2,c=3: 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y -4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 c=31 (2),抛物线的函数表达式为：y= 3x+2的对称轴为 去)，当x=3时，y= 2X3-6= 3 66(15 专练15数形结合（一） 函数值的大小比较 【方法规律】通常先判断抛物线的开口方向，对称轴，从而根据抛物线上的点到对称 轴的距离可以判断函数值的大小关系，也可由函数值的大小关系判断点到对称轴的距 离.数形结合的思想方法在二次函数解题中能大大简化运算过程. ⑦典例导练 示范题使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 ↑ylm 0.09 y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系0.0725 y=a.x2十bx十c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶 0.06 水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数 据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为 25 5060x/度 () A.37.5° B.40° C.42.5° D.45° 【思路点拨】方法一：数形结合：本题实质求对称轴的大致位置，由图象可判断二次函 数的开口向上，对称轴的位置在25~50之间，设对称轴为x=m,由函数值的大小关系可 判断对应，点到对称轴的距离：50一mm一25,60一m>m一25. 方法二：待定系数法：由二次函数的一般表达式，将三点的坐标代入求解 知能检测 1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2十bx(a,b为实数，a>0),已知点（一3，m), (2,n),(4,t)在该抛物线上，若3a十b=0,则m,n,t的大小关系为 ) A.tn<m B.m<t<n C.n<t<m D.n<m<t 2.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2十3，y1),B(n一1，y2)两点.若A,B 分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2,则n的取值范围为 .(请写 出分析过程) 16 专练16 数形结合（二）二次函数图象与系数a,b,c的关系 【方法规律】①a看方向；②ab看对称轴；③c看与y轴交，点；④a士b+c看x=士1； ⑤4a十2b十c看x=2;⑥b一4ac看与x轴交点个数；⑦经过，点得方程；⑧没过，点得不等 式. ③典例导练 示范题二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，则下列结论：① abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤a+b<m(am+b) (m≠1)中正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】①由图象可知：图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1, ∴.a<0,c>0,b=-2a>0,abc<0,此结论正确.②当x=-1时，y<0,即a-b十 c<0,.b>a十c,此结论错误；③由图象可知，当x=2时，y>0,∴.4a十2b十c>0,此结 论正确；④对称轴为x=1,∴.b=-2a.∴.2a十b=0,此结论正确；⑤.x=1时，y=a十 b+c(最大值)，x=m时，y=am2+bm十c,.m≠1，∴.a十b十c>am2+bm+c=m(am+ b)十c,.a十b>m(am十b),故此选项错误. 知能检测 1.已知二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0;② b2>4ac;③a(m2-1)+b(m-1)<0(m≠1)；④关于x的方程|a.x2+bx十c=1有四 个根，且这四个根的和为4.其中正确的结论有 A.①②③ B.②③④ C.①④ D.②③ 第1题图 第2题图 2.如图所示是二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)图象的一部分，直线x=一1是对称轴， 有下列判断：①6-2a=0:②4a-2b十c<0;③a-b十c=-9a；①若(-3，)，(， y2)是抛物线上的两点，则y1<y2.其中正确的是 A.①②③ B.①③ C.①④ D.①③④