专练13 求二次函数解析式(三)图象变换&专练14 二次函数的区间最值与增减问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

(13 专练13求二次函数解析式（三）图象变换 【方法规律】(1)平移规律：先把二次函数的一般式化成顶点式，然后根据图象平移的 规律得到新函数的解析式，最后把有关点的坐标代入求解 (2)翻折、旋转规律：确定函数图象变换前后的对应，点的坐标关系是解题的关键 ⑦典例导练 示范题1已知抛物线y=x2十4x一5，将该抛物线向右平移p(p>0)个单位，平移 后所得新抛物线经过坐标原点.求p的值. 【思路点拨】把一般式化成顶，点式得到y=(x十2)一9，根据平移的规律得到y=(x十 2一)2一9，把原，点坐标代入即可求得饣的值. 【自主解答】 示范题2已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象与抛物线y=一2x2十8.x一7关于 原点对称，则a= ,b= C 【思路点拨】首先设点P(x,y)为所求函数图象上任意一，点，求出P关于原，点对称的 点P'(-x,一y),把，点P'的坐标代入y=一2x2+8x-7中即可求出a,b,c的值. 知能检测 1.在平面直角坐标系中，若抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个 单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 2.已知抛物线C1:y= (x十1，将C,绕它的原点0旋转180得抛物线C,则抛物线 C2的解析式为 3.在平面直角坐标系中，点A是抛物线M:y=a(x一3)2+k与y轴的 交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的 等边三角形ABC的顶点C刚好和抛物线的顶点重合，将抛物线M沿 x轴翻折后得到抛物线N,抛物线V的顶点落在了线段AB上，则抛 物线N的解析式为 14 专练14二次函数的区间最值与增减问题 【方法规律】“轴动区间定”“轴定区间动”模型，需要分三种情况讨论：对称轴在区间 的左侧、区间内、右侧，然后确定这三种情况下的最值.最值的取得与图象的开口方向，对 称轴与区间的相对位置有关 心典例导练 示范题已知抛物线y=x2+2m.x+m+2在一2≤x≤2区间上的最小值是一3，求 m的值， 【思路点拨】先求出二次函数的对称轴为直线x=一（轴动区间定模型），然后分① 一m<-2时，x=一2函数有最小值；②一2≤-m≤2时，x=-m函数有最小值；③ >2时，x=2函数有最小值分别列方程求解 【自主解答】 之知能检测 类型一开口方向不确定，需分类讨论 1.已知二次函数y=a.x2十4ax十3a在一3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 类型二轴定区间动模型，需分类讨论（区间在对称轴的左侧、包含对称轴、右侧） 2.已知二次函数y=一x2十2x一3，当自变量x的值满足a一3≤x≤a+2时，与其对应 的函数值y的最大值为一3，求a的值.是一元二次方程，关于x的方 2.(1)-6 (2)x1=3x=-4. 程有实根，.△=（一4）2一4(k十 (2).p>0,.△=36-4×1× 2.x2-(k+3)x十2k+2=(x 1)×1≥0，解得k≤3.∴.k≤3且 (-p)=36+4p>0, 2)(x一k一1)=0，.x1=2,x2k≠-1；综上所述，k≤3时，方程 .m,n是一元二次方程x2十 =k+1.由题意，得k十1<1，解 有实数根， 6.x一p=0的两个实数根，且m 得：k<0,k的取值范围为k 知能检测 ≠n, <0. 1.,△=(-4k)2-4k(4k-1)= ∴.m十n=-6,mn=一p,.∴.m1 专练04特殊法解方程（二） 4k,k≠0， +n2=(m+n)2-2mn=36+ 换元法 ①当k>0时，4k>0,即△>0， 2p, 典例导练 此一元二次方程有两个不相等 m2+n2-36 36+2p-36 设x2+2x=y,则原方程转化为 的实数根； y2-y-12=0,整理，得(y-4) ②当k<0时，4k<0,即△<0， =2. (y十3)=0.解此方程，得y1=4, 此一元二次方程无实数根； 专练07一元二次方程的应用（一） y2=-3.当y=4时，x2+2x= 综上所述，当k>0时，一元二 单（双）循环问题 4, 次方程有两个不相等的实数 典例导练 .x=-1士√5；当y=-3时，x2 根；当k<0时，一元二次方程 设初中组共有x个队参加比赛， 十2x=一3，此时该方程无解. 无实数根 ∴原方程的解为x1=一1十5,2.(1)证明：因为关于x的一元二 依题意列方程2x(x-1)=45. 次方程为mx2一4.x十4一m=0 解得：x1=10,x2=-9(不合题 x2=-1-5」 (m≠0)，所以△=（一4）2一4m 意，舍去)， 知能检测 答：初中组共有10个队参加比赛. 1.设m2=2.x+y(m≥0)，原方程 (4-m)=4(m-2)2≥0，所以 知能检测 可变为m2一9=8m 此方程总有实数根； 1.设这个多边形是n边形，则 整理，得(m-9)(m十1)=0.所 (2)由m.x2-4x+4-m=0得， 以m=9或m=-1(舍去). x1=1,x2=- m-4 则 n(n-3）=20,.n2-3n-40 2 m 即代数式2x+y的值为81. =0,(n-8)(n十5)=0，解得n 2.设x2十2x=n,则n2十4n一5= m-4_4 m m 一1.因为方程有两 =8,n=一5（舍去）.故多边形 0,整理，得(n-1)(n+5)=0, 个互不相等的非负整数根，且 解得n=1或n=-5, 2=18, 的边数为8.由””，3) m为整数，所以m=1或4. 当n=-5时，x2+2x=-5无 可得n2-3n-36=0,.b 专练06根与系数的关系的应用 解（舍去），即x2+2x=1, 4ac=9+144=153,∴.方程的 典例导练 所以x3+3x2+x=x(x2+2x (1)由题意，得k-1≠0，且△= 根无法求出整数，故这样的多 +1)+x2=2x+x2=1. 边形不存在 专练05根的判别式的应用 2k+13>0,解得<且k≠1 2.设有x个好友，依题意，x(x 典例导练 (2)假设存在两根的值互为相反数， 1)=870,整理，得x2-x-870 (1)由条件可知该方程为一元二 设为x1,x2,x1十x2=0,. =0,即(x-30)(x十29)=0，解 (k+1≠0 2k-3 3 得：x1=30,x2=-29(舍去). 次方程， △=16-4(k+1)=0 k-1 =0,k= 答：这个微信群里共有30个好友， 解得k=3,∴.方程为4x2-4x十1 又号且16不存在 专练08一元二次方程的应用（二） =0,即(2x一1)2=0，∴.方程的两 传播问题、变化率问题 知能检测 典例导练 根为x1=x2=2 1.由题意，得a十b=2, 设每个人计划发展下线x人，则 (2)当k=一1时，方程变为一元 ∴.a2-b2+4b=(a+b)(a-b) 第一轮发展下线2x人，第二轮发 一次方程一4x+1=0,此时方程 +4b=2a-2b+4b=2a+2b= 展下线2x2人，根据题意得：2十 有实数根；当k≠一1时，此方程 4. 2x十2x2=114,整理得：x2+x一 61 56=0,解得：x1=7,x2=一8（不 专练10一元二次方程的应用（四）：2.根据题意，可知抛物线的对称 符合题意，舍去). 通道、围栏问题 轴为直线x=4,抛物线与x轴 答：每个人计划发展下线7人 典例导练 的两交点坐标为(0,0)，(8,0)， 知能检测 (1)设矩形ABCD的边AB为 设抛物线解析式为y=a(x 1.(1)1+x+x(1+x)=81 xm,则边BC=70一2.x+2=(72 4)2+2,把(0,0)代入得16a= (2)1+x+x2=45 一2x)m.根据题意，得x(72 -2,解得a= 1 ,所以抛物线 2.设每次提价的百分比为x,依题 2x)=640,化简，得x2-36x+ 8 意，得：100(1+x)2=144,解 320=0,解得x1=16,x2=20, 解析式为y= 得：x1=0.2=20%,x2=-2.2 8x2+x 当x=16时，72-2x=72-32= (不合题意，舍去)，∴.100(1+ 专练12求二次函数解析式（二） 40(m);当x=20时，72-2x=72 x)=100×(1+20%)=120. 隐含对称轴 -40=32(m). 答：第一次提价后的售价为120元 典例导练 答：当羊圈的长为40m,宽为16m 专练09一元二次方程的应用（三） 根据题意，得抛物线的对称轴为 或长为32m,宽为20m时，能围成 利润问题 个面积为640m2的羊圈， 直线x= 24=-1,.当.x= 典例导练 2 (2)不能，理由：由题意，得x(72一 设售价定为x元，[600-10(x 3和x=1时，函数值相等，由题 2x)=650,化简，得x2-36x+ 40门(x-30)=10000,整理，得 意，得x=1和x=-3时，y=0, 325=0,△=(-36)2-4×325= x2-130x+4000=0,解得：x1= 即抛物线经过（一3,0），(1,0)， 一4<0，∴.一元二次方程没有实 50,x2=80(舍去).600-10(x-40) 设抛物线解析式为y=a(x十3) 数根..羊圈的面积不能达到 =600-10×(50-40)=500(个). (.x一1)，当x=-1时，y最小值= 650m2. 答：台灯的定价定为50元，这时 4a=一8，解得a=2,.抛物线解 知能检测 应进台灯500个. 析式为y=2x2+4x-6. 1.1 知能检测 知能检测 2.设页边距为xcm, (1)由题意得：当x>40时，每台学 由题意得：(42-2x)(30-2.x) 1.由题意，得一2一-2，联立 习机的售价为（元）：800一5(x一40) =-5.x+1000. =42X30×9, 2x1十x2=5,解得x1=1,x2 3,.A(1,0),B(3,0),把A(1, (2)设图中直线解析式为：y=kx十 整理得：x2-36x+35=0, b,把(0,700)和(50,600)代入得： 0)代入y=a.x2-4ax+3,解 k=一2直线 解得：x1=1,x2=35(不合题 50k+b=600 得：a=1.∴.抛物线的解析式为 ,解得 意，舍去) 1b=700 1b=700 y=x2-4x+3. 答：需设置页边距为1cm. 2.由题意，得对称轴为直线x= 解析式为：y=一2x十700， 当x=60时，进价为：y=一2×60 -4m 专练11 求二次函数解析式（一 2m =2,点C坐标为(0，n), +700=580,售价为：800-5× 顶点式 (60一40)=700，则每台学习机可 典例导练 OC=OB=n,OA= 3,由抛物 以获利：700-580=120（元）. (3)当x>40时，每台学习机的利 y=x2+mx+m=(x+2m) 3 线对称轴可得，2 =2,解 润是：(-5.x+1000)-(-2.x+ m2 700)=-3x+300,则x(-3.x十 m,由题意，得-m 十7m= 4 得：n=3,将B(3,0)代入y= 300)=4800,解得：x1=80,x2= mx2-4m.x+3,得9m-12m+ 20(舍)；当x≤40时，每台学习机 (-2m).解得：m=0或m=2. 3=0,.m=1,∴.抛物线的解析 的利润是：800一（一2x+700)=2x 知能检测 式为：y=x2-4x十3. +100,则x(2x+100)=4800,解得： 1.由题意，可设顶点式为y=a(x 专练13求二次函数解析式（三） x1=30,x2=-80(舍) 2)2-1,将(0,3)代入得，4a 图象变换 答：该商店可能购进并销售学习 一1=3，解得a=1,∴.抛物线的 典例导练 机80台或30台. 解析式为y=(x-2)2-1. 示范题1y=x2+4x-5=(x十 63 2)2-9,设y=(x+2-p)2-9, -(a+2-1)2-2,解得a=-2 由题意，得(2一p)2-9=0,解得 或0（舍去）. 2xm,DC=AB=2(200 p=5或p=一1（舍去），故p的 (3)当a-3≤1≤a+2时，y的 值为5. )=(100-号x)m,放y= 最大值为一2，此时不符合题 示范题2287 意.综上，a的值为5或一2. (100-x）=-号x2+10x,自 5 知能检测 专练15数形结合（一）】 1.y=3(x+1)2-1 函数值的大小比较 变量x的取值范围为：28≤x< 80. 2.y= 2(x-1)2 典例导练 B (2)由题意可得：y=- 3.y=- 3 x2+ x-3)2+3 知能检测 3 1.C 8Cx2-80x)= 5 100x=- 专练14二次函数的区间最值 4 2.-1<n<0 与增减问题 x-40)2+2000,28≤x<80,. 由题意，可知抛物线开口向上， 典例导练 当x=40时，y有最大值，最大值 对称轴为直线x=1, y=x2+2m.x+m+2=(.x+m)2 为2000m2. ,A,B两点在对称轴x=1的 十2十m一m2,对称轴为直线x= 两侧，则点A在x=1的右侧， (3)由题意得，S矩形EAGH=AG· -m, .列不等式组 (1)当-m<-2时，即m>2时， AE=(100-)· 2n+3>1 x=一2函数有最小值，则4一4m 6x2+25x,SE形rc=DC·DE 3n-1<1 十m+2=-3,解得m=3. 1-(n-1)>2m+3-1 (2)当-2≤-m≤2时，x=-m 解得-1<n<0. -(10-·=-+ 函数有最小值，则2十m一m2= 专练16 数形结合（二） 50x,设安装成本为心元，则w 3,解得m1= 1+/2 (舍去)，m2 二次函数图象与系数a,b,c的关系 2 典例导练 40(-x2+25x)+20(-8 -1-/2I C 2 +50.x)=-25.x2+2000x,令w 知能检测 (3)一m>2时，x=2函数有最小 1.B2.B =30000,则-25.x2+2000x= 值，则4+4m十m+2=-3,解得 专练17数形结合（三） 分析 30000,解得x=60或20，.28≤ 9 m= (舍去).综上所述，m的 一元二次方程的根 x<80,∴.60≤x<80时，安装成 典例导练 本不超过30000元. 值为3或 -√/21 m2-3m(-1<m<0) 专练19二次函数的应用（二）】 2 (1)d= 商品利润 知能检测 -m2+3m(0<m<3)》 1号或-3 2)09 <d<4时，点P的个数 典例导练 (1)当50≤x≤80时，y=210 2.y=-x2+2x-3=-(.x-1)2 9 为1：②1=时，点P的个数为2： (x-50),即y=260-x,当80< 一2，函数图象开口方向向下， x≤140时，y=210-(80-50) 对称轴为直线x=1,顶点为(1， ③0<d<号时，点P的个数为8 3(x-80),即y=420-3.x.∴.y -2). 知能检测 /260-x(50≤x≤80) (1)当a-3>1时，此时x=a1.D2.D 420-3.x(80<x≤140)1 一3时，y取最大值-3，可得： 专练18二次函数的应用（一） (2)当50≤x≤80时，销售利润： -3=-(a-3-1)2-2,解得a 图形面积 =(x-40)(260-x)=-x2+ =5或3（舍去） 典例导练 300x-10400;当80x≤140时， (2)当a+2<1,此时x=a+2 =(x-40)(420-3x)=-3.x2 时，y取最大值一3，可得：一3= (1)由题意得，AE=HG=AD 十540x一16800.综上分析可知，w= 64 -x2+300x-10400(50x≤≤80) -x2+2x十3，∴.C(0,3),设直线x=-1,设M(m,yM),N(-1, |-3x2+540x-16800(80x≤140) BC的解析式为y=kx+3,将点B 2 n),yM=- 2、 (3)当50≤x≤80时，=-x2+ (3,0)代入y=kx+3,解得：k=一 3m+2, 300.x-10400=-(x-150)2+ 1,.直线BC的解析式为y=一x ①当四边形ACMN为平行四边 12100,当x=80时有最大值，最 +3, 形时，AC平移到NM,有 大值为：-(80-150)2+12100= 设点P(x,-x2十2x十3)，则点 m=0+2 ,解得：m=2,yM= 7200(元)；当80<x≤140时， H(x,一x+3),由点P、C、H的 yM=2+n =-3x2+540x-16800=-3(.x 坐标得PH=(一x2+3.x)2, CH2=2x2,PC2=x2+(-x2+ 号即M(2 1 3:②当四边形 -90)2+7500,当x=90时，有最 2x)2.分三种情况： ACNM为平行四边形时，AC平移 大值，最大值为7500元.故售价 定为90元时.每个月可获得最大 ①当PC=CH时，2x2=x2+(- m=-3-1 到MN,有 解得：m= 利润，最大利润为7500元. x2+2x)2,整理，得x-4x3十 yM=n-2 3.x2=0,x>0,∴.x2-4x+3= 即-4- 10 专练20二次函数的应用（三） -4,yM= 实物抛物线 0,解得x1=1,x2=3(不合题意， 舍去)，∴点P的坐标为(1,4)； ③当四边形AMCN为平行四边 典例导练 m-1_-3+0 (1)依题意，设该抛物线的表达式 ②当PC=PH时，x2+(-x2+ 2 为y=a(x一4)2+3，由抛物线过 2x)2=（-x2十3x)2,整理，得 形时，有： ,解得： ym十n 0+2 点A,有16a+3=2.解得a=一 2x3-4x2=0,.x>0,.2x-4 =0,解得x=2,.P(2,3); 6心该抛物线的表达式为y= 1n= 2,yM=2,即M(-2,2). ③当PH=CH时，(-x2+3.x)2 =2x2,整理，得x2-6.x+7=0, 综上所述，点M的坐标为(2， 16.x-4)2+3. 解得x1=3-√2，x2=3+√2，由 9)或(-4，-9)或-22》. (2)令y=0,得-6(x-4)2+3 题意，得0<x<3,∴x=3一√2， 专练23 二次函数综合（三） ∴.P(3-√2,4√2-2). =0,解得x1=4+4V3,x2=4-4W3 面积问题 综上可得，点P的坐标为(1,4)或 (C为x轴正半轴，故舍去).∴.点C 典例导练 (2,3)或(3-√2,42-2) 的坐标为(4+4√3,0)，∴.OC=4 知能检测 ×2+2b+c=0 2 +43>10.∴.小明此次试投的成 (1,1) (1)由题意，得 绩达到优秀， ×82+8b+c=6 专练22 二次函数综合（二） 知能检测 抛物线与平行四边形 b=- 解得： ,∴.二次函数解析式 (1)y=-2(x-1)2+8 典例导练 c=6 (2)设抛物线的表达式为y=一2(x (1)易求点A,B的坐标：A(一3， 1 -1)2+k,把(3.5,0)代入可得k 0),B(1,0),由题意，得 为：y=2x2-4x+6: 125,.解析式为y=-2(x-1)2 2 (2),二次函数的对称轴交x轴 a= +12.5,当x=0时，y=10.5. a+b+2=0 3 于C点..C点的坐标为(4,0)， ,解得 答：水管OA的高度调整为10.5m. 9a-3b+2=0 易求BC所在的直线解析式为y b= 专练21二次函数综合（一） 3 3 3 2 x-6,“E点是直线y=之x 抛物线与特殊三角形 ∴.抛物线解析式为y=一 3 2 典例导练 一6与二次函数y= 2x2-4x+6 1-b+c=0 (1)由题意，得 3x+2; 的图象的交点， 3 -9+3b+c=0 (2)以AC为边或对角线分类讨 2x-6=2x 1b=2 解得： ∴.b=2,c=3: 论：A(-3,0),C(0,2),抛物线y -4x十6，解得：x1=3,x2=8(舍 c=31 (2),抛物线的函数表达式为：y= 3x+2的对称轴为 去)，当x=3时，y= 2X3-6= 3 66