专练07 一元二次方程的应用(一)单(双)循环问题&专练08 一元二次方程的应用(二)传播问题、变化率问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

是一元二次方程，关于x的方 2.(1)-6 (2)x1=3x=-4. 程有实根，.△=（一4）2一4(k十 (2).p>0,.△=36-4×1× 2.x2-(k+3)x十2k+2=(x 1)×1≥0，解得k≤3.∴.k≤3且 (-p)=36+4p>0, 2)(x一k一1)=0，.x1=2,x2k≠-1；综上所述，k≤3时，方程 .m,n是一元二次方程x2十 =k+1.由题意，得k十1<1，解 有实数根， 6.x一p=0的两个实数根，且m 得：k<0,k的取值范围为k 知能检测 ≠n, <0. 1.,△=(-4k)2-4k(4k-1)= ∴.m十n=-6,mn=一p,.∴.m1 专练04特殊法解方程（二） 4k,k≠0， +n2=(m+n)2-2mn=36+ 换元法 ①当k>0时，4k>0,即△>0， 2p, 典例导练 此一元二次方程有两个不相等 m2+n2-36 36+2p-36 设x2+2x=y,则原方程转化为 的实数根； y2-y-12=0,整理，得(y-4) ②当k<0时，4k<0,即△<0， =2. (y十3)=0.解此方程，得y1=4, 此一元二次方程无实数根； 专练07一元二次方程的应用（一） y2=-3.当y=4时，x2+2x= 综上所述，当k>0时，一元二 单（双）循环问题 4, 次方程有两个不相等的实数 典例导练 .x=-1士√5；当y=-3时，x2 根；当k<0时，一元二次方程 设初中组共有x个队参加比赛， 十2x=一3，此时该方程无解. 无实数根 ∴原方程的解为x1=一1十5,2.(1)证明：因为关于x的一元二 依题意列方程2x(x-1)=45. 次方程为mx2一4.x十4一m=0 解得：x1=10,x2=-9(不合题 x2=-1-5」 (m≠0)，所以△=（一4）2一4m 意，舍去)， 知能检测 答：初中组共有10个队参加比赛. 1.设m2=2.x+y(m≥0)，原方程 (4-m)=4(m-2)2≥0，所以 知能检测 可变为m2一9=8m 此方程总有实数根； 1.设这个多边形是n边形，则 整理，得(m-9)(m十1)=0.所 (2)由m.x2-4x+4-m=0得， 以m=9或m=-1(舍去). x1=1,x2=- m-4 则 n(n-3）=20,.n2-3n-40 2 m 即代数式2x+y的值为81. =0,(n-8)(n十5)=0，解得n 2.设x2十2x=n,则n2十4n一5= m-4_4 m m 一1.因为方程有两 =8,n=一5（舍去）.故多边形 0,整理，得(n-1)(n+5)=0, 个互不相等的非负整数根，且 解得n=1或n=-5, 2=18, 的边数为8.由””，3) m为整数，所以m=1或4. 当n=-5时，x2+2x=-5无 可得n2-3n-36=0,.b 专练06根与系数的关系的应用 解（舍去），即x2+2x=1, 4ac=9+144=153,∴.方程的 典例导练 所以x3+3x2+x=x(x2+2x (1)由题意，得k-1≠0，且△= 根无法求出整数，故这样的多 +1)+x2=2x+x2=1. 边形不存在 专练05根的判别式的应用 2k+13>0,解得<且k≠1 2.设有x个好友，依题意，x(x 典例导练 (2)假设存在两根的值互为相反数， 1)=870,整理，得x2-x-870 (1)由条件可知该方程为一元二 设为x1,x2,x1十x2=0,. =0,即(x-30)(x十29)=0，解 (k+1≠0 2k-3 3 得：x1=30,x2=-29(舍去). 次方程， △=16-4(k+1)=0 k-1 =0,k= 答：这个微信群里共有30个好友， 解得k=3,∴.方程为4x2-4x十1 又号且16不存在 专练08一元二次方程的应用（二） =0,即(2x一1)2=0，∴.方程的两 传播问题、变化率问题 知能检测 典例导练 根为x1=x2=2 1.由题意，得a十b=2, 设每个人计划发展下线x人，则 (2)当k=一1时，方程变为一元 ∴.a2-b2+4b=(a+b)(a-b) 第一轮发展下线2x人，第二轮发 一次方程一4x+1=0,此时方程 +4b=2a-2b+4b=2a+2b= 展下线2x2人，根据题意得：2十 有实数根；当k≠一1时，此方程 4. 2x十2x2=114,整理得：x2+x一 61 56=0,解得：x1=7,x2=一8（不 专练10一元二次方程的应用（四）：2.根据题意，可知抛物线的对称 符合题意，舍去). 通道、围栏问题 轴为直线x=4,抛物线与x轴 答：每个人计划发展下线7人 典例导练 的两交点坐标为(0,0)，(8,0)， 知能检测 (1)设矩形ABCD的边AB为 设抛物线解析式为y=a(x 1.(1)1+x+x(1+x)=81 xm,则边BC=70一2.x+2=(72 4)2+2,把(0,0)代入得16a= (2)1+x+x2=45 一2x)m.根据题意，得x(72 -2,解得a= 1 ,所以抛物线 2.设每次提价的百分比为x,依题 2x)=640,化简，得x2-36x+ 8 意，得：100(1+x)2=144,解 320=0,解得x1=16,x2=20, 解析式为y= 得：x1=0.2=20%,x2=-2.2 8x2+x 当x=16时，72-2x=72-32= (不合题意，舍去)，∴.100(1+ 专练12求二次函数解析式（二） 40(m);当x=20时，72-2x=72 x)=100×(1+20%)=120. 隐含对称轴 -40=32(m). 答：第一次提价后的售价为120元 典例导练 答：当羊圈的长为40m,宽为16m 专练09一元二次方程的应用（三） 根据题意，得抛物线的对称轴为 或长为32m,宽为20m时，能围成 利润问题 个面积为640m2的羊圈， 直线x= 24=-1,.当.x= 典例导练 2 (2)不能，理由：由题意，得x(72一 设售价定为x元，[600-10(x 3和x=1时，函数值相等，由题 2x)=650,化简，得x2-36x+ 40门(x-30)=10000,整理，得 意，得x=1和x=-3时，y=0, 325=0,△=(-36)2-4×325= x2-130x+4000=0,解得：x1= 即抛物线经过（一3,0），(1,0)， 一4<0，∴.一元二次方程没有实 50,x2=80(舍去).600-10(x-40) 设抛物线解析式为y=a(x十3) 数根..羊圈的面积不能达到 =600-10×(50-40)=500(个). (.x一1)，当x=-1时，y最小值= 650m2. 答：台灯的定价定为50元，这时 4a=一8，解得a=2,.抛物线解 知能检测 应进台灯500个. 析式为y=2x2+4x-6. 1.1 知能检测 知能检测 2.设页边距为xcm, (1)由题意得：当x>40时，每台学 由题意得：(42-2x)(30-2.x) 1.由题意，得一2一-2，联立 习机的售价为（元）：800一5(x一40) =-5.x+1000. =42X30×9, 2x1十x2=5,解得x1=1,x2 3,.A(1,0),B(3,0),把A(1, (2)设图中直线解析式为：y=kx十 整理得：x2-36x+35=0, b,把(0,700)和(50,600)代入得： 0)代入y=a.x2-4ax+3,解 k=一2直线 解得：x1=1,x2=35(不合题 50k+b=600 得：a=1.∴.抛物线的解析式为 ,解得 意，舍去) 1b=700 1b=700 y=x2-4x+3. 答：需设置页边距为1cm. 2.由题意，得对称轴为直线x= 解析式为：y=一2x十700， 当x=60时，进价为：y=一2×60 -4m 专练11 求二次函数解析式（一 2m =2,点C坐标为(0，n), +700=580,售价为：800-5× 顶点式 (60一40)=700，则每台学习机可 典例导练 OC=OB=n,OA= 3,由抛物 以获利：700-580=120（元）. (3)当x>40时，每台学习机的利 y=x2+mx+m=(x+2m) 3 线对称轴可得，2 =2,解 润是：(-5.x+1000)-(-2.x+ m2 700)=-3x+300,则x(-3.x十 m,由题意，得-m 十7m= 4 得：n=3,将B(3,0)代入y= 300)=4800,解得：x1=80,x2= mx2-4m.x+3,得9m-12m+ 20(舍)；当x≤40时，每台学习机 (-2m).解得：m=0或m=2. 3=0,.m=1,∴.抛物线的解析 的利润是：800一（一2x+700)=2x 知能检测 式为：y=x2-4x十3. +100,则x(2x+100)=4800,解得： 1.由题意，可设顶点式为y=a(x 专练13求二次函数解析式（三） x1=30,x2=-80(舍) 2)2-1,将(0,3)代入得，4a 图象变换 答：该商店可能购进并销售学习 一1=3，解得a=1,∴.抛物线的 典例导练 机80台或30台. 解析式为y=(x-2)2-1. 示范题1y=x2+4x-5=(x十 63(7 专练07一元二次方程的应用（一）单（双）循环问题 【方法规律】循环问题要注意分清单循环和双循环.（单循环=总计数除以2，如本例 属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内， 个点（没有三，点共线）之间连线，所有线段的条数) 心典例导练 示范题某市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行 一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组x个球队比赛总场 数 2x(x一1)，由此可得出方程 【自主解答】 之知能检测 1.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如 果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 2.张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群.这个微信群里有若干个好友，每个好 友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有870条消息.这个 微信群里共有多少个好友？ 专练08一元二次方程的应用（二） 传播问题、变化率问题 【方法规律】审题弄清传播基数与传播方式的变化，如本例设长为x个支干，把小分 枝用x2表示是关键. )典例导练 示范题某诈骗组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线进行网络诈 骗，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人 计划发展下线多少人？ 【思路点拨】设每个人计划发展下线x人，则第一轮发展下线2x人，第二轮发展下 线2x2人，可列出关于x的一元二次方程. 【自主解答】 心知能检测 1.(1)如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.若每一轮感染 中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意，列出方程得 (2)某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长 具有神奇的规律.比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数 为x,则可列方程为 2.一件商品原售价每件100元，经过两次提价后销售价格变为每件144元，若每次提价 的百分比相同，求第一次提价后的售价为多少元？