第25章 综合与实践(一)数形结合与方程思想&综合与实践(二)方程建模与实际应用-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第二十五章一元二次方程 :14.把x=3代入方程得k的值为 25.1一元二次方程的概念 士√2，再把k=士2代入方程 1.D2.≠±2-2 得另一个根为一1. 3.方程略 15.(1)5±2 -2-8 (1)二次项系数为3，一次项系 (2)x1=1+√22，x2=1 数为一2，常数项为一1； √/22. (2)二次项系数为3，一次项系 第2课时配方法 数为一1，常数项为0： 1.C2.C (3)二次项系数为(m+n), 次项系数为(m一n),常数项为 3.(1)2 (3)93 (p-q). 1 4.A (4) 5.D【条件变式】-1 4.C 【逆向变式】一1 5.(1)x1=1+/5,x2=1-√5， 6.C7.x(x+13)=8288.D (2)x1= -1+13 9.B10.C 6 11.x2+(x-6.8)2=102 -1-√13 12.(1)k=1; 6 (2)该方程的二次项系数为k2 6.C7.C8.B9.110.-2 一1，一次项系数为一(k十1)， 11.(1)x1=x2=4. 常数项为一2. (2)此方程无实数根. 13.(1)-4.x2+100x-400=0. (3)x1=1+√13，x2=1- (2)x2-x-756=0. /13. 14.31Ⅱ（②号 (3)C 12.△ABC是直角三角形. 25.2降次—解一元二次方程 13.1)V462+a7-a 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 (2)AD的长是方程的正根， 1.D2.B 图解法不能表示方程的负根. 3.(1)n≥0(2)x=-4 微课堂 41,=2xg=- 【示例】一4 2 (2)x1=7,x2=-7. 【变式】号音 5.D6.B 25.2.2用公式法解一元二次方程 7.(1)x1=3,x2=-5. 1.A2.A (2)x1=4,x2=0. 3.4m-4>1=1<1 8.99.D10.B11.A 4.A5.A 12.±√2 6.4-3 -2 41 x1= 13.(1)x1=-1,x2=2. 3+√/41 x2 3-/41 8 8 （2)x1=2,x2=°】 7.3.x2+9.x-1=0 (3)x1=3,x2=-3. 8.(1)x1=x2=√2. 49 (2)x1=-2+6,x2=-2-√6. 2.1或2 9.B10.A11.D 25.2.4一元二次方程的 3 2 根与系数的关系 12.(1Dx=2x=3 1.A2.B【变式】2020 (2)x1=0,x2=-2. 2 13.(1)证△>0. 3. (2)m的值为士2，方程的另 5 1 4.(1)0 (2) (3) 个根是4. 2 14.(1)k≤4. 5.D (2)k的值为3或4. 6.另一个根是2十√5，c的值是一 (3)由求根公式得x= 1. 4±√16-4k 7.A8.C9.D10.D11.14 2 12.x2-6.x+6=0 ∴.x1=2十√4一k,x2=2 13.(1)k的取值范围为k>一1. √/4-k,由题意，得x1一x2= (2)1 2√4-k=2,解得k=3. 14.(1)证△>0. 25.2.3因式分解法 (2)m的值为-2或1. 1.C2.B 15.(1)5123 3.C【变式】(x+3)(x+4)=0 4.(1)x1=- e 3x2=-5; 专题一 一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=9. 1.(1)x1=3,x2=-1. 5.D 1 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)x1= 2x2=3. 7.(1)x1=1,x2=2. (3)x1=-2,x2=0. (2)x1 3+53-√/5 (4)x1=2十5，x2=2-√5 2 ,x2 2 (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (501=1,x4=- 1 8.D9.210.1611.±1 12.2或-1 (6)x1=2x2=3. 13.k=2,t=-3. 2.y1=2,y2=-4. 14.(1)①x1=x2=1②x1=1, 3.(1)x1=7,x2=-1. x2=2③x1=1,x2=3 (2)x1=6,x2=-1. (2)①x1=1,x2=11②x2 -(1+n).x+n=0 (3)x1=1x2=- 2 (3)x2-12.x=-11, 9 ④x=2 x2-12.x+36=-11+36,(x 3 -6)2=25,x-6=±5， 4.A5.y2-2y-3=0 故x1=1,x2=11.所以猜想 6.x1=-1+2,x2=-1-√2. 正确。 7.2a+b=-2. 微课堂 25.3实际问题与一元二次方程 【变式应用】 第1课时数字、面积与图形问题 1.(1)x1=5,x2=-1. 1.x(x-16)=2252.363.D (2)x1=-3,x2=1. :4.(18-x)(30-x)=233 50 5.2 x(x-1) (2)y= 1128 6.BE的长为2-√5」 2 7.仪仗方队有12排，17列. (3)该班共有20名女生. 8.(1)小林应把绳子剪成12cm和 综合与实践（一）数形结合 与方程思想 28cm两段， 【理解应用】② (2)小峰的说法是对的. 久（曾秋 【类比证移1x+ (x+x+ (2)10秒后P,Q两点相距 )-4×1+() x2 25cm. 【拓展应用】士231或3 10.(1)电动车车棚的长为24m, 综合与实践（二）方程建模 宽为16m; 与实际应用 (2)不能围成面积为450m2的 任务一：这个矩形的长和宽分别 电动车车棚 是60cm和20cm; 第2课时传播、平均变化率问题 任务二：按图4上面的做法合适， 1.C2.C 下面的做法不合适. 3.(1)每轮传染中，平均一个人传 章未核心考点与素养提升 染10个人； 1.-32.-1 (2)按照这样的速度传染，第三 3.(1)x=√2±1. 轮将新增1210名感染者. 4.A5.10%6.20%7.D (2)x1= 3℃2= 8.B9.6 4.B5.(1)13(2)-6 (3)a 10.(1)10%. 2且a≠0 (2)可以超过40%，理由略 6.(1)当m=1时，四边形ABCD 11.任务1：第一季度到第三季度 为菱形 生产量的每季度增长率为 20%; (2)m=2 任务2：应增加5条生产线， 7.10% 第3课时循环、商品利润问题 8.(1)(60-3a)(2)a=12. 1.D2.B 9.B10.A11.A 1 12.3(x-1)x=6210 3.1)2x(x-1)=40,淇淇的说 13.(1)每月销售y(件)与售价x 法正确： (元)的函数关系式为y= (2)x的值为10. -10x+1200. 4.(3+x)0.5x(4-0.5x) (2)售价定为70元可获得利 (3+x)(4-0.5.x)=15 润是10000元. 5.80元 14.(1)1 6.每件衬衫应降价20元. (2)x1=3+i,x2=3-i 7.(1)y与x的函数关系式为y= 第二十六章二次函数 2x+190(180≤x≤300)： 26.1二次函数的概念 1.C (2)当房价为210元时，宾馆当 2.(1)a≠2 日可获利8450元. (2)a=2,b≠-2 8.(1)1015 :3.一般形式略 5122 综合与实践（一）数形结合与方程思想 阅读材料，并解决问题. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法， 以x2十2x一35=0为例，构造方法如下： 首先将方程x2十2x一35=0变形为x(x十2)=35，然后画四个长为x十2，宽为 x+2 x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的 x+2 面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面 x+2 积之和，即4x(x十2)十22=4X35+4.因此，可得新方程(x十x十2)2=144.因 x+2 为x表示边长，所以2x十2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程 图1 的其中一个正根. 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2一4x一12=0 (x>0)的正确构图是 .(从序号①②③中选择) ① ③ 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3.x一2=0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为2+号-1=0，即( ）=1; 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ,解得原方程的一个根为 【拓展应用】一般地，对于形如x2十ax=b的一元二次方程可以构造图来解， 图2 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数α= ,b= ,求得方程的正根为 23 综合与实践（二）方程建模与实际应用 【问题情境】DY是当下的时尚，遍布各个行业.利用旧衣服自己裁剪，自己缝制，做成可爱实用的手 工环保袋，拿着自己做的包包出门，必定是独一份的美丽.手提袋上的图案还可以根据自己的爱好 设计，手工画上或者绣上自己想要的图案，小兰同学自己观察了环保袋的图案，如图1，发现要制作 这么一个袋子只需要在旧衣服上裁剪出合适的矩形，然后把矩形对折缝合即可. 【任务要求】 任务一：小兰找到一块等腰直角三角形废旧布料设计了如图2所示方案.即在直角三角形ABC中 (∠B=90)中裁剪下矩形BDEF.经过测量，AB=BC=80cm,设BF为xcm,那么小兰能否裁出 一块面积为1200cm的矩形布块呢？这个矩形的长和宽分别是多少？ 任务二：小兰有一本珍藏的手账本，手账本封面大小为16cm×27cm,小兰想利用任务裁下来的矩形 BDEF制作一个包包存放手账本，为了将矩形BDEF制作成包包，需要在四周留出一定宽度的布 作为包包的缝线区域.如图3，左右两侧留出的宽度相同，均为αcm；上下两侧留出的宽度相同，均 为bcm,且a:b=3:2,请你帮助小兰算出条形区域宽度，并说明把矩形沿点线对折缝制的包包如图 4是否合适 图1 图2