25.3 第1课时 数字、面积与图形问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

16 25.3 实际问题 第1课时数字 01基础达标 知识点一数字问题 1.如图是某月的月历表，在此月历表上可以按图 示形状圈出位置相邻的6个数（如：8、14、15、 16、17、24).如果圈出的6个数中，最大数x与 最小数的积为225，那么根据题意可列方程为 日一二三四五六 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 2.[跨语文学科]读诗词，通过列方程解题： 大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督 东吴，早逝英才两位数.十位恰小个位三，个位 平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周 瑜.周瑜去世时 岁 知识点二面积问题 3.学校准备举办“和谐校园”摄影作品展览，现要 在一幅长30cm,宽20cm的矩形作品四周外围 镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与 原作品面积相等.设彩纸的宽度为xcm,可列 方程 A.(30+2x)(20+2x)=30X20 B.(30+x)(20+x)=30×20 C.(30-2x)(20-2x)=2×30×20 D.(30+2x)(20+2x)=2X30×20 4.[新考法·情景题]如图是某停车场的平面示 意图.停车场外围的长为30m,宽为18m.停车 场内车道的宽都相等.停车位总占地面积为 233m.设车道的宽为xm,可列方程为 与一元二次方程 面积与图形问题 -30m 出口 车 18m 车道 30m x m 24n +x m 第4题图 第5题图 5.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩 形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿 地，它们的面积之和为480m,两块绿地之间 及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的 宽度为 m. 知识点三图形问题 6.如图，在正方形ABCD中，AB=1,点E、F分 别在边BC、CD上，△AEF是等边三角形，求 BE的长. 02能力提升 7.2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争 暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京 天安门广场隆重举行.在分列式中，高擎国旗、 党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步 方队，接受检阅.已知仪仗方队共213人，其中 擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个 方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人， 求仪仗方队有多少排多少列. 8.小林准备进行如下操作实验：把一根长为 40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一 个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm, 小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不 可能等于48cm,他的说法对吗？请说明理由. 9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm, BC=25cm.动点P从点C出发，沿CA方向 运动，速度是2cm/s;同时，动点Q从点B出 发，沿BC方向运动，速度是1cm/s. (1)几秒后，△PCQ是等腰三角形？ (2)几秒后，P、Q两点相距25cm? P 17 03思维拓展 10.电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部 分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着 火、爆炸，将造成非常严重的危害.“人车分 离”是保障大家生命安全的重要手段.阳光小 区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两 个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的 后墙（可利用墙长为45m),其他的边用总长 70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏 状如“山”字形 (1)若车棚占地面积为384m,试求出电动车 车棚的长(BC)和宽(AB); (2)若小区拟利用现有棚栏对电动车车棚进 行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电 动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如 果不能，请说明理由， 45m D墙温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第二十五章一元二次方程 :14.把x=3代入方程得k的值为 25.1一元二次方程的概念 士√2，再把k=士2代入方程 1.D2.≠±2-2 得另一个根为一1. 3.方程略 15.(1)5±2 -2-8 (1)二次项系数为3，一次项系 (2)x1=1+√22，x2=1 数为一2，常数项为一1； √/22. (2)二次项系数为3，一次项系 第2课时配方法 数为一1，常数项为0： 1.C2.C (3)二次项系数为(m+n), 次项系数为(m一n),常数项为 3.(1)2 (3)93 (p-q). 1 4.A (4) 5.D【条件变式】-1 4.C 【逆向变式】一1 5.(1)x1=1+/5,x2=1-√5， 6.C7.x(x+13)=8288.D (2)x1= -1+13 9.B10.C 6 11.x2+(x-6.8)2=102 -1-√13 12.(1)k=1; 6 (2)该方程的二次项系数为k2 6.C7.C8.B9.110.-2 一1，一次项系数为一(k十1)， 11.(1)x1=x2=4. 常数项为一2. (2)此方程无实数根. 13.(1)-4.x2+100x-400=0. (3)x1=1+√13，x2=1- (2)x2-x-756=0. /13. 14.31Ⅱ（②号 (3)C 12.△ABC是直角三角形. 25.2降次—解一元二次方程 13.1)V462+a7-a 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 (2)AD的长是方程的正根， 1.D2.B 图解法不能表示方程的负根. 3.(1)n≥0(2)x=-4 微课堂 41,=2xg=- 【示例】一4 2 (2)x1=7,x2=-7. 【变式】号音 5.D6.B 25.2.2用公式法解一元二次方程 7.(1)x1=3,x2=-5. 1.A2.A (2)x1=4,x2=0. 3.4m-4>1=1<1 8.99.D10.B11.A 4.A5.A 12.±√2 6.4-3 -2 41 x1= 13.(1)x1=-1,x2=2. 3+√/41 x2 3-/41 8 8 （2)x1=2,x2=°】 7.3.x2+9.x-1=0 (3)x1=3,x2=-3. 8.(1)x1=x2=√2. 49 (2)x1=-2+6,x2=-2-√6. 2.1或2 9.B10.A11.D 25.2.4一元二次方程的 3 2 根与系数的关系 12.(1Dx=2x=3 1.A2.B【变式】2020 (2)x1=0,x2=-2. 2 13.(1)证△>0. 3. (2)m的值为士2，方程的另 5 1 4.(1)0 (2) (3) 个根是4. 2 14.(1)k≤4. 5.D (2)k的值为3或4. 6.另一个根是2十√5，c的值是一 (3)由求根公式得x= 1. 4±√16-4k 7.A8.C9.D10.D11.14 2 12.x2-6.x+6=0 ∴.x1=2十√4一k,x2=2 13.(1)k的取值范围为k>一1. √/4-k,由题意，得x1一x2= (2)1 2√4-k=2,解得k=3. 14.(1)证△>0. 25.2.3因式分解法 (2)m的值为-2或1. 1.C2.B 15.(1)5123 3.C【变式】(x+3)(x+4)=0 4.(1)x1=- e 3x2=-5; 专题一 一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=9. 1.(1)x1=3,x2=-1. 5.D 1 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)x1= 2x2=3. 7.(1)x1=1,x2=2. (3)x1=-2,x2=0. (2)x1 3+53-√/5 (4)x1=2十5，x2=2-√5 2 ,x2 2 (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (501=1,x4=- 1 8.D9.210.1611.±1 12.2或-1 (6)x1=2x2=3. 13.k=2,t=-3. 2.y1=2,y2=-4. 14.(1)①x1=x2=1②x1=1, 3.(1)x1=7,x2=-1. x2=2③x1=1,x2=3 (2)x1=6,x2=-1. (2)①x1=1,x2=11②x2 -(1+n).x+n=0 (3)x1=1x2=- 2 (3)x2-12.x=-11, 9 ④x=2 x2-12.x+36=-11+36,(x 3 -6)2=25,x-6=±5， 4.A5.y2-2y-3=0 故x1=1,x2=11.所以猜想 6.x1=-1+2,x2=-1-√2. 正确。 7.2a+b=-2. 微课堂 25.3实际问题与一元二次方程 【变式应用】 第1课时数字、面积与图形问题 1.(1)x1=5,x2=-1. 1.x(x-16)=2252.363.D (2)x1=-3,x2=1. :4.(18-x)(30-x)=233 50 5.2 x(x-1) (2)y= 1128 6.BE的长为2-√5」 2 7.仪仗方队有12排，17列. (3)该班共有20名女生. 8.(1)小林应把绳子剪成12cm和 综合与实践（一）数形结合 与方程思想 28cm两段， 【理解应用】② (2)小峰的说法是对的. 久（曾秋 【类比证移1x+ (x+x+ (2)10秒后P,Q两点相距 )-4×1+() x2 25cm. 【拓展应用】士231或3 10.(1)电动车车棚的长为24m, 综合与实践（二）方程建模 宽为16m; 与实际应用 (2)不能围成面积为450m2的 任务一：这个矩形的长和宽分别 电动车车棚 是60cm和20cm; 第2课时传播、平均变化率问题 任务二：按图4上面的做法合适， 1.C2.C 下面的做法不合适. 3.(1)每轮传染中，平均一个人传 章未核心考点与素养提升 染10个人； 1.-32.-1 (2)按照这样的速度传染，第三 3.(1)x=√2±1. 轮将新增1210名感染者. 4.A5.10%6.20%7.D (2)x1= 3℃2= 8.B9.6 4.B5.(1)13(2)-6 (3)a 10.(1)10%. 2且a≠0 (2)可以超过40%，理由略 6.(1)当m=1时，四边形ABCD 11.任务1：第一季度到第三季度 为菱形 生产量的每季度增长率为 20%; (2)m=2 任务2：应增加5条生产线， 7.10% 第3课时循环、商品利润问题 8.(1)(60-3a)(2)a=12. 1.D2.B 9.B10.A11.A 1 12.3(x-1)x=6210 3.1)2x(x-1)=40,淇淇的说 13.(1)每月销售y(件)与售价x 法正确： (元)的函数关系式为y= (2)x的值为10. -10x+1200. 4.(3+x)0.5x(4-0.5x) (2)售价定为70元可获得利 (3+x)(4-0.5.x)=15 润是10000元. 5.80元 14.(1)1 6.每件衬衫应降价20元. (2)x1=3+i,x2=3-i 7.(1)y与x的函数关系式为y= 第二十六章二次函数 2x+190(180≤x≤300)： 26.1二次函数的概念 1.C (2)当房价为210元时，宾馆当 2.(1)a≠2 日可获利8450元. (2)a=2,b≠-2 8.(1)1015 :3.一般形式略 51