精品解析：黑龙江大庆外国语学校2025--2026学年下学期九年级数学学科期中试卷

黑龙江大庆外国语学校2025-2026学年下学期九年级数学学科期中试卷 答卷时间：120分钟 卷面分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】∵一元二次方程，△=4−4×1×1=0. ∴此方程有两个相等的实数根. 故选B． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴ ，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴ ，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴ ，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3. 某种商品原价是81元，经两次降价后的价格是64元，设平均每次降价的百分率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，据此列方程即可解答． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则第一次降价后价格：，第二次降价后价格：， ∴ 可列方程：． 故选：C． 4. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，试验次数越多估计越准确，取稳定频率保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，且试验次数越大，估计越准确， 观察表格数据，随着麦粒粒数增加，发芽频率逐渐稳定在附近，结果保留两位小数，可得任取一粒麦粒发芽的概率约为． 故选：C． 6. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心举办期间，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵从四人中选取两人，所有等可能的结果为：小李和小张、小李和小杨、小李和小王、小张和小杨、小张和小王、小杨和小王，共种等可能的结果， 其中同时选中小李和小张的结果有种， ∴同时选中小李和小张的概率为． 7. 已知四边形是黄金矩形（宽与长的比是的长方形），若长方形的长等于8，则该长方形的周长为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据黄金矩形的定义，宽与长的比为，已知长，可求宽，再列式计算周长，即可作答． 【详解】解：依题意，宽与长的比是，且， ∴， ∴ 周长 ∴ 该长方形的周长为， 故选：D 8. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，点是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，并作，交边于点，连接．设．则当时，的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或6 【答案】C 【解析】 【分析】可证明，得到，则，再把代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，则 解得（已检验，符合题意）或（已检验，符合题意）． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由，可判断必有一个根为，从而判断①；由方程有两个不相等的实根，则 ，从而判断②；由，需考虑是否为，从而判断③；用求根公式表示出即可判断④． 【详解】解：①若，则必有一个根为，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则 ， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； ③若c是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则或， ∴或， ∴；故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 12. 已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形的周长比为， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴的值为． 故答案为：． 13. 已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵1，m是方程的两个实数根， ∴， ∴ 14. 如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 15. 现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 16. 某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 【答案】1 【解析】 【分析】设小路的宽度为，劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：， 解得或（舍去）， ∴小路的宽度为． 17. 在平面直角坐标系中， 已知点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标，利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是或， 故答案为：或． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解题的关键；已知一元二次方程的两个实数根满足，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，再利用完全平方公式变形得到关于的方程，求解后，结合方程有两个实数根需满足判别式大于等于，舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：，是一元二次方程 的两个实数根， 由根与系数的关系可得 ，， 又 ，且由完全平方公式得， 代入得 ， 整理得， 因式分解得 ， 解得或， 方程有两个实数根，根的判别式， 计算得 ， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时， ，此时方程有两个不相等的实数根，符合要求． 19. 如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式．设边的长为，则，进而利用已知得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：设边的长为，则， ， ， ， ， 解得：， 矩形的面积为， 关于的函数解析式是：． 故答案为：． 20. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 三、解答题（共60分） 21. 已知：，，求：代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，设，，．又因为，则可得k的值，从而求得x、、z的值，故可求． 【详解】设， 则，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求实数k应满足的条件． （2）当k取最大整数时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 23. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选择计算机视觉的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同， ∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 欢欢 乐乐 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种， ∴他们同时选择计算机视觉的概率为． 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（_______，_______） （3）四边形的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查位似变换，利用网格求面积，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）将，，的横纵坐标都乘以，得到，，的坐标，描点并连线即可得解； （2）根据坐标系中位似图形的坐标变化规律把横纵坐标都乘以，即可得到答案； （3）连接，根据四边形的面积，计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：即为所作图形， 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形的面积． 故答案为： 25. 如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，，． （1）求证：． （2）若的面积为3，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，根据相似三角形的性质得到，据此可证明结论； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为12． 26. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）50元/件 （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元，见解析 【解析】 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【小问1详解】 解：该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； 【小问3详解】 解：该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得， 整理得， ， 此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 27. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 【答案】花丛中路灯的高度米． 【解析】 【分析】易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由 ，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可得：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，经检验符合题意， ∵ ， ∴， ∴， 经检验符合题意； 答：花丛中路灯的高度米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 28. 问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值． 【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江大庆外国语学校2025-2026学年下学期九年级数学学科期中试卷 答卷时间：120分钟 卷面分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 3. 某种商品原价是81元，经两次降价后的价格是64元，设平均每次降价的百分率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（ ） A. B. C. D. 6. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心举办期间，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四边形是黄金矩形（宽与长的比是的长方形），若长方形的长等于8，则该长方形的周长为（ ） A. B. C. 16 D. 8. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，并作，交边于点，连接．设．则当时，的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或6 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知，那么__________． 12. 已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 13. 已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 14. 如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则__________ 15. 现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 16. 某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 17. 在平面直角坐标系中， 已知点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是____________ 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则__________． 19. 如图，在中，是边上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设边的长为，矩形的面积为，那么关于的函数解析式是________． 20. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 三、解答题（共60分） 21. 已知：，，求：代数式的值． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求实数k应满足的条件． （2）当k取最大整数时，求的值． 23. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（_______，_______） （3）四边形的面积为_______． 25. 如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，，． （1）求证：． （2）若的面积为3，求的面积． 26. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 27. 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1．7m的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得，请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 28. 问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值． 【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $