精品解析：四川仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

仁寿一中北校区2024级高二下学期期中考试 数 学 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 乘积展开后共有（ ）项 A. B. C. D. 2. 函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处可导，且，则（） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 6. 已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为 C. 系数之和为 D. 10. 将名女生和名男生排成一排，则下列选项是正确的有（ ） A. 女生全排在一起，共有种排法 B. 女生都不相邻，共有种排法 C. 甲必须排在乙前面，共有种排法 D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法 11. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的（ ） A. 当，，时，则的图象关于点对称 B. 当时，函数有两个极值 C. 过的拐点有三条切线 D. 当，时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 在的展开式中，第项的系数是_____ 13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______． 14. （）的两个极值点，满足，则的取值范围为___ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 16. 在二项式的展开式中，给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于；②若展开式中第项为常数项．试在上面两个条件中选择一个补充在下面的横线上，并且完成下列问题： 我选： （填序号） （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式的有理项； （3）求的展开式中的常数项． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当，时，证明：； （3）证明：（）． 19. 已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． （1）判断是否为“卓越函数”？ （2）已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； （3）已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区2024级高二下学期期中考试 数 学 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 乘积展开后共有（ ）项 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】 得到展开式的一项分两步： 第一步从第一个括号中任选1项，有种不同的选法； 第二步从第二个括号中任选1项相乘，有种不同的选法； 故展开后不同的项共有项. 2. 函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则，故. 3. 已知函数在处可导，且，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据导数定义，， 已知，所以， 令，当时，，则， 因此，解得. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 5. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】题意说明，，由此可求得 【详解】， ∴，解得或， 时，，当时，，当时，，是极小值点； 时，，不是极值点． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点． 6. 已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，结合导数运算与题目条件可得单调性及其奇偶性，结合计算即可得的解集. 【详解】令，则， 故当时，，即在上单调递减， 由函数是定义在上的偶函数， 则， 故函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减， 由，则 ， ， 则当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上可得：的解集是. 7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解. 【详解】展开式中，含的项的系数是， 根据公式，可知上式为. 8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算可得，分、两种情况讨论，令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】因为， ①当时，由可得，令， 则，由，可得或（舍）， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 且，无解； ②当时，由可得， 令，则， 由，可得（舍）或， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 因为，因为，，如下图所示： 因为有且只有两个整数解使成立， 所以，，即. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为 C. 系数之和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的相关性质结论，计算二项式系数之和、特定项系数、各项系数绝对值之和以及系数和，最后分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A，根据二项式系数之和为， 在中，，所以二项式系数之和为，故A正确. 对于B，在中，其展开式的通项为， 令，则，故B错误. 对于C，令，可得，故C正确， 对于D，由题意得表示的各项系数的绝对值之和， 即表示的各项系数之和， 令，可得，即，故D正确. 10. 将名女生和名男生排成一排，则下列选项是正确的有（ ） A. 女生全排在一起，共有种排法 B. 女生都不相邻，共有种排法 C. 甲必须排在乙前面，共有种排法 D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：先把3名女生捆绑成1个整体，共有种排法， 再把这个整体与5名男生共6个元素全排列，有种， 共有种排法，故A错误； 选项B：先把5名男生全排列，共有种排法， 在5名男生形成的6个空位中插入3名女生，有种， 共有种排法，故B正确； 选项C：8人任意排列有种排法， 甲在乙前面的概率为，共有种排法，故C正确； 选项D：8人总排法为种，甲站左端排法为，乙站右端排法为， 甲站左端且乙站右端的排法为， 故总排法为：种，故D错误． 11. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的（ ） A. 当，，时，则的图象关于点对称 B. 当时，函数有两个极值 C. 过的拐点有三条切线 D. 当，时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据拐点的定义，判断A，根据的根的情况判断B，列举具体的三次函数，求拐点处的切线方程，判断C，利用导数判断函数的单调性和极值，根据零点个数，列不等式，判断D. 【详解】A.，，， 得，，所以函数的拐点是，则函数关于点对称，故A正确； B. ，其中 ，则函数有2个变号零点， 所以函数有2个极值点，2个极值，故B正确； C.当时，，， ，得，， 此时函数的拐点是，设过点的切线的切点为， 则切线方程为，过点，所以，得，只有1个切点，所以只有1条切线，故C错误； D. ，，得， ，得或，，得， 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是， 函数的极大值是，极小值是，若方程有3个不等的实数根， 则且，得，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 在的展开式中，第项的系数是_____ 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则，故展开式中第项的系数是. 13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式进行求解. 【详解】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”， 事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”， 所以， 所以． 故答案为：. 14. （）的两个极值点，满足，则的取值范围为___ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的值域即可. 【详解】由，得， 由，得， 因为函数有两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令， 则 ， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 又， 令 且，则 ， 所以在上单调递减，则 ， 即，故时， 综上，时， ，且 ， 所以 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人是阳性患者的概率； （2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【小问1详解】 设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 【小问2详解】 . 16. 在二项式的展开式中，给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于；②若展开式中第项为常数项．试在上面两个条件中选择一个补充在下面的横线上，并且完成下列问题： 我选： （填序号） （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式的有理项； （3）求的展开式中的常数项． 【答案】（1）选①;选② （2）选①;选② （3）选①;选② 【解析】 【分析】本题可任选题干条件①或②，均能解得，后续分题号求解如下： （1）结合(奇数)的二项式系数性质，确定系数最大项为第5、6项，代入通项公式算出对应项； （2）依据有理项定义，限定展开式中字母幂次为整数，筛选合规值，核算全部有理项； （3）拆分结构，分别匹配对应幂次项，提取系数求和，得到常数项. 【小问1详解】 选① 由，得，整理得. 解得（舍去）. 选② 二项式展开式通项. 第7项对应，代入得. 由第7项为常数项，得，解得. 所以选①和选②所计算出来的取值一样，后续解答可基于以上不同推导进行同样计算. 二项式的通项为，. 为奇数，二项式系数最大为第5项、第6项. 时，. 时，. 所以展开式中二项式系数最大的项为 【小问2详解】 二项式的通项为，. 令为整数，得取偶数. ，； ，； ，； ，； ，. 所以有理项为。 【小问3详解】 二项式的通项为，. 常数项由两部分组成：乘展开项中的项；乘展开项中的常数项. 由得，对应项系数为. 由得，对应项系数为. 所以常数项为. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而求得最小值； （2）先求的导函数，对参数分类讨论，根据导函数在定义域上的符号变化，判断的单调性； （3）将不等式变形分离参数，把恒成立问题转化为小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最小值的范围，进而得到整数的最大值. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为； 【小问2详解】 定义域为，​， 若，则恒成立，所以恒成立，故在上单调递减； 若，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 即， 整理得， 因，即，两边除以得， 令，则， 令，则，在单调递增， 因为，，故存在唯一零点，满足， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增； 因此的最小值为， 因为，所以，因为，且，所以的最大值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当，时，证明：； （3）证明：（）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求当时函数的解析式与导函数，求出切线的斜率，即可求得切线方程； （2）利用放缩法转化为，再构造函数并结合导数证明不等式即可. （3）取，由（2）得，取，然后利用累加法即可证结论. 【小问1详解】 当时，，，， 则，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，则， 因为，所以， 欲证，则证即可， 令，则， 令，可得， 当时，，则在上单调递增， 而，则，即，得到在上单调递增， 而，则，即得证. 【小问3详解】 取，由（2）得当时，， 所以，取， 则有， 即， 所以，，，， 将上述式子相加得，得证. 19. 已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． （1）判断是否为“卓越函数”？ （2）已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； （3）已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）结合定义，找出使得的即可得； （2）结合定义计算可得，构造函数计算即可得； （3）结合定义，构造函数，可得其单调性，则可得，再构造函数，结合导数分类讨论其单调性，结合零点存在性定理得其零点个数即可得解. 【小问1详解】 ， 则， 则当时，有， 故不是“卓越函数”； 【小问2详解】 ， 则， 故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； 【小问3详解】 由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则， 设函数，则， ， 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解， 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $