精品解析：山东菏泽市单县第一中学等校2026届高三下学期二轮复习综合测试数学试题一

高三二轮复习综合测试数学试题一 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合， 所以， 所以集合元素的个数是4. 2. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 3. 已知与的夹角为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，展开得， 又，所以，解得. 4. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 5. 已知，且，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过角的变形将未知角转化为已知角，利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以． 6. 降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（ ） A. 暴雨 B. 大雨 C. 中雨 D. 小雨 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形求出水面半径，根据圆台体积公式求出桶内水的体积，用桶的开口面积作为接雨面积求出降雨量，结合降雨量的等级划分判断等级即可. 【详解】设水面半径为， 根据三角形相似可得，解得. 则. 又接雨面积为桶的开口面积， 根据降雨量定义，. 结合降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是暴雨. 7. 若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数，得出是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是，且满足方程， 等式两边同除以得，令，则有， 这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得， 因此，对于正整数有，则， 所以，故C正确. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 【答案】AD 【解析】 【详解】A：，正确. B：， ，所以，错误. C：由，错误. D：，所以，正确. 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C. 曲线所围成的封闭区域面积等于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据直线与圆的相交相切关系可判断AD，根据双曲线的定义可判断B，根据弧长公式及扇形面积公式可判断C，进而可得结果. 【详解】因为曲线：，分象限讨论： 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分； 如图： 曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称. 对于A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离， 化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限， 所以当时，直线与曲线有唯一公共点， 当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：故A错误； 对于B，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为， 显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以B正确； 对于C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故C正确； 对于D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为， 而这两条切线间的距离为. 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或； 因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为， 由图可得实数的取值范围为，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】解：展开式中含的项为， 故展开式中的系数为． 13. 若函数是奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可知圆心横坐标，设出圆的方程并与抛物线联立，再由交点个数并构造函数求出函数单调性得出极值和最值，求出切点的坐标满足的条件可得结果. 【详解】由题意知,准线方程为, 因为圆与轴相切于点,所以可设圆心,半径为. 可得圆的方程式为，展开得, 因抛物线与圆有且只有一个公共点， 将代入圆的方程得，即, 因此该方程只有一解，当时，即有且仅有一个实数根， 令函数， 则， 令，可得， 因此当，；当，；当，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 又易知函数满足，即函数为奇函数， 因此当时，在处取得极小值，其函数图象如下图所示： 即可得当时，满足题意，此时，即，； 所以切点的坐标满足， 因此. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角化为边，然后进行化简即可求解； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可求解边长，进而由角平分线定理求比值. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 则， 所以， 又由余弦定理得，可得， 联立方程解得， 由角平线定理得 16. 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在底面（不含边界）上的射影为点，且，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为． （1）已知． （i）证明：的面积为定值； （ii）若平面平面，求四棱锥外接球的表面积； （2）若，判断是否存在点，使得平面． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）存在 【解析】 【分析】（1）（i）由，可知点在直线的中垂线上，从而可得边上的高为定值． （ii）由平面平面，判断为直角三角形，从而判断点的位置，求出外接球球心的位置． （2）将条件转化为，求出轨迹方程，判断方程组是否有解． 【小问1详解】 （i）如图： 连接，可知直线，与平面所成角分别为， 故， 由，知， 故点在线段的中垂线上. 过点作垂直于点，连接， 所以． 因为点是点在底面上的射影， 所以． 又，且平面，所以平面． 因为平面，所以． 所以，为定值． （ii）过点作直线，显然为平面与平面的交线， 设分别为的中点，连接， 由（i）知，故，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 不妨设，则，所以， 解得或． 根据对称性，不妨取， 设四棱锥外接球球心到平面的距离为， 所以或， 解得或（舍）， 所以四棱锥外接球的表面积为． 【小问2详解】 存在．理由如下： 因为， 所以， 即，所以． 假设存在点，使得平面，则， 以的中点为坐标原点，为轴，平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则由， 可得， 整理得， 又，则点在圆上， 由， 解得， 即或. 也即或． 所以存在点，使得平面 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【小问1详解】 若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 18. 已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. （1）求的方程； （2）若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出a的值，再结合离心率的值可求b； （2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到M、N两点纵坐标的和与积；分别写出直线的斜率表达式，结合​的条件，建立关于的等式，求出t的值；与转化为用纵坐标表示的形式，结合韦达定理和已求的t值，比较两者大小. 【小问1详解】 因为为左右顶点，，故，即. 离心率，代入得. 由，得. 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为（），，. ，，则， 由，得① 将代入椭圆方程，整理得 由韦达定理得， ② 将，代入①式：， 整理得， 将②式代入得， 整理得，因为为常数， 则不恒成立，则，即 此时直线方程为，，， 因为 ， 所以. 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得，令，则直线与函数图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （2）设，先由得出，然后证明出当时，，即证，即证， 令，即证，再构造函数，其中，利用导数证明出即可； （3）当时，分析可知恒成立，令，分析出不合乎题意，由题意得出，则可求出的最大值为，然后验证存在、的值，使得的最大值为，结合导数验证即可. 【小问1详解】 由题意，有两个解，可得， 所以令，则有两个解，， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为，如下图所示： 要使得直线与函数图象有两个交点，则，可得. 设直线与函数图象两个交点的横坐标分别为、且， 由图可知，当时，， 当时，， 所以函数的减区间为、，增区间为， 故函数的极小值点为，极大值点为，符合题意， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 根据题意恒成立，设，则，故， 所以当时，，与题意不符， 下面证明：当时，符合题意， 当时，， 以下证明：，即证，即证， 令，即证， 函数的定义域为，，令，可得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，故只需证当时，， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 故当时，， 故对任意的，， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，成立，所以， 即恒成立， 设函数，依题意恒成立， 当时，因为函数、在上均为减函数， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以与题意不符； 当时，可知，所以，则， 所以，当时，，与题意不符， 下面证明，存在、使得成立，所以， 所以，则， 因为对任意的恒成立，所以函数在处取得最大值， 因为，且，所以函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，则，解得， 所以，，则， 此时，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以对任意的，，符合题意， 综上所述，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二轮复习综合测试数学试题一 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知与的夹角为.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（ ） A. 暴雨 B. 大雨 C. 中雨 D. 小雨 7. 若函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（    ） A. 在等差数列中，，，则前9项和. B. 已知为等比数列的前项和，，，则. C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D. 数列为等比数列，，，则. 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11. 某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C. 曲线所围成的封闭区域面积等于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为____________．（用数字作答） 13. 若函数是奇函数，则______. 14. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 16. 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在底面（不含边界）上的射影为点，且，设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为． （1）已知． （i）证明：的面积为定值； （ii）若平面平面，求四棱锥外接球的表面积； （2）若，判断是否存在点，使得平面． 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 18. 已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. （1）求的方程； （2）若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $