精品解析：湖北大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

2025—2026学年度下学期湖大附中高一期中质量检测 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的值为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】，， ，， 解得. 2. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，， 又，则，所以. 故选：A. 3. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 4. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的有关运算可求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为， 因为，，， 所以：，，. 故选：B 5. 已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以， 故选：D. 6. （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将正切化为正弦除以余弦的形式，再利用辅助角公式进行化简，然后利用二倍角公式及诱导公式即可求解． 【详解】 . 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 8. 如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（ ） A. 36 B. 39 C. 45 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案. 【详解】以为坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接BD 因为， 所以，可得， 所以，可得，， 结合，所以 因为中，，所以是边长等于的等边三角形， 由， 可得，所以， 设，即 可得，所以， 即， 由此可得， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 复数的共轭复数为，故B错误； 为实数，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数在上单调递减 C. 该图象向右平移个单位可得的图象 D. 函数关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求函数的解析式，再结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断. 【详解】由图可得：，可得， 且，解得， 所以， 因为的图象过点，即， 可得，则，可得， 且，则， 所以，故A正确； 因为，则，且在上不单调， 所以函数在上不单调，故B错误； 该图象向右平移个单位可得， 所以该图象向右平移个单位可得的图象，故C正确； 因为，所以函数关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 若平面向量，，且，则__________. 【答案】10或2 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得或，即可根据模长的坐标公式求解. 【详解】，，且， ，即，即， 解得或， 当时，，， 则，； 当时，，， 则， 综上可知，或2. 故答案为：10或2 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果. 【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）若最小，求实数的值： （2）若与夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）可得出，从而得出，从而可得出取最小值时的值； （2）根据题意即可得出，然后解出的值即可． 【详解】解：（1）由题意，， 于是， 所以， 所以的最小值为5， 此时； （2）由， 得， 化简得，解得或. 【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 16. 已知函数 （1）求的对称轴方程； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数对称性分析运算； （2）以为整体，结合正弦函数的性质即得. 【小问1详解】 由题意可得： ， 令，解得， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 因为，则，可得， 所以， 故函数的值域为. 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得，得到角A的大小； （2）设（），则，根据二倍角公式和求出的余弦值和正弦值，故，由正弦定理求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 设（）， 则， 所以， 解得，故， 所以， 由正弦定理，，即， 所以 18. 如图，在梯形中，已知，，，，． （1）求； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的余弦值和正弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果； （2）在中，利用正弦定理可求得的长； （3）求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的长，利用三角形的面积公式可求得的面积． 【小问1详解】 解：因为，则为钝角， 由，可得，． . 【小问2详解】 解：在中，由正弦定理得，即， 解得. 【小问3详解】 解：因为，则， 所以，， ， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍）． . 19. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【答案】（1）26 （2） （3）在处时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解. 【小问1详解】 ∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段， ∴ ； 【小问2详解】 设， 又， 根据平面向量基本定理解得； 【小问3详解】 设，， ∴， 又， ∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期湖大附中高一期中质量检测 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的值为（　　） A. B. C. D. 5 2. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（ ） A. B. C. D. 6. （　　） A. B. C. D. 7. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，点在边上，且，点为边（含端点）上一动点，则的最小值为（ ） A. 36 B. 39 C. 45 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数在上单调递减 C. 该图象向右平移个单位可得的图象 D. 函数关于点对称 11. 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 若平面向量，，且，则__________. 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）若最小，求实数的值： （2）若与夹角的余弦值为，求实数的值. 16. 已知函数 （1）求的对称轴方程； （2）若，求函数的值域. 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c． 18. 如图，在梯形中，已知，，，，． （1）求； （2）求的长； （3）求的面积． 19. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $