精品解析：山东淄博市张店区重庆路中学2025-2026学年下学期七年级期中数学（五四学制）

2025－2026学年山东省淄博市重庆路中学初二下册期中数学 一．选择题（共10小题） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 不期而遇 D. 叶落归根 3. 在的正方形网格中，已经有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，，，，若，则的度数为 A. B. C. D. 6. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将纸条按如图所示的方式折叠，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ） A. 或0 B. 或 C. D. 0 9. 如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与直线都经过点，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、、，有以下说法： ①方程组的解为 ②； ③当的值最小时，点P的坐标为 其中正确说法的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 二．填空题（共5小题） 11. 如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是______． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 13. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为点，若，则的度数为______． 14. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 15. 如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是____． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 解下列不等式． （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上； （2）求不等式的负整数解． 18. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 19. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 20. 已知的两边与的两边分别平行，即，试探究： （1）如图1，与的关系是 ___________ ； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． （1）由定义可知，一次函数的“近点”为____________； （2）一次函数的“近点”为，求，的值； （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 23. 问题情境：如图1，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为__________度； （2）问题迁移： 如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （3）问题解决： 图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年山东省淄博市重庆路中学初二下册期中数学 一．选择题（共10小题） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 2. 成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓮中捉鳖 C. 不期而遇 D. 叶落归根 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：在一定条件下，必然发生的事件是必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件， 、水中捞月一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； 、 瓮中捉鳖一定会发生，是必然事件，不符合题意； 、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； 、 叶落归根一定会发生，是必然事件，不符合题意． 3. 在的正方形网格中，已经有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③④⑤任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， ∵共有7个空白处， ∴三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是． 4. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，，，，若，则的度数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠M=∠BAM=60°，再根据∠CAM=∠BAM-∠BAC进行计算即可． 【详解】解：∵∠ABC=∠MAN=90°，∠N=30°， ∴∠M=60°， ∵MN∥BA， ∴∠M=∠BAM=60°， ∴∠CAM=∠BAM-∠BAC=60°-45°=15°， 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 6. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分锁甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领．问士兵和铠甲各有多少？设士兵有x人，铠甲有y领，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设士兵有人，铠甲有领， ∵如果每人分5领，则缺少10领， ∴， ∵如果每人分4领，则多出2领， ∴， ∴所列方程组是． 7. 将纸条按如图所示的方式折叠，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ） A. 或0 B. 或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 9. 如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据四边形是长方形，可得，得，，继而得到，由折叠性质可推出，进而可得的度数．解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵将长方形纸片分别沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：C． 10. 如图，已知直线与直线都经过点，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、、，有以下说法： ①方程组的解为 ②； ③当的值最小时，点P的坐标为 其中正确说法的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，①根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；③根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线与直线都经过点， ∴方程组的解为， 故说法①正确，符合题意； ②把，，代入直线， 可得， 解得， ∴直线， 令，则， ∴， ∴． 把代入直线，可得， ∴直线， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③点A关于y轴对称的点为， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则， ∴当的值最小时，点P的坐标为， 故③正确，符合题意； 所以，正确说法的个数有3个， 故选：C 二．填空题（共5小题） 11. 如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，先求出交点的坐标，再根据两条直线的交点坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程组的解即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是函数和图象的交点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式的解集为得，求解即可. 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：； 故答案为：. 13. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质以及翻折的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 根据，可得，根据翻折的性质得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由长方形纸片可知：， ， 由翻折的性质得：， ， 故答案为： 14. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， 同理：作可证明： 作可证明：，， … 归纳可得： 由题意得：，解得． 故答案为：6． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解是． 【小问2详解】 解：原方程组整理得：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为． 17. 解下列不等式． （1）解不等式：，并把解集表示在数轴上； （2）求不等式的负整数解． 【答案】（1），见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再把解集表示在数轴上即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再写出它的负整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把解集表示在数轴上如下： ． 【小问2详解】 解：， 两边同乘以6去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个不等式的负整数解为，． 18. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且 （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质． （1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ， ∴． ∵， ∴． 19. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 【答案】（1）； （2）n的值为． 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用简单的概率公式求解即可； （2）依题意列出方程，求解检验即可． 【小问1详解】 解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴n的值为． 20. 已知的两边与的两边分别平行，即，试探究： （1）如图1，与的关系是 ___________ ； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 （2）最多可购进乙型头盔30个 （3）能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个；②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个；③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（2）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案． 【小问1详解】 解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意得 ， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； 【小问2详解】 解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得：， 解得， 的最大值为30， 答：最多可购进乙型头盔30个； 【小问3详解】 解：能， 理由如下：根据题意得 ， 解得， ， 为整数， 可取28，29或30，对应的的值分别为22，21或20， 因此能实现利润不少于1540元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个； ②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个； ③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个． 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． （1）由定义可知，一次函数的“近点”为____________； （2）一次函数的“近点”为，求，的值； （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“近点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，设直线 与 轴交于 ，则，根据得出点的纵坐标为，代入直线，即可求解． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“近点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“近点”为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， 【小问3详解】 解：∵直线上没有“近点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∴ ∴ 依题意，点为直线上一点， 如图，设直线 与 轴交于 ，则 ∵点在第一象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点的纵坐标为 ∵点为直线上一点， 将代入得 解得 ∴． 23. 问题情境：如图1，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为__________度； （2）问题迁移： 如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （3）问题解决： 图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）过点作，则，，得，再结合进行整理，即可得出结论； 【小问1详解】 解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $