精品解析：安徽马鞍山市第八中学东校区2025-2026学年第二学期八年级数学期中试题卷

马鞍山市第八中学东校区2025-2026学年第二学期 八年级数学期中试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 3. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 6. 将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 12. 一元二次方程的解是________ 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 14. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 15. 某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 16. 如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是_____． 17. 等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为__________． 18. 在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP＝_________． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程 （1） （2） 21. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题 ， ， ， ，… （1）观察以上规律，请写出第n个等式：____________________（n为正整数）． （2）利用上面的规律，计算： 22. 某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： （1）任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 （2）任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题： （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：； （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第八中学东校区2025-2026学年第二学期 八年级数学期中试题卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式要满足两个条件：被开方数不能含有开得尽方的数或因式；被开方数不能含有分母，当然分母不允许含有二次根式．根据最简二次根式的含义判断即可． 【详解】A、，故它不是最简二次根式； B、分母中含有二次根式，故不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数中含有分母，故不是最简二次根式； 故选：C 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义是关键． 2. 已知a是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程解的定义，推出的值，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ 3. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股逆定理等知识，如果最大的边长的平方等于较小的两边长的平方和，那么这个三角形就是直角三角形，据此性质逐项依次判断即可解题． 【详解】解：A．，不是直角三角形，不符合题意； B．，是直角三角形，不符合题意； C．，不是直角三角形，不符合题意； D．，不是直角三角形，不符合题意， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，根据二次根式的加减运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，判别式，求解得到的取值范围即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 ， 对选项逐一判断： ，不符合； ，不符合； ，不符合； ，符合要求 6. 将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 7. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用x表示出这个矩形的长与宽，即可根据停车位的面积列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为x米， ∵停车场的长为40米，宽为19米， ∴所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为， 故选：A． 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 10. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，根的判别式，根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：①， 满足方程 ， 即方程存在实数根， ， 故①正确； ②若方程两根为和， 由根与系数的关系得两根之积 ， ， 整理得 ， 故②正确； ③若 有两个不相等的实数根，则 ， 当 时，由，则方程 有两个不相等的实数根， 当 时，方程 是一元一次方程 ， 方程只有一个实数根， 故③错误； ④ 是方程 的根， ， 整理得： ， 故④正确； 综上，正确的说法共个． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 12. 一元二次方程的解是________ 【答案】 【解析】 【分析】由于方程左右两边都含有因式x，所以看把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：1． 14. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 设原点为， ， 表示的实数为． 故答案为：． 15. 某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 【答案】 【解析】 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得： ， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 16. 如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 17. 等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式，根据等腰三角形的两腰相等，可分两种情况求解，当等腰三角形的腰是时，则方程有一根是，把代入方程，可得关于的方程，解方程即可求出的值；当是等腰三角形的底边长时，则有，所以方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：等腰的三边长分别为、、， 当等腰的腰长是时， 则方程有一个根是， 可得：， 解得：； 当等腰的底边长是时， 则有， 则方程有两个相等的根， ， 解得：； 当时，三边长为1、3、3，满足，可以构成三角形； 当时，三边长为2、2、3，满足，可以构成三角形． 综上所述，的值是或． 18. 在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP＝_________． 【答案】7+2或7﹣2 【解析】 【分析】由折叠的性质可得：，，，，则有BC=AD=7，AB=CD=5，AD∥BC，当点P在线段BC上时，且P、E、D三点在一条直线上时，可得，设，则，然后根据勾股定理可求解；当点P在线段BC外时，且P、E、D三点在一条直线上时，设，则，同理可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=7，AB=CD=5，AD∥BC， 当点P在线段BC上时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在线段BC外时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴， 综上所述：当P、E、D三点在一条直线上时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 三、解答题（共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 21. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题 ， ， ， ，… （1）观察以上规律，请写出第n个等式：____________________（n为正整数）． （2）利用上面的规律，计算： 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题中式子即可得到答案； （2）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：第n个等式：（n为正数）； 【小问2详解】 解：原式 ， ， ， ； 【点睛】本题主要考查了分母有理化二次根式混合应用、数字变化规律等知识点，灵活运用分母有理化是解题的关键． 22. 某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是96 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故阴影部分的面积是96． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： （1）任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 （2）任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，由题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让利给顾客，∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 24. 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题： （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：； （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式． 【答案】（1）不是差根方程；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可； （2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到； （3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【详解】解：（1）设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程不是差根方程； （2）， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； （3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根， ，， 关于的方程，是常数，是“差根方程”， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $