精品解析：安徽省马鞍山市含山县第一中学2024-2025学年下学期八年级下册数学期中测试试卷

八年级数学素养测试试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级数学下册第16~18章 (二次根式+勾股定理+平行四边形) 第一部分 (选择题 共40分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的) 1. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的周长是（ ） A. 18 B. 14 C. 16 D. 20 3. 的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A. B. C D. 4. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A B. C. D. 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算 的结果是（　） A. 0 B. C. D. 8 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 10. 如图，线段的长为，点在上，是边长为的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点不与重合作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（　） A. 5 B. 7 C. 6 D. 第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 与最简二次根式能合并，则________． 12. 如图，在平行四边形中，为上任意一点，若的面积为5，的面积为3，则的面积为_________． 13. 仔细观察下列式子：，，，，则第5个同类型的式子为___． 14. 在一张直角三角形纸片两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边、、的长分别是5、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是_____________． 三、解答题(本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 计算∶ （1）； （2）． 16. 如图，在四边形中，E，F分别是，边上的中点，且，连接，求证：． 17. 若x、y为实数， 且，求 的值． 18. 如图， 在平行四边形中，于点E，于点 F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 19. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． （1）若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． （2）若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 20. 先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； （2）请写出第 n个等式为 ； （3）根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 21. 如图，在中，平分，平分，，． （1）求证：四边形矩形； （2）若，求矩形的周长． 22. 阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： （1）填空： ； ； （2）应用：计算 的值； （3）拓广：计算 的值． 23. 如图，点E是对角线上一点，延长至点F，使，且与交于点G，连接． （1）求证：；(要求用两种不同的方法解答) （2）若，，垂直平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学素养测试试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级数学下册第16~18章 (二次根式+勾股定理+平行四边形) 第一部分 (选择题 共40分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的) 1. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件，被开方数必须非负是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得： 故选：B． 2. 如图，在中，，则的周长是（ ） A. 18 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴的周长是， 故选：A． 3. 的三边长分别为a， b， c，下列条件不能判断是直角三角形的为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，设则，解得，最大角，故不是直角三角形； B．，设，验证勾股定理：，满足条件，为直角三角形； C．直接满足，符合勾股定理逆定理，为直角三角形； D．由及，得，为直角三角形。 故选A． 4. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法．根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 计算 的结果是（　） A. 0 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是实数的混合运算，掌握乘方的定义、立方根的定义和算术平方根的定义是解决此题的关键． 依次计算各部分的算术平方根、立方根及乘法，再合并结果． 【详解】 故选：B． 8. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 【答案】C 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意； ∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥CB， ∵∠ABD=∠BDC， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 10. 如图，线段的长为，点在上，是边长为的等边三角形，过点作与垂直的射线，过上一动点不与重合作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（　） A. 5 B. 7 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据矩形对角线相等且互相平分得：＝，再证明，则＝；点一定在的平分线上运动，根据垂线段最短得：当时，的长最小，根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【详解】解：连接， ∵四边形矩形， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴点一定在的平分线上运动， ∴当时，的长度最小， ∵，， ∴ 即的最小值为 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 12. 如图，在平行四边形中，为上任意一点，若的面积为5，的面积为3，则的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，则，，过点作交于点，根据，，则，根据，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为上任意一点， ∴， ∵的面积为5，的面积为3， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：8． 13. 仔细观察下列式子：，，，，则第5个同类型的式子为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的式子得出规律进行解答即可． 【详解】解：，，，， 第个式子为：， 第5个式子为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 14. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边、、的长分别是5、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、直角三角形的特征．先根据题意画出图形，再根据勾股定理，求出斜边上的中线的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：①如图， ∵， 又∵点是斜边的中点， ∴； ②如图， ∵， 又∵是斜边的中点， ∴， 综上可得：原直角三角形纸片的斜边长是或， 故答案为：或． 三、解答题(本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在四边形中，E，F分别是，边上的中点，且，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，，再由线段中点的定义可得，则，据此证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是，边上的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 17. 若x、y为实数， 且，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求出，进而求出，再根据二次根式的乘法结合平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∴， ． 18. 如图， 在平行四边形中，于点E，于点 F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，则，证明，即可证明； （2）由勾股定理得到，则可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 19. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． （1）若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． （2）若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【答案】（1）此三角形是奇异三角形，理由见解析； （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； 【小问2详解】 解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 20. 先观察下列等式，猜想找规律，回答问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ； （2）请写出第 n个等式为 ； （3）根据上述规律，解答问题： 设 ，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】（1） （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式性质，解题的关键是找出规律． （1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据给出的式子，写出第n个等式即可 （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：第7个等式为； 故答案为：； 小问2详解】 第 n个等式为； 故答案为：； 【小问3详解】 ， ∴不超过m的最大整数是2024． 21. 如图，在中，平分，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求矩形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证四边形 是矩形； （2）根据， 得到，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故矩形的周长为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 22. 阅读材料：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，与 ，与 等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ；． 解答下列问题： （1）填空： ； ； （2）应用：计算 的值； （3）拓广：计算 的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式分母有理化． （1）仿照题意分母有理化即可； （2）仿照题意分母有理化，再计算即可； （3）仿照题意分母有理化，再计算即可； 【小问1详解】 解：；； 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． 23. 如图，点E是对角线上一点，延长至点F，使，且与交于点G，连接． （1）求证：；(要求用两种不同的方法解答) （2）若，，垂直平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，利用三角形中位线定理证明；在上截取，连接，利用平行四边形的判定和性质证明即可． （2）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明： 方法1：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 方法2：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$