精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期期中考试七年级数学

北京市东直门中学2025－2026学年度第二学期期中考试初一数学 考试时间：100分钟 总分100分 第一部分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 实数4的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 16 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ） A. 全面调查适用于所有的调查 B. 为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查 C. 为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500 D. 为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体 4. 用不等式表示图中的解集，正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程组的解为，则的值是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 7. 在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ） A. B. C. D. 8. 实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 2025年6月1日～10日嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图，则下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉的步数最多是11步 B. 琪琪的步数高于嘉嘉的天数有7天 C. 嘉嘉的步数逐天增加 D. 第11日，嘉嘉的步数一定比琪琪的步数多 10. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ） A. （，24） B. （，25） C. （，24） D. （，25） 第二部分 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. “m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为 ___． 12. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______． 13. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 14. 命题“同旁内角互补”是一个______命题填“真”或“假” 15. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为_________. 16. 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为__________． 17. 立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分．若某女生的成绩为，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩的取值范围是______． 18. 在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为．如图，是格点三角形，对应的，，． （1）图中格点四边形对应的S为______； （2）已知格点多边形的面积可以表示为，其中，为常数．若某格点多边形对应的，，则______． 二、计算题：本大题共3小题，共12分． 19. 计算： 20. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 解方程组 四、解答题：本题共7小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点．求证：． 证明：与相交于点， （_____________________________） ， ． （_____________________________） _____（_____________________________） 平分， ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，．将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点分别与点对应． （1）画出平移后的三角形，并写出点的坐标； （2）连接，则这两条线段之间的数量关系是______； （3）已知点在轴上，以为顶点的三角形面积为2，直接写出点的坐标． 24. 随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：小时）的数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间（小时） 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调研，随机抽取______名社区居民进行调查； （2）表中的值为______； （3）第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是______； （4）请补全频数分布直方图； （5）若该社区共有500位居民选择使用共享单车出行，请你估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有______人． 25. 列方程或方程组解决问题 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A，B两种书籍，若订购A种书籍10本，B种书籍20本，共花500元；若订购A种书籍12本，B种书籍40本，共花费840元． （1）任务一：求A，B两种书籍每本的进价分别为多少元． （2）任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完，则共有哪几种购进方案？列出所有的可能． 26. 已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足． （1）如图1，当点在点的左侧，时，是线段与直线的夹角，求的大小； （2）过点作的角平分线， ①若，直接写出的大小； ②若射线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 27. 我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫作方程的图象． 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）已知，，则点______（填“”“”或“”）在方程的图象上； （2）如图1，请你在平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； （3）在（1）和（2）的条件下，观察图1中两个图象，它们的交点坐标为______，由此得出二元一次方程组的解是______． （4）【拓展延伸】 ①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图2所示，请根据图象，直接判断方程组的解的情况______． ②已知关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简 28. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为． （1）已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值． （2）对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025－2026学年度第二学期期中考试初一数学 考试时间：100分钟 总分100分 第一部分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 实数4的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质和应用，掌握算术平方根的含义是解题的关键． 根据算术平方根的概念：一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为，根据定义求解即可． 【详解】解：实数的算术平方根是：， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴点在第四象限． 3. 在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ） A. 全面调查适用于所有的调查 B. 为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查 C. 为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500 D. 为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查的特点判断A与B；根据样本容量的定义判断C；根据样本具有的特点判断D． 【详解】A、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意； B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意； C、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选项说法错误，不符合题意； D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键． 4. 用不等式表示图中的解集，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，向右画；向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此可得答案 【详解】解：由数轴可知，表示的不等式的解集是， 故选：B． 5. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：B ． 6. 若关于的方程组的解为，则的值是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 7. 在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断． 【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义． 8. 实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 9. 2025年6月1日～10日嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图，则下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉的步数最多是11步 B. 琪琪的步数高于嘉嘉的天数有7天 C. 嘉嘉的步数逐天增加 D. 第11日，嘉嘉的步数一定比琪琪的步数多 【答案】C 【解析】 【分析】对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，两条线，分开看，注意图例． 【详解】解：A、通过折线统计图可得嘉嘉的步数最多是11千步，原说法错误，该选项不符合题意； B、通过折线统计图可得琪琪的步数高于嘉嘉的天数有5天，原说法错误，该选项不符合题意； C、通过折线统计图可得嘉嘉的步数逐天增加，说法正确；该选项符合题意； D、第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，原说法错误，该选项不符合题意． 10. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ） A. （，24） B. （，25） C. （，24） D. （，25） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找出斐波那契数列的变化规律和点的变化规律，即可求解. 【详解】由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离， 所以的坐标为， 故选B． 【点睛】本题主要考查点的坐标变化规律，找出在的正上方，是解题的关键. 第二部分 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 11. “m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为 ___． 【答案】2m+5>0 【解析】 【分析】直接根据正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：由题意知：2m+5>0， 故答案为：2m+5>0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解答的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中点到坐标轴的距离，根据点，求出点M到x轴的距离即可． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是． 故答案为：3． 13. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键． 14. 命题“同旁内角互补”是一个______命题填“真”或“假” 【答案】假 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断命题的真假． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 15. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为_________. 【答案】55° 【解析】 【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°， ∴ ∵ON⊥OM，∴ ∴ 故答案为 16. 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示瑞金的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 17. 立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分．若某女生的成绩为，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式，熟练掌握不等式是解题的关键．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：女生成绩超过获得满分，超过获得额外加分， 故的取值范围是， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为．如图，是格点三角形，对应的，，． （1）图中格点四边形对应的S为______； （2）已知格点多边形的面积可以表示为，其中，为常数．若某格点多边形对应的，，则______． 【答案】 ①. 3 ②. 79 【解析】 【分析】（1）理解题意，观察图形，即可求得结论； （2）先计算格点四边形的N和L，根据格点多边形的面积，结合图中的格点及格点四边形，建立方程组，求出a，b即可求得S． 【详解】解：（1）观察图形，可得， 故答案为：3； （2）观察图形，可得格点四边形中，，， 根据格点及格点四边形中的S、N、L的值可得， ， 解得， ∴， 将，代入可得． 故答案为：79． 【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键． 二、计算题：本大题共3小题，共12分． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 21. 解方程组 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 四、解答题：本题共7小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点．求证：． 证明：与相交于点， （_____________________________） ， ． （_____________________________） _____（_____________________________） 平分， ． ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据对顶角相等，平行线的判定和性质，进行作答即可. 【详解】证明：与相交于点， （对顶角相等） ， ． （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 平分， ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，．将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点分别与点对应． （1）画出平移后的三角形，并写出点的坐标； （2）连接，则这两条线段之间的数量关系是______； （3）已知点在轴上，以为顶点的三角形面积为2，直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出三角形，进而写出的坐标即可； （2）根据平移的性质，作答即可； （3）根据三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求，； 【小问2详解】 解：∵平移， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知，， 由题意，， ∴或， ∴或. 24. 随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：小时）的数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间（小时） 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调研，随机抽取______名社区居民进行调查； （2）表中的值为______； （3）第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是______； （4）请补全频数分布直方图； （5）若该社区共有500位居民选择使用共享单车出行，请你估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有______人． 【答案】（1）100 （2）25 （3） （4）见解析 （5）325 【解析】 【分析】（1）用第五组的人数除以所占的百分比，即可求出抽取的总人数； （2）由抽取的总人数减去其他四组的人数，求出的值即可； （3）用第3组的频数35除以总人数，再乘以，即可求出对应的圆心角； （4）补全频数分布直方图即可； （5）总人数乘以样本中第1、2、3组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次调研，随机抽取100名社区居民进行调查； 【小问2详解】 解：由频数分布表可知，； 【小问3详解】 解：第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是； 【小问4详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问5详解】 解：（人）， ∴估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有325人． 25. 列方程或方程组解决问题 根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 4月23日是世界读书日，旨在让全球各地的人们不论年龄、贫富、健康状况，都能享受阅读，尊重并感谢为文明做出巨大贡献的大师们，同时保护知识产权． 素材二 某校在“世界读书日”前夕，决定订购A，B两种书籍，若订购A种书籍10本，B种书籍20本，共花500元；若订购A种书籍12本，B种书籍40本，共花费840元． （1）任务一：求A，B两种书籍每本的进价分别为多少元． （2）任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完，则共有哪几种购进方案？列出所有的可能． 【答案】（1）A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元 （2）共有2种购进方案，即订购A种书籍3本，B种书籍8本或订购A种书籍6本，B种书籍4本． 【解析】 【分析】（1）任务一：根据题意列出正确的二元一次方程组求解即可； （2）任务二：根据题意，设订购A种书籍本，B种书籍本，且为正整数，列式，求解即可． 【小问1详解】 任务一：设A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 由题意得： 解得：． 答：A种书籍每本的进价为元，B种书籍每本的进价为元． 【小问2详解】 解：任务二：若初一2班计划用180元购进这两种书籍（两种书籍均购进），且计划投入的资金正好用完， 设订购A种书籍本，B种书籍本，且为正整数， 则， 当时，； 当时，， 所以共有2种购进方案，即订购A种书籍3本，B种书籍8本或订购A种书籍6本，B种书籍4本． 26. 已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足． （1）如图1，当点在点的左侧，时，是线段与直线的夹角，求的大小； （2）过点作的角平分线， ①若，直接写出的大小； ②若射线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】（1） （2）①当直线时，的大小为或； ②当时，的大小为或． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）①直线时，分两种情况讨论：当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；当在的右侧时，同理可求解； ②当时，分两种情况讨论：当在的左侧时，过作，同理可求解；当在的右侧时，同理可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①直线时， 如图，当在的左侧时， 直线平分， ， ，， ， ； 如图，当在的右侧时， 同理可得：， ， ， ； 故的大小为或； ②当时， 如图，当在的左侧时， 过作， 同理可得：， ， ， ， ； 如图，当在的右侧时， 同理可求：， ， ， ； 故的大小为或． 27. 我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫作方程的图象． 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）已知，，则点______（填“”“”或“”）在方程的图象上； （2）如图1，请你在平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； （3）在（1）和（2）的条件下，观察图1中两个图象，它们的交点坐标为______，由此得出二元一次方程组的解是______． （4）【拓展延伸】 ①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图2所示，请根据图象，直接判断方程组的解的情况______． ②已知关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简 【答案】（1） （2）见解析 （3）， （4）①无解；②5 【解析】 【分析】（1）分别代入计算，即可判断； （2）利用两点确定一条直线，画直线； （3）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组； （4）①根据两条直线平行，对应方程组无解即可判断； ②根据二元一次方程组的解的定义，得出，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴在方程的图象上； ∵ ， ∴不在方程的图象上； ∵， ∴不在方程的图象上； 【小问2详解】 解：令，则；令，则； 描点、连线，二元一次方程的图象如图， ； 【小问3详解】 解：观察图中两个图象，它们的交点坐标为，由此得出二元一次方程组的解是； 【小问4详解】 解：①由图象可知，图象和图象平行， ∴方程组无解， 故答案为：无解； ②， 得， ∴， ∵已知关于x、y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴ ． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点的“绝对距离”为，记为． （1）已知点，点为轴上的一个动点． ①若，求点的坐标； ②的最小值为______； ③动点满足，所有动点组成的图形面积为36，请直接写出的值． （2）对于点，点，若有动点使得，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①或；②1；③3 （2） 【解析】 【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为36计算即可； （2）根据题意可求出在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中，则同时满足的点组成的图形为长方形，其中，进一步可推出只需要满足即可，据此列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①设， ∵，，且， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵点为轴上的一个动点，， ∴， ∴， ∴的最小值为1； ③∵，点，且， ∴， ∴ ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图所示， ∵所有动点组成的图形面积为36， ∴， ∴或（舍去）； 【小问2详解】 解：∵点，点，有动点，使得， ∴， ∴且， ∴且， ∴在满足的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中， 同理可得在的条件下，所有符合题意的点M组成的图形是正方形，其中， ∴同时满足的点组成的图形为长方形，其中， 当点M在长方形内部或其边上时，此时满足， ∴只需要满足即可， ①当时，由题意得：， 解得， ∴ ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得， ∴ 综上，若有动点，使得，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $