题号猜题11 中考数学20、22题 方程与不等式应用、统计与概率（解答题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题11 中考数学20、22题 方程与不等式应用、统计与概率（解答题） 考点1二元一次方程组与不等式应用 1．（2026·湖南长沙·二模）近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． (1)求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ (2)经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元． (1)求两种型号报警器的单价； (2)若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？ 3．（2026·湖南长沙·一模）网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 5．（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 考点2分式方程与不等式应用 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 7．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 8．（2026·湖南长沙·一模）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 考点3方程、不等式与一次函数应用 11．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 13．（2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； (2)若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 15．（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 考点4统计与概率 16．（2026·湖南长沙·二模）为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖．学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表．（A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”） 节目 频数 频率 A 10 0.2 B a 0.3 C 5 b D 20 c 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)表中______，______，______； (2)请补全条形统计图； (3)为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 17．（2026·湖南长沙·二模）为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的组距是____，b=_____； (2)求a的值； (3)补全频数分布直方图； (4)该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 18．（2026·湖南长沙·一模）4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； (2)补全条形统计图； (3)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 19．（2026·湖南长沙·一模）随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下： 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图． (2)全校4500名学生中，步行上学的人数为 人． (3)现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率． 20．（2026·湖南长沙·一模）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________； (2)图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 1．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A型充电宝比2个B型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝数量的多100个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的，公司要求生产部门生产总费用不超过50000元，那么最多可生产多少个A型充电宝？ 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）长沙某小学开展爱心义卖活动，筹到的善款会由红十字会统一购买文具送给山区的小朋友．小明的妈妈购进了一些材料做成了A，B 两种型号的手工发卡，在学校的爱心义卖活动中售卖，售出8个A型发卡和4个B 型发卡收入48元，售出6个A型发卡和8个B 型发卡收入51元． (1)分别求出A，B两种型号的手工发卡的销售单价； (2)A 型手工发卡每个的材料成本为3元，B型手工发卡每个的材料成本为2元，小明妈妈准备制作两种手工发卡共50个，总成本不超过125元，若所有发卡都可以销售完毕，为了筹集更多的善款，应该如何安排制作两种发卡的数量． 6．（2026·安徽阜阳·二模）某校筹备“劳动赋能成长，实践创造未来”的主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣爱好，学校随机抽取部分学生进行调查． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动调查问卷 请选择你感兴趣的项目，并在其后“□”内打“√”（每人必选且只能选择其中一项） A．绿植□        B．剪纸□      C．泥塑□       D．烘焙□       E.收纳□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．    【分析数据】请根据提供的信息，完成下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中项目“E”对应的扇形圆心角的度数； (3)若学校有600名学生参加本次活动，请根据调查结果估计选择参加项目B和D的学生各有多少．为确保参加活动的每名学生都有座位，请结合本次活动日程表合理安排B和D的活动地点． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 时间 8：00-9：30 E 10：00-11：30 C 13：00-14：30 设备检修暂停使用 7．（2026·湖南长沙·一模）国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位． 其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A 0.3 B 35 0.35 C 31 D 4 0.04 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)请补全条形统计图； (3)若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人； (4)张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率． 8．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题11 中考数学20、22题 方程与不等式应用、统计与概率（解答题） 考点1二元一次方程组与不等式应用 1．（2026·湖南长沙·二模）近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． (1)求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ (2)经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 【答案】(1)1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元 (2)最多能购买2架A型无人机 【分析】（1）根据“购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元”列方程组求解即可； （2）根据“投资不超过50000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1架A型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元， 由题意得 解得 答：1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元； （2）解：设购买A型无人机m架，则购买B型无人机架， 由题意得， 解得， ∵m为非负整数， ∴m最大可取2， 答：最多能购买2架A型无人机． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元． (1)求两种型号报警器的单价； (2)若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？ 【答案】(1)A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元 (2)至少需购买A型报警器125个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键． （1）设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设需要购买A型报警器a个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元， 由题意可得：， 解得． 答：A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元； （2）解：设需要购买A型报警器a个， 由题意可得：． 解得． 答：至少需购买A型报警器125个． 3．（2026·湖南长沙·一模）网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 【答案】(1)A种饮品的单价为15元，B种饮品的单价为16元 (2)456元 【分析】（1）根据销售量、销售单价、销售金额之间的关系列出方程，解方程组即可； （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品，购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，据此列出不等式并解不等式得到的取值范围，设购买这30杯饮品的总费用为元，根据题意列出一次函数并根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种饮品的单价为元，种饮品的单价为元， 依题意得： 解得： 答：种饮品的单价为15元，种饮品的单价为16元． （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品， 依题意得：， 解得：． 设购买这30杯饮品的总费用为元，则， , 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值． 答：该班购买30杯饮品最少花456元钱． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元 (2)应购买34个篮球、66个足球 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 5．（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 考点2分式方程与不等式应用 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 【答案】(1)第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； (2)每个小喇叭的进价最多为4元． 【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据第二次购买的单价比第一次便宜1元建立方程求解即可； （2）设每个小喇叭的进价为m元，根据两次售出的总利润不低于400元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； （2）解：设每个小喇叭的进价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：每个小喇叭的进价最多为4元． 7．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 8．（2026·湖南长沙·一模）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 【答案】(1)每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 (2)共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； （2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 【答案】(1)款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． (2)当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买款无人机架，花费为元，则B款无人机架，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． （2）解：设购买款无人机架，则B款无人机架，航摄公司花费为元， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时， 答：当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； (2)购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元 【分析】此题考查的是分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． （1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，然后根据题意列一元一次不等式组和一次函数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（万元）； 答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台， 根据题意得：， 解得：； 设总费用为w，则， ∵， ∴当时，； 答：购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元． 考点3方程、不等式与一次函数应用 11．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 12．（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 13．（2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 (2)购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元 【分析】（1）设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设购买羽毛球拍副，总费用为元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元， 根据题意得 解得 答∶每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元； （2）解：设购买羽毛球拍副，总费用为元，则购买跳绳根． 根据优惠规则可得 ∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的， ∴ 解得 随的增大而增大 当取最小值时，取得最小值，此时（元），（根） 答∶购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用是1880元． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； (2)若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)每个A种充电桩需投资3万元，每个B种充电桩需投资2万元 (2)购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元，根据投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩，设投资总额为w万元，先根据购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后w关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：购买每个A种充电桩需投资3万元，购买每个B种充电桩需投资2万元； （2）解：设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为14， 设投资总额为w万元， 根据题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最小值，最小值， 答：购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少，投资总额最少为万元． 15．（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【答案】(1)每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 (2)总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元，根据每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； （2）解：设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值， 此时，， 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 考点4统计与概率 16．（2026·湖南长沙·二模）为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖．学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表．（A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”） 节目 频数 频率 A 10 0.2 B a 0.3 C 5 b D 20 c 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)表中______，______，______； (2)请补全条形统计图； (3)为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率． 【答案】(1)15，0.1，0.4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据总数乘以频率求频数，频数除以总数求出频率． （2）补全条形统计图即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：补全条形统计图如解图； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种， ∴P（甲、乙两位同学都被选中）． 17．（2026·湖南长沙·二模）为了培养学生的晨读习惯，某校在寒假期间开展了“我爱晨读”的活动，开学后随机抽取了90名学生，对他们平均每天的晨读时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行收集、整理和描述，下列是其中的部分信息： 信息一：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布表： 分组 合计 频数 9 12 a 24 b 9 90 信息二：90名学生平均每天的晨读时长（单位：min）的频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的组距是____，b=_____； (2)求a的值； (3)补全频数分布直方图； (4)该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．若该校有1200名学生，估计获得该称号的学生有多少名？ 【答案】(1)， (2) (3)见详解 (4)获得该称号的学生约有400人． 【分析】（1）根据组中值的定义和频数分布直方图的数据求解即可； （2）用90减去其他组的频数即可求出的值； （3）根据（2）的数据，补全频数分布直方图即可； （4）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：依题意，频数分布表中的组距是， 结合频数分布表以及频数分布直方图，得出在的人数； （2）解：依题意，， 即在的人数为； （3）解：补全频数分布直方图，如图所示： ； （4）解：∵该校决定将平均每天的晨读时长达到40分钟及以上的学生评为“晨读之星”．且该校有1200名学生， ∴（人）， ∴获得该称号的学生约有400人． 18．（2026·湖南长沙·一模）4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； (2)补全条形统计图； (3)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 【答案】(1)50；30 (2)见解析 (3)600名 【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用D类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）根据（1）中所求D类的人数，即可补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴． （2）解∶补图如下∶ （3）解：（名） 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名． 19．（2026·湖南长沙·一模）随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下： 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图． (2)全校4500名学生中，步行上学的人数为 人． (3)现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率． 【答案】(1)100，见详解 (2)1800 (3) 【分析】该题考查了扇形统计图、用画树状图法求随机事件的概率、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答． （1）依据其他的数据，即可得到调查的样本容量，再求出A的人数和B的人数即可画图； （2）用样本估计总体的思想，即可解决问题； （3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：， A的人数是人， B的人数是人， 补全条形统计图如图： （2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人． （3）解：画树状图得： 共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是． 20．（2026·湖南长沙·一模）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________； (2)图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________． (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】(1)40 (2)54°，图见解析 (3)700人 (4) 【分析】（1）根据B级的人数和所占抽样总人数的百分率，即可求出抽样总人数； （2）由A级6人，可求得A级占的百分比，继而求得∠α的度数；结合（1）计算C级的人数，继而补全统计图； （3）首先求得本次抽样测试的学生中不及格人数的百分比，再乘以九年级总人数即可估算出不及格的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； （2）解：图1中的度数是； C级的人数是：（人）， 如图： （3）解：估计不及格的人数为（人） 故答案为：700； （4）解：根据题意画树形图如下： 共有12种等可能结果，选中小明的有6种， 则（选中小明） 1．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； 问题2：分和列出函数关系式即可． 【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人． 根据题意，列方程组：，解得：． 答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人； 问题2，当时， ； 当时， ． 综上所述． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解： （1）根据题意列代数式； （2）根据题意列方程请求解． 【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程： 从观光长廊返回岳麓书院的平均速度： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程： 从岳麓书院到观光长廊的时间为： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度： 答案为：①；②． （2）根据题意，得，解得． 答：的值为． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A型充电宝比2个B型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝数量的多100个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的，公司要求生产部门生产总费用不超过50000元，那么最多可生产多少个A型充电宝？ 【答案】(1)1个A型充电宝的生产成本为60元，1个B型充电宝的生产成本为100元． (2)最多可生产420个A型充电宝 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题关键是根据题意找出等量关系和不等关系，进而列出方程和不等式求解． （1）设1个A型充电宝的生产成本为元，1个B型充电宝的生产成本为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设生产个A型充电宝，则生产个B型充电宝，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1个A型充电宝的生产成本为元，1个B型充电宝的生产成本为元， 由题意得 解得 答：1个A型充电宝的生产成本为60元，1个B型充电宝的生产成本为100元． （2）设生产个A型充电宝，则生产个B型充电宝， 由题意得， 解得． 答：最多可生产420个A型充电宝． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）长沙某小学开展爱心义卖活动，筹到的善款会由红十字会统一购买文具送给山区的小朋友．小明的妈妈购进了一些材料做成了A，B 两种型号的手工发卡，在学校的爱心义卖活动中售卖，售出8个A型发卡和4个B 型发卡收入48元，售出6个A型发卡和8个B 型发卡收入51元． (1)分别求出A，B两种型号的手工发卡的销售单价； (2)A 型手工发卡每个的材料成本为3元，B型手工发卡每个的材料成本为2元，小明妈妈准备制作两种手工发卡共50个，总成本不超过125元，若所有发卡都可以销售完毕，为了筹集更多的善款，应该如何安排制作两种发卡的数量． 【答案】(1)A型号手工发卡的销售单价为元，B型号手工发卡的销售单价为元． (2)制作A型号手工发卡个，则制作B型号手工发卡个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握列方程组和不等式解应用题的方法是解题的关键． （1）通过设A、B两种型号发卡的销售单价，根据给出的两种销售情况列出方程组，进而求解单价． （2）设制作A型号发卡的数量，从而表示出B型号发卡数量，根据成本不超过的条件列出不等式，求出A型号发卡数量的取值范围，再结合筹款更多的要求确定数量安排． 【详解】（1）解：设A型号手工发卡的销售单价为元，B型号手工发卡的销售单价为元．      解得 答：A型号手工发卡的销售单价为元，B型号手工发卡的销售单价为元． （2）解：设制作A型号手工发卡个，则制作B型号手工发卡个．则 因为要筹集更多善款，A型号发卡单个利润元，B型号发卡单个利润元，， 所以A型号发卡数量越多越好， 所以，． 答：制作A型号手工发卡个，则制作B型号手工发卡个． 6．（2026·安徽阜阳·二模）某校筹备“劳动赋能成长，实践创造未来”的主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣爱好，学校随机抽取部分学生进行调查． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动调查问卷 请选择你感兴趣的项目，并在其后“□”内打“√”（每人必选且只能选择其中一项） A．绿植□        B．剪纸□      C．泥塑□       D．烘焙□       E.收纳□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．    【分析数据】请根据提供的信息，完成下列问题： (1)求本次调查所抽取的学生人数，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中项目“E”对应的扇形圆心角的度数； (3)若学校有600名学生参加本次活动，请根据调查结果估计选择参加项目B和D的学生各有多少．为确保参加活动的每名学生都有座位，请结合本次活动日程表合理安排B和D的活动地点． “劳动赋能成长，实践创造未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 时间 8：00-9：30 E 10：00-11：30 C 13：00-14：30 设备检修暂停使用 【答案】(1)40人，图见解析 (2) (3)B：90人，在2号多功能厅； D：180人，在1号汇报厅． 【分析】（1）利用项目C的人数及其占比即可求出总人数，再求出项目D的人数补全统计图即可； （2）项目“E”的占比乘以即可求出答案； （3）求出选择项目B、选择项目D、选择项目A的人数，即可作出判断． 【详解】（1）解： 本次调查所抽取的学生人数为 （人） ， 选择项目 D的有（人） ，   补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中项目“E”对应扇形圆心角的度数为； （3）选择项B： （人） ， 选择项目D：×600=180 （人）， 选择项目A： ×600=60 ，（人）     故B在2号多功能厅， D在 1 号汇报厅． 7．（2026·湖南长沙·一模）国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位． 其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图． 等级 频数 频率 A 0.3 B 35 0.35 C 31 D 4 0.04 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)请补全条形统计图； (3)若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人； (4)张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率． 【答案】(1)30；0.31 (2)见解析 (3)480 (4) 【分析】（1）先根据B求出样本容量，再乘以频率求解，再频数除以样本容量求解频率； （2）根据求解的即可补全条形统计图； （3）用总数乘以占比即可； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：本次随机抽取的样本容量为：， ； （2）解：由（1）知， 补充完整的条形统计图如图所示： （3）解：该校学生喜爱“”的学生人数为（人）； （4）解：画树状图如图：      ∵共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“”的结果有2种，     ∴抽取的2人均喜爱“”的概率为． 8．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $