辽宁省协作校2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试题

高一数学试题 注意本项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证母填写在答题卡上。本试卷满分160分，考试时问120分钟。 2作答时，将答索写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，只交答四卡。 第1卷（选择题，共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项符合题目要求） 1.cos37°sin67°-sin37°cos67°的值为（) A.-3 B方 c D.5 2 2 2.在△ABC中，若AB=8,AC=5,BC=7,则cosC=() A.0 B月 c.分 D.片 3.已知平面向量a,方的夹角为60°，=2，=1，则1à+2() A.4 B.万 C.2万 D.2√5 4.若sin9<0,tane>0,则号是() 2 A.第二或第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一或第三象限角 5.在AMBC中，B=g,a=, b=1,若满足条件的△ABC有2个，则x的取值范围是（) A.(0,1U2} B.(0,1)U(2 C.(0,2) D.(1,2) 6.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan x+ 的图像的一个对称中心，则a的最小值为() 6 A.8 B骨 c月 D.号 7.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，点P在线段BC上运动，且满足CP=CB,当PAPC取 到最小值时，入的值为() A. B c D.日 8.已知函数f)=30o(2x+写引，若0<名<场分且)-%)=-2，则如(6-）=〈) 试卷第1页，.共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP A月 B号 C. D.-22 3 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分在年小题所给的四个地项中，有多项符合题目要求全部选 对的得6分，部分进对的得部分分，有选饼的得0分) 9.已知平面向量ā=(2,1)，a-6=(4.-3),则下列说法正确的是() A.aB B.甘+=5 C.向量a+与士的夹角的余弦值为25 D.向凰立-方在ā上的投影向量的坐标为(2，) 10.函数∫(x)=4sin(@x+p)(A>0,w>0,0<之号)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是 () >0 A,()的图象可由y=Asinx的图象向左平移个单位长度得到 12 B。儿)的图象关于直线x=音对称 c.fx)在区间方2] ππ 上单调递增 D.关于x的不等式∫(x)2V5的解集为 +2asx<+2m 12 4 Il.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA+tanB acosB 则下列结论正确的是 () AA-=号 B.若a=2,则该三角形周长的最大值为6 试卷第2页：共4项 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP C.若∠BMC的平分线AM交BC边于点M且M=1,则36+e≥8y5+4 3 D.若△MBC的面积为2，a,b,c边上的高分别为h,h,h,且hh4=1,则2的最大值为24V3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知扇形的弧所对的圆心角为30°，半径r=10cm,则扇形的弧长为 cm. 13.已知P:向量à=(-l,)与方=(m,2)的夹角为锐角.则实数m的取值范围为 14、已知6为函数/()=n(@ax+j®>0o<引相邻的两个零点，满足片-=1且 fx+》-(-),若f()=在xe0,m上有三个实数根，则实数m的取值范围是 四、解答题（共5道题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知0<a<登cosa-号 (1)化简 2sin2a+sin(-2a) 1+tan(3π+c） ,并求值： 2若0<月经且coa+)=分求nB的值， 16,如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同 一个铅垂平面内.测得A到M,N的俯角∠BAM和∠BAN分别为a=75°，B=30°，B到M,N的俯角 分别为a2=45°，月2=60°，同时测得AB=20√5m, I)分别求出A,M两点间的距离及A,N两点间的距离： 2)求山顶M,N之间的距离. 试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17,已知函数f(x)=2 sinx(sinx+V3cosx+1. (I)求(x)的单调递增区间： (2)求不等式f(x)23在(0，π)上的解集： (3)对于任意的x∈ 关于x的不等式m()+m-∫(x)≥0恒成立，求实数m的取值范围. 18.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.且满足a2+c2-b2=ac, (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积S=10V5,内切圆的半径为r=√5，求b: (3)若△4BC为锐角三角形，且c=12,求△ABC面积的范围. 19.平面上非零向量d,6,规定一种运算“⑧”：⑧6=sin8,其中日为向量ā与6的夹角 (1)若=(3,2)，6=(1,3)，求⑧6的值： (2)在△ABC,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且己知a=3,b=2,bcosA-+acosB=2 ccosC,若 点G为△ABC的外心，求CG⑧AB, (3)已知向量ā= 2-1 、 求ā⑧6的最小值. 试卷第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP高一数学试题参考答案 1.C【详解】因为cos37°sin67°-sin37°cos67°=sin67°cos37°-cos67°sin37°=sin(67°-37°)， 1 所以cos37°sin67°-sin37°cos67°=sin30°= 2 2.B【详解】由余弦定理，cosC=CB+CA2-A8=72+52-82_1 2CB·CA 2×7×57 3.D【详解】因为平面向量a,6的夹角为60°，问=2，问=1，a-6=同cos60°=2×1×行=1， 所以后+2b=V合2+4ab+4b2=√4+4+4=2W5. 4.A【详解】根据三角函数的定义，由sin日<0可得B的终边在第三象限、第四象限或y轴的负半轴， 由tanB>0可得B的终边在第一象限或第三象限，所以若sinB<0,tanB>0,则B是第三象限角，即 n+2m<0<3亚+2m(k∈Z,所以号+m≤号<30+m(kZ), 2 24 当k=2nn∈Z),即k为偶数时，+2m<号<3严+2m,此时号是第二象限角，当k=2n+1(n∈Z),即k为奇 24 数时， 兰2m号公2m,此时号是第四象限角。综上号是第二或第四象限角 5.D【详解】在VA8c中，日-云，a=×,b=1,又满足条件的vA8C有2个， 则as1nB<b<a,即xsin<1<x,解得1<x<2,所以x的取值范围是1,2). 6 6,B详解令x+后受ke2,得x=+会ke2. 62 所以函数y=2tan （<日的图俊的对称中心为〔名+受0女2. 6 若点(a,0(a>0)是函数y=2anx+的图像的一个对称中心，令a=-亚+>0，k∈Z,得k>keZ. 6 62 当k=1时，日=亚+取得最小值，最小值为 62 7.D【详解】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，不妨设AC=1 则A(0,0,C(0,1)P(51-才，PA'PC=入1-小(，-)=42-入，当i日时取最小值 8.c详解由于1（为=e(2x+日-2，所以os2x+》子 因为0<x分，所以2x+后智） 因为<<分且f=1=以，则ca(2x+写=m2x+写》-号 由余孩函数的对称性，2x++2%+骨=2，且2%+后智，所以×+，则-%--2%， 3 则Xn得2n[(2xn2%) 因为+)子.且%导号》，所以nx+引()-9 9.ABD【详解】b=a-(a-b)=(2,1)-(4,-3)=(-2,4), 选项A:因言6=2×(-2)+1×4=0，故a1b,故A正确： 选项B:百+6=(2,1)+(-2,4)=(0,5)，故+6=5，故B正确； 选项C:cosa+b,a= (百+b)a0×2+5x1=5 5+间x+,号，故C错误： 选项D:设向量a-b在a上的投影向量为c, 则-Bcos6h司间fa=4e艾a=a=2,1),故D正确一 22+12 10.AC【详解】由图象得A=2,f(0)=1,即sn0=?,而0<0<分，则p= 6 f×=2sin(wx+马，又f()=0,则x5+”=2m+m,keZ,解得w=24k+2,keZ,函数f(X的最小正 12 126 5 周期7-号，由图象知已>没，则0<u<号，w=2,f(=2n2x+, U12 6 对于A,y=2sin2x图象向左平移”个单位得到y=2sin2(x+凸)=2sin(2x+的图象，A正确； 12 12 6 对于B.代入x=有2x+名号 =二，不为正弦函数对称轴故B错误； 1263 对于C,当x∈-”，马时，2x+”∈-马，因为y=s1nx在 312 6 23 23 上单调递增，所以函数1（刘在-号行上 单调递增，C正确； 对于D,由f(0≥5，得sin2x+马 2,则5+2m≤2x+≤2+2km,k∈Z, 2 63 解得子+低≤x三子+如火∈z,所以解集为1及+m≤x≤十mk∈Z,D错误 4 12 4 11.ABD【详解】对于A,因为tanA+tanB= 由正弦定理可得tanA+tanB= 3 sin c acos B sin Acos B 又因为sinC=sinA+B)=sinAcosB+cos AsinB,所以J5(sincs+cos Asin _tan A+tan B, sin Acos B 化简可得y3tanA+tanB) tanA+tanB,又anA+tanB≠0，可得anA=5,又A∈(0，)，故A=,即选项 tan A 3 日243=b= A正确：对于B,若a=2,又A-,由正弦定理得snA3 sin B sinc, 2 所以6=45na.c=4nc,则g+6+=2+g5sn8+nc=2+ (sin B+sin(n-A-B)) 因为a智》，所以+（后》，所以n(a+副台创 则a+b+c的最大值为6，故B正确； 对于C,由AM为∠CAB的角平分线，得∠MAB=∠MAC= 6 又5=5+su即-bsn二=AMsn+AMsn所以2+2= 32 62 当且仅当碧即=”。+9时等号成立：故C错误： 3 对于D,由题意可得c的的=方鸡=2，所以A手6A-兰，则6A 21 abc 又因为sc=bci=si”-5。 c=2,所以bc-8 2 34 3 由余弦定理得a2=62+d2-2 bccosA=62+c2-bc≥2bc-bc=bc=8y5 当且仅当b=c时等号成立 3 所以hA=4-85,所以F=192≤245，故D正确 abc a A2 12. 【详解】因为扇形的3弧所对的圆心角为30°，即为弧度，且半径r=10cm,所以扇形的弧长为二×10=5” 3 3 cm. -1×m+1×2 13.(-0o,-2)U(-2,2)【详解】两向量夹角的坐标公式为cosa,b= a.b 丽)2+1√m+2, 因为向量a=(-1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角，则cosa,b= -1×m+1×2 5∈(0,1) √(-1)2+12√m2+2 14. [ 【详解】因为x,2是f(x)的两个相邻零点，且x-x=1, 所以f(x的半周期二=1，T=2,即w=2=2=π，所以函数为f(x)=sn(x+, 由(*号)-f(可知1的-个对称中心为任，所以sn日+9小0，解得e=君+红kez, 又分，取k=0,所以P=后，即f(×=sn（x》 因为x∈0，m,所以mx6 π -,m- 6 令z=nx-， 则问题转化为方程n:=在：[名m君上有三个实数根， π 2 即y=8nzz石m的图象与直线y号有且仅有三个交点， 结合正孩函碳国象可知m[),解得m仔升 15.【详解1(1)因为0<a<5,cosa=3,所以sna-V-cosa- 2 5 51 =2sin'a+sin2d=2sin a(sin a+cos a)2sin acos a(sinacos a) -=2 sin acos a3分 1+tan 1+tan cos a+sin a 3 所为，原式= 2 25’6分 5)因为0<<分，0<0经，所为a+00,7分 2 又cota+0-有，所为na+0=V-csa+A-2 ,9分 -iniia+-a =sinta+cos a-costa+sin ax .13分 15 16.【详解】(1)如图所示，在△ABN中：∠ANB=B-R=30°，∠ABN=180°-B2=120°， AB=BN=20V3,易求得AN=60,4分 在△ABM中，∠AMB=180°-(Q1+Q2)=60°， 由正弦定理可得， AB AM 5n乙AMg=nAB所为AM=203sn45=202km9分 sin60° (5在△AMN中，∠MAN=Q,-月=45°，由余弦定理得，MN2=AM2+AN2-2AM·AN cos∠MAN, 代入数据有MN2=602+(20√2)2-2×60×20V2cos45°=2000，即MN=20V5km· 所以M,N之间的距离为20V5km.15分 17.【详解】(1)f(x)=2 sin x(sinx+V3cosx)+1=2sin2x+2V3 sin xcosx+1 =2x1g2+5n2x1=5sn2x-as2x42=2sn2x-8}2.2分 2 +2m≤2X-亚s+2km,keZ,可得-+m≤x≤”+m,kez, 由- 2 62 6 3 所以的单调递始区同为君+如 +kmk∈Z;4分 3 6)由03可得2(2x君23，整理回得n(x} 因为0<x<π，所以-”<2x-卫<11m 6 6 .6分 根据正孩函激的性质可知，要使nx君引产，应满足店≤2x-君 ,解得sX≤乃 6 6 6 2 所以不等式1的≥3在Q时上的解柴为[引 。…9分 3)因为x∈0，引， 6 以2xe[引，得到nx}引 所以f(x)∈[1,3111分 f (x) 又因为不等式f2(x+m-fX≥0恒成立，得到m2x+1 f(x)+ 1, f (x) F(×1=2,当且仅当f(= 1 因为f()+ 一≥2 f (x f (x) 女，即(=1时取等号 A 所以m≥， 所为实数m的取值范围是 15分 2 讨论(m>02分；m<01分；m=01分) 18.【详解1(1)由+c2-b=ac可得c0sB=g+c-b=1,由于B∈0，m,故8= ，…3分 2ac 2 3 2 in号=105 1 (2)由题可知 aw+ex万=io ’化简得ac=40 a+c=20-b’5分 由余弦定理知b2=日3+。2-2ac00s号，即b2=(a+d2-3ac,7分 所以b2=(20-b)2-120,解得b=7..10分 B (3)在VABC中AB=12, 由正孩定理品二得： 12sin 2π 12. -cos C +-sin C 12sin A 3 2 BC= 1, =12 51 sin C sin C sin C 22 tan C 2 12分 因为A9C是锐角三角形，则t<6<号，且0<号-c<分，于是有<C<经，14分 3 则anc>5,即0<1<5，则二<+51 <2， 3 tan C 222 tan C 从而得185<5。Ac<725,所以△4BC面积的取值范围是18W5,723)17分 (用边c面积表示2分，边c范围3分，结论2分) 19.【详解】(1)若百=(3,2).6=(1,3)，则ab=3×1+2×3=9,=3,=V1而， 因为a®6-lsn0=sn0=同l-cos28=Vl-a-6. 所以a⑧b=√30-81=√49=7；3分 (2)由bcosA+acosB=2 ccosC和正弦定理，可得sin B cos A+sin Acos B=2 sin C cosC, 因sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,代入得sinC(1-2cosC)=0, 因c∈(0，)，sinc>0,则cosc=2,故c=”, 3’ 4分 2 5 由余弦定理，可得c2=a2+62-2 bcosC=9+4-2×3×2×=7,即c=万，11110分 2 取Bc的中点为D,连接GD,因为点G为VABC的外心，所以GD⊥BC, 夕 由正孩定理可得25G置2写，所以c6: =万=22 3 ，6分 2 向量数量积的几何意义可知，c6·cB=c日-号，同理c6·cA=cA 质议cGAB=C61CB-CA=CG-CB-CG~CA=,-7分 所以CG⑧AB CG-CG.0, (3)设a=(x,y),b=(x2,y2), a86-sine0=Vbl-(a-6)=V×++方)-(x%+y) VXy后+发y-2xy为y=√xy2-xy)2=ky,-xy， (不整理坐标运算，直接判断a上b,求出。⑧。= 16 2 16cos a sina sin acos a' 但是未开方给2分) 9.14分 1，+4= 1+4 (cos'a+sin'a)=17+sinacos17 +2 sin2 a 4cos2a 25 4cos2 a sin2 a 4cos2 a'sin2 a 4 4cos2 a sin2 a 4 V4cos2 a sin2 a 4 当且仅当n2=4cos,即an0=2时等号成立，取得最小值是25. 4cos2a sin2a 4 …17分