精品解析：广东广州市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广州市第二中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 2026年5月7日 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.） 1. 若直线，直线，则直线a与b的位置关系是 A. 相交 B. 异面 C. 异面或平行 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，直线a∥α，可得直线与面没有公共点，故直线与面的线 没有公共点，由此关系即可得出直线a与b的位置关系． 【详解】由题意直线a∥α，直线b⊂α，可得直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行 故选C. 【点睛】本题考点是空间中直线与直线的位置关系，考查了线与面平行时，线与面内的线之间位置关系的判断，解题的关键是理解线面平行的定义及空间中线与线之间的位置关系，本题考查了空间想像能力及推理判断能力． 2. 若，则实数，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由复数相等的充要条件得，解方程组即得，. 3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，化简后即可求解. 【详解】在中，， 因此可得 ，， 将其代入已知条件 ， 因为是三角形内角，，所以， 又是三角形内角，故， 所以此三角形是直角三角形. 4. 设，若，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】函数， 由题意可知，，恒成立，则且. 5. 已知向量，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标列方程组，将其平方相加求出，再结合得出，即可求出. 【详解】由题意得，， 则，分别对两式平方得 两式相加得，即， ∵，∴，∴． 又由，且，所以， 解得：，，所以． 6. 已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据x的范围，确定，由题意结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】由题意知函数，当时，， 因为在上恰有2个不同零点， ∴， ∴，即正实数的最小值是， 故选：A. 7. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解. 【详解】扇形弧长为，圆锥底面周长为，故： 母线长，根据勾股定理： 设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积： 代入,得函数仅在时定义，即. 解，即 此时 故选：D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解. 【详解】因为，，， 由余弦定理得：，所以. 因为，所以， 又因为，所以为正三角形. 则当为线段的中点时，，即取最小值， 此时； 又因为，，三点共线，所以， 由平面向量基本定理，得，解得. 二、多选题（本大题共8小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案. 【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，. 所以AC选项错误，BD选项正确. 故选：BD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确；    D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，由，可得，所以，故B错误； 对于C，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故C正确； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共16分，把正确答案填写在答卷相应位置上.） 12. ______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数乘方、复数的模等知识求得正确答案. 【详解】. 13. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___． 【答案】 ①. 棱柱 ②. 【解析】 【分析】根据棱柱的定义判断容器中的水形成的几何体为棱柱；不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可. 【详解】当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点， 此时平面平面，其余各面都是平行四边形， 且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱； 设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处， ， 所以水的体积，解得. 故答案为：棱柱； 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解， （2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解. 【小问1详解】 由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期，并求在上的单调减区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，根据正弦函数最小正周期公式和单调递减区间即可求解； （2）根据正弦函数单调性求出的值域，再利用的最值即可求解. 【小问1详解】 . 则的最小正周期； 令，解得， 当时，，当时，范围不在内， 故在上的单调减区间为. 【小问2详解】 当时，， 则，故， 由不等式恒成立，即恒成立， 则， 的取值范围是. 17. 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 且，． 【小问2详解】 且，， 又，，又， ，． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， ， 又，． 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” （1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； （2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； （3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1 （2），其中 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【小问1详解】 因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得，若，则， 则角均为钝角，不满足题意；若，则， 则角均为锐角，满足题意，故. 【小问2详解】 对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”， 则对，，有或，其中为常数， 若，由的任意性可得， 取，则； 取，则，故，其中为整数； 取，则，故，其中为整数； 故，矛盾； 故， 则当时，，则， 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数， 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均为正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 2026年5月7日 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确选项.） 1. 若直线，直线，则直线a与b的位置关系是 A. 相交 B. 异面 C. 异面或平行 D. 平行 2. 若，则实数，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 设，若，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 5. 已知向量，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共8小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，只答对部分选项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得0分.） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共16分，把正确答案填写在答卷相应位置上.） 12. ______. 13. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___． 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期，并求在上的单调减区间； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知，，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” （1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； （2）若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； （3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $