精品解析：重庆市潼南区梓潼初级中学校等学校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2024级八年级下期半期测试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中是无理数的是（ ） A. －1 B. 0 C. D. 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 6，8，10 D. 5，12，17 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各命题中，不是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 6. 估计的结果是（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 7. 如图在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且满足，其中． 下列说法： ①当时，满足条件的整式中最多有4项； ②当时，所有满足条件的整式的次数最高次为次； ③当时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 如图，数轴上点表示的数为，以原点为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点，则点表示的数为_____． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 14. 如图，矩形中，，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，则的长为_____． 15. 一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 16. 对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 三、解答题：（17题，18题每题8分，19题－25题每题10分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，平行四边形中，平分交边于点， （1）尺规作图：作的角平分线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：平行四边形， ______①______ 平分交边于点， （______②_______） ， _____③_____， 同理：，， 四边形是平行四边形（_______④_______） 又 四边形为菱形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架与另一条支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量，但不好测量的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架比长，你能根据导游小姐姐提供的信息验证支架的长度是否真的是吗？请写出你的验证过程． 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图，建立平面直角坐标系并画出网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点都是格点，同时想到利用顶点构造矩形，使它的顶点都在格点上，它的边分别经过点，他们借助此图利用图形面积的和差求出了的面积． （1）在图中，所画的的三边长分别是_____，_____，_____，的面积为_____； （2）第二小组的同学发现在正方形网格中非常容易研究几何问题，于是他们又把初一学过的平移搬到了坐标系中，画出向右平移4个单位后得到的，并求出四边形的面积； 【继续探究】 （3）第三小组的同学想到借助曾经阅读的人教版八年级下册数学书17页资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． 请你根据第（1）问中求出的边长选用适当的公式求的面积（写出计算过程）． 22. 阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如． 解答下列问题： （1）计算：； （2）小宇还发现了和上面的题相同的变形规律： 请化简：． （3）若，求的值 23. 如图，三角形区域是一个公园，其中点处有一个烈士陵园，点处是一所中学，清明节到了，学校组织初一年级，初二年级的同学去扫墓，去陵园有两条线路：；．经勘测，点在点的正西方1千米处，点在点的正南方，点在点的北偏西方向，点在点的正南方，点在点的正西方，点在点的北偏东方向6千米处．（参考数据：，） （1）求的长度． （2）由于学生人数多，学校决定两个年级同时出发，但分开走，初一年级选择线路①步行，初二年级选择线路②步行，如果两个年级队列同样长，且行进速度一样，请计算说明哪个年级先到达？ 24. 如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． （1）求证：； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． （3）当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 25. 正方形中，点E，F分别为，上的动点，连接，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若F为的中点，过D作，垂足为N，交于M，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作于H，交于点G，若正方形的边长为4，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级八年级下期半期测试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中是无理数的是（ ） A. －1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：A：是整数，是有理数，故该选项不合题意； B：是整数，是有理数，故该选项不合题意； C：是无限循环小数，是有理数，故该选项不合题意； D：是无理数，故该选项符合题意． 2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 6，8，10 D. 5，12，17 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，先判断三边能否构成三角形，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断即可． 【详解】解∶A．，， ，不能构成直角三角形，不符合题意； B．，， ，不能构成直角三角形，不符合题意； C．，， ，能构成直角三角形，符合题意； D．，不满足三角形三边关系，且，不能构成直角三角形，不符合题意； 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，被开方数含能开得尽方的因数， ∴A不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件， ∴B是最简二次根式； ∵ 的被开方数含分母， ∴C不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母， ∴D不是最简二次根式； 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各命题中，不是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，能够熟练掌握相关判定是解题的关键． 【详解】解：A.对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定四边形是菱形，则该选项为假命题，故符合题意； B.一组对边平行，可得同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对角也相等，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； C.根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，则该选项为真命题，故不符合题意． 6. 估计的结果是（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到结果 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ∴， 即原式的结果在4与5之间． 7. 如图在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，能够将平面直角坐标系中点的特点与菱形的性质相结合是解题的关键． 根据题意可知，，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，的坐标分别为，， ∴， 四边形为菱形， ，, 在中，， 则点的坐标为． 8. 如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知图形得出规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有个， 第二代勾股树中正方形有个， 第三代勾股树中正方形有个， ∴第四代勾股树中正方形有个． 9. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的判定可得，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：A 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且满足，其中． 下列说法： ①当时，满足条件的整式中最多有4项； ②当时，所有满足条件的整式的次数最高次为次； ③当时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的定义和条件，需根据的值和的范围分类讨论满足条件的整式的个数和性质． 【详解】解：当时， ∵为正整数，且满足，其中， ∴项数最多时，， ∴ ，中最多有4项，正确； 当时， ∵为正整数，且满足，其中， ∴次数最高时，项数最多时，，即：， ，次数最高为，错误； ∵为正整数，且满足，其中， ∴当时，，， 当时， 时，； 或 时，； 当时， 时，； 或时，； 或 ， 故满足条件的整式共有个，错误； 综上：正确的个数为个. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式求解． 【详解】解：由题意知，， 解得． 12. 如图，数轴上点表示的数为，以原点为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点，则点表示的数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此结合线段长度求解是解题的关键． 先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：由矩形的性质和折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 15. 一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 【答案】27 【解析】 【分析】先根据正多边形的内角度数求出每个外角的度数，再根据多边形外角和为求出正多边形的边数，最后利用边形对角线条数公式计算即可. 【详解】解：∵一个正边形的每个内角为， ∴每个外角的度数为， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数， ∴这个正多边形所有对角线的条数为． 16. 对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据题干中的计算过程计算即可；由求出，，则，再根据递进数的定义得到，，根据或时分情况讨论，确定的值即可． 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到， ∴这三个新三位数的和为，， ∴； ∵，a，b都是正整数）， ∴， 同理可得， ∴， ∵满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”， m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数）， ∴，， ∴或， ∴当时，，在中找不到正整数使为整数； 当时，，在中，只有当时，为正整数； ∴的最小正整数值为． 三、解答题：（17题，18题每题8分，19题－25题每题10分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，平行四边形中，平分交边于点， （1）尺规作图：作的角平分线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：平行四边形， ______①______ 平分交边于点， （______②_______） ， _____③_____， 同理：，， 四边形是平行四边形（_______④_______） 又 四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）①，②角平分线定义，③，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定定理解答 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：平行四边形， 平分交边于点， （角平分线定义） ， ， 同理：，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又 四边形为菱形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据多项式乘法法则计算整式部分，再计算分式的加减与除法运算，将原式化简为最简形式，最后将代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 2025年重庆“五一”特展展出的西南地区最大恐龙模型长26米，某恐龙馆计划据此设计改造成一款可触摸恐龙模型，为增加稳定性，避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡风险，该模型一条支架与另一条支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）当同学们到恐龙馆参观时，想知道模型中各段支架的长度，容易测量，但不好测量的长，导游小姐姐看到大家的难题，给出了一个有用的信息：支架比长，你能根据导游小姐姐提供的信息验证支架的长度是否真的是吗？请写出你的验证过程． 【答案】（1），理由见解析 （2）是，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和运用，（）根据勾股定理先计算的长，再根据已知条件证得即可． （）设，则，代入到求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴由勾股定理得：， 且， ， ； 【小问2详解】 是． 证明：由（1）可得 ， 设，则， 由勾股定理得： 故： 解得： ∴． 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图，建立平面直角坐标系并画出网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点都是格点，同时想到利用顶点构造矩形，使它的顶点都在格点上，它的边分别经过点，他们借助此图利用图形面积的和差求出了的面积． （1）在图中，所画的的三边长分别是_____，_____，_____，的面积为_____； （2）第二小组的同学发现在正方形网格中非常容易研究几何问题，于是他们又把初一学过的平移搬到了坐标系中，画出向右平移4个单位后得到的，并求出四边形的面积； 【继续探究】 （3）第三小组的同学想到借助曾经阅读的人教版八年级下册数学书17页资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． 请你根据第（1）问中求出的边长选用适当的公式求的面积（写出计算过程）． 【答案】（1），，， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，掌握网格的性质是解题的关键． （1）利用网格的性质和勾股定理即可求解； （2）利用平移的性质可知四边形为平行四边形，从而即可求解； （3）根据（1）代入求解即可． 【小问1详解】 解：利用勾股定理得，，，， 利用网格可知，； 【小问2详解】 解： 根据平移可知，四边形为平行四边形，则面积为； 【小问3详解】 （3）解：将代入海伦公式得，， ； 将其代入秦九韶公式得， ． 22. 阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如． 解答下列问题： （1）计算：； （2）小宇还发现了和上面的题相同的变形规律： 请化简：． （3）若，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简计算，掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化即可求解； （2）利用分母有理化，之后通过加法交换律进行计算即可； （3）利用完全平方公式即可化简，利用分母有理化即可计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：，， ． 23. 如图，三角形区域是一个公园，其中点处有一个烈士陵园，点处是一所中学，清明节到了，学校组织初一年级，初二年级的同学去扫墓，去陵园有两条线路：；．经勘测，点在点的正西方1千米处，点在点的正南方，点在点的北偏西方向，点在点的正南方，点在点的正西方，点在点的北偏东方向6千米处．（参考数据：，） （1）求的长度． （2）由于学生人数多，学校决定两个年级同时出发，但分开走，初一年级选择线路①步行，初二年级选择线路②步行，如果两个年级队列同样长，且行进速度一样，请计算说明哪个年级先到达？ 【答案】（1）4千米 （2）初一年级先到达 【解析】 【分析】（）过作于，构造矩形，得到，，利用直角三角形角的性质解出的长，再用勾股定理求解即可． （）分别计算和的线段长度，再进行比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ，千米， 延长，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，千米， ∴（千米）， ∴（千米） 【小问2详解】 由题意可知： 在中，千米， 千米 千米， 千米，千米， 线路①：千米， 线路 ，且两个年级队列同样长，且行进速度一样 初一年级先到达． 24. 如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． （1）求证：； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． （3）当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）能， （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ． 又， ； 【小问2详解】 解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 25. 正方形中，点E，F分别为，上的动点，连接，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若F为的中点，过D作，垂足为N，交于M，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作于H，交于点G，若正方形的边长为4，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）延长到，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论； （3）延长，相交于点，延长，相交于点，连接，证明，得出，同理得：，证明，说明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理求出，，证明，求出，最后根据等积法，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，垂足为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长，相交于点，延长，相交于点，连接，如图所示： 由是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由是的中点，同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，，， ∴根据勾股定理得：， ， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $