数学（浙江卷02）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 : 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 : % : 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 尽 1 1. 一的相反数是() 2026 .: 1 1 A.一2026 B. C.-2026 D.2026 2026 2.如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为() : C. D : 3.(热点)根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026 年计划完成吞吐量目标4500万标箱.则4500万用科学记数法可表示为() : A.4.5X103 B.4.5×107 C.4.5×106 D.4.5×103 : 4.如图，在平面直角坐标系中，A(3,2),B(6,-2),以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△ : AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B'的坐标是() : : 试题第1页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做树德：就限彩是带 A.(3,-1) B.(12,-4) C.(3,-1)或(-3,1) D.（12,-4)或(-12,4) 5.某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设 该款汽车售价的月平均下降率是x,则下列方程正确的是() A.22(1-x)3=18 B.22(1-x)=18 C.18(1+x)2=22 D.22(1-x)2=18 6.若点A(-1,),B(1,2),C(2,)都在反比例函数y=的图象上，则1,2，的大小关系 是() A.y1<y2<3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<2 7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF 交OB于点M.若OM=1,则BD的长为() y D A.8 B.7 C.6 D.4 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B、 C的对应点分别为点D、E,AD与BC相交于点F,当DE∥AB时，则DF的长是() D C F B 7 A. 15 B.4 C.25 4 D 9.如图，在5X5的正方形方格图形中，点A,B,C,D,E都在格点上，以AB为直径作⊙O,分别连接 BC,BD,DE,BE.有以下结论：①D,E两点都在⊙O上：②tan-BED=:③BC与⊙O相切；④ BD平分∠CBE.结论正确的有() B 0 A.①② B.①③ C.①②③ D.③④ 10.如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB,BC两边运动，运 动到点C时停止，设点P的运动路程为x(0≤x≤17)，DP为y,如图2，y关于x的函数图象与y轴 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁幕 交于点E(0,心)，点M,N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经 过点F(17,b),下列选项正确的是() y个 a2 b2 M 17 图1 图2 A.a=2b B.ab=36 C.+b=13 D.+b2=100 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.计算22-(2+2)的结果为 12.(热点)随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“i“、“腾 讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个A1软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问“的 概率为 13.不等式组 -1>0的解集是 2x+3≥X 14.春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风 里，享受着放风筝的乐趣.如图，己知风筝线AB长50，风筝线与地面夹角∠ABC=37°，风筝线拉 直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为 m.(结果精确到1m,参考数据： sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) B C 15.如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方，已知入射的两条光线AB, CD折射后的两条光线BE,DF相交于点P.若AB∥CD,∠ABE=165°，∠CDF=160°，则∠EPF 的大小为 E 16.如图，在菱形ABCD中，AB=10,simB=号将∠B沿BF折叠，使得点B落在AD边上的点G处.当 CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 ·(结果保留根号) 试题第3页（共6页） G D : : : B 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 32 17.(8分)(1)解分式方程： =二+1：(2)解方程：2x2-5x+3=0. x-2 x .. 兵 18、(8分)在化简(+时，两位同学分别吗出如下第一步运算步骚 涨 小深：原式= X-3 x+3 x2-9 [x+3x-3+x+3x-3]·x+1… 1x2-9,1x2-9 河 小圳：原式=x中3x++x3x+“ (1)小深解法第一步的依据是 一，小圳解法第一步的依据是 样 A.等式的基本性质 B.分式的基本性质 游 .: C.乘法结合律 D.乘法分配律 (2)请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，-3,1，- S .…0 1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值. 为 19.(8分)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=90°，AD∥BC,点E是AC的中点，连接DE S E脚 并延长，交BC于点F. (1)求证：△ADE≌△CFE: (2)求四边形ABFD的面积. 世 A D ..0 B F ..0 试题第4页（共6页) 20.(8分)近年来，随着科技的飞速发展，人工智能(A)逐渐走进人们的日常生活.AI技术己广泛应用 于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同款人工智能软件使 用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考，研究小组从这两款人工智能软件的使用者中 各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示， ·: 共分为四组：A.x<70;B.70≤x<80;C.80≤x<90;D.90≤x≤100)，下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65,70,70,72,80,80,82,83,84,90,92,92,94， 95,95,98,98,100,100,100. B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82,83,84,85,87,88,88. 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 91 121 B款 87 95 b 119.8 % 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a= b= ,= 尽 (2)调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使 : 用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意(x≥90)的共有多少万人次？ B款人工智能软件得分扇形图 .: A5% B O m% D 45% 21.(8分)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点 D (1)若BC=2,求CD的长： : (2)请利用尺规，在AB边上求作点E,使得BE=DE; (不写作法，保留作图痕迹，标明字母) : (3)在(2)的条件下，连接DE,求证：DE与⊙A相切. : ·: 】 o 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做好餐：就限彩是” 22.(10分)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是AB,AD的中点，连接EF 交AC于点G,延长FE与CB的延长线交于点H,且AE=AF. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠H=30°，BH=4,求CG的长 A D H 23.(10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a<0)经过点A(a,m)和点B(-3a,m). (1)求抛物线的对称轴，并用含α的式子表示b: (2)过点C(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点P,交直线y=-x于点O. ①如果a=-2,t=1,求线段P2的长； ②已知点D(什3，)在抛物线上，当n>m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围. 24.(12分)按要求完成下列各题： y 0 0 B D C A 图① 图② 图③ (1)【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是BC上一点（点D不与B,C重合），试探究 AD,BD,CD的关系，小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E,使BD=CE,连接 AE.AD,BD,CD的关系是 (2)【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC,点P在⊙O上，且点P与点 PB B在AC的两侧，连接PA,PB,PC.若PB=2V2PA,求C的值： (3)【应用】如图③，A,C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角 形ABC,∠ACB=90°，连接OB,则OB的最小值为 试题第6页（共6页）2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12 13. 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) D 20.(8分) B款人工智能软件得分扇形图 A5% B m% 45% 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D B 22.(10分) D 内 G 0 H B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) A E B D 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 【答案】A 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 3．根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026年计划完成吞吐量目标4500万标箱．则4500万用科学记数法可表示为（　　） A．4.5×108 B．4.5×107 C．4.5×106 D．4.5×103 【答案】B 【解答】4500万＝45000000=4.5×107． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 【答案】C 【解答】解：∵以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，B（6，﹣2）， ∴点B′的坐标为（6，﹣2）或（6×（），﹣2×（）），即（3，﹣1）或（﹣3，1）， 故选：C． 5．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（　　） A．22（1﹣x）3＝18 B．22（1﹣x）＝18 C．18（1+x）2＝22 D．22（1﹣x）2＝18 【答案】D 【解答】解：由题意可得， 22（1﹣x）2＝18， 故选：D． 6．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】D 【解答】解：由条件可得：y1＝﹣4，y2＝4，y3＝2， ∵﹣4＜2＜4， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M．若OM＝1，则BD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，取BO的中点G，则OG＝BG，连接FG，EG，OE， ∴AO＝OC，BO＝OD， 又∵E为AB的中点，F为OC的中点， ∴AE＝BE，OF＝FC， ∴OE是△ABC的中位线，FG是△BOC的中位线， ∴，OE∥BC，，FG∥BC， ∴OE＝FG，OE∥FG， ∴四边形EOFG是平行四边形， ∴MO＝MG＝1， ∴OB＝2OG＝4OM＝4， ∴BD＝2OB＝8． 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，AD与BC相交于点F，当DE∥AB时，则DF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵△ABC绕点A旋转得到△ADE， ∴∠D＝∠B，AD＝AB＝10， ∵DE平行于AB， ∴∠DAB＝∠D＝∠B， ∴AF＝BF， 设CF＝x， 则AF＝BF＝8﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴AF2＝AC2+CF2， 即（8﹣x）2＝62+x2， 解得：， ∴， 故选：A． 9．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 【答案】C 【解答】解：连接AE，AD，则∠ADB＝90°， ∴点D在以AB为直径的⊙O上， ∵AE2＝12+32＝10，BE2＝12+32＝10，AB2＝42+22＝20， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙O上，故①正确； ∵∠BED＝∠BAD， ∴tan∠BED＝tan∠BAD，故②正确； ∵BC2＝12+22＝5，AB2＝42+22＝20，AC2＝52， ∴BC2+AB2＝AC2＝25， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切，故③正确； ∵∠CBD＝∠BAC＝90°﹣∠ABD，∠BAC＝∠BED， ∴∠CBD＝∠BAC， ∴∠CBD＝∠BED， ∵BD≠ED， ∴∠DBE≠∠BED， ∴∠DBE≠∠CBD，故④错误， 故选：C． 10．如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB，BC两边运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x（0≤x≤17），DP2为y，如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点E（0，a2），点M，N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经过点F（17，b2），下列选项正确的是（　　） A．a＝2b B．ab＝36 C．a+b＝13 D．a2+b2＝100 【答案】B 【解答】解：设AB＝m，BC＝n， 由题意得：AD＝a，CD＝b，m+n＝17， 作DP⊥AB于点P，DP′⊥BC于点P′，则DP＝DP′，BP+BP′＝8，∠APD＝∠DP′C＝90°； ∴四边形PBP′D是边长为4的正方形，∠P′DC+∠C＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠P′DC， ∴△APD∽△DP′C， ∴， ， ∴mn＝68， 根据勾股定理可得：AC2＝AB2+BC2， ∴（a+b）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝289﹣136＝153， ∴a+b＝3， 故C选项错误，不符合题意； 由勾股定理可得：AD2＝AP2+PD2，CD2＝DP2+PC2， ∴a2＝（m﹣4）2+42，b2＝（n﹣4）2+42， ∴a2+b2＝m2+n2﹣8（m+n）+64＝153﹣8×17+64＝81， 故D选项错误，不符合题意； ∵（a+b）2＝153，a2+b2＝81， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝72， ∴ab＝36， 故B选项正确，符合题意． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算2a2﹣（a2+2）的结果为 　 ． 【答案】a2﹣2． 【解答】解：2a2﹣（a2+2） ＝2a2﹣a2﹣2 ＝a2﹣2； 故答案为：a2﹣2． 12．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“Kimi“、“腾讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问“的概率为　　 ． 【答案】 【解答】由题意可知，小赵从“Deepseek”、“豆包”、“Kimi”、“腾讯元宝”、“通义千问”这5个AI软件中随机选择一个．所有可能的结果共有5种，选择“豆包”或“通义千问”这一事件包含的结果有2种．根据概率公式P＝符合条件的结果数÷总结果数，可得所求概率为2÷5＝． 故答案为：． 13．不等式组的解集是 　 ． 【答案】x＞2． 【解答】解：由得：x＞2； 由2x+3≥x得：x≥﹣3； ∴不等式组的解集为：x＞2； 故答案为：x＞2． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长50m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为　 　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【答案】30． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝37°，AB＝50m， ∵sin∠ABC， ∴AC＝AB•sin∠ABC≈50×0.6＝30（m）， 故答案为：30． 15．如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P．若AB∥CD，∠ABE＝165°，∠CDF＝160°，则∠EPF的大小为　 　 ． 【答案】35°． 【解答】解：过点P作PH平行于AB， ∵AB∥PH，AB∥CD， ∴∠ABE+∠BPH＝180°，PH∥CD， ∴∠CDF+∠DPH＝180°． 又∵∠ABE＝165°，∠CDF＝160°， ∴∠BPH＝180°﹣165°＝15°，∠DPH＝180°﹣160°＝20°， ∴∠BPD＝∠BPH+∠DPH＝15°+20°＝35°， ∴∠EPF＝∠BPD＝35°． 故答案为：35°． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　 ．（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：过点G作GT⊥BC于点T，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∴△DCH是直角三角形， ∵四边形ABCD是菱形，且AB＝10， ∴BC＝CD＝AB＝10，AB∥CD，AD∥BC， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣BF， 由折叠性质得：GF＝BF， ∴CF＝10﹣GF， ∴当GF为最小时，CF为最大， 根据“垂线段最短”得：GF≥GT， ∴当点F于点T重合时，GF为最小，最小值为线段GT的长， ∵AB∥CD， ∴∠DCH＝∠B， ∴sin∠DCH＝sin∠B， 在Rt△DCH中，sin∠DCH， ∴DHCD8， ∵AD∥BC， ∴根据“平行线间的距离处处相等”得：GT＝DH＝8， ∴GF为最小8， 此时CF的最大值为：CF＝10﹣GF＝10﹣8＝2， 当CF＝2时，BF＝10﹣CF＝8，GF⊥BC， ∴∠GFB＝90°， 过点E作EK⊥BC于点K，如图2所示： ∴△EKF和△EKB都是直角三角形， 在Rt△EKB中，sinB， 设EK＝4a，EB＝5a， 由勾股定理得：BK3a， 由折叠性质得：∠BFE＝∠GFE∠GFB＝45°， ∴△EKF是等腰直角三角形， ∴FK＝EK＝4a， 由勾股定理得：EF， ∴BF＝BK+FK＝7a＝8， ∴a， ∴EF， ∴当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解分式方程：；（2）解方程：2x2+2x﹣1＝0． 【答案】（1）x＝10． （2）x1，x2． 【解答】（1）解：， 方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x﹣2）， 解得x＝10， 检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝10． （2）解：2x2+2x﹣1＝0， a＝2，b＝2，c＝﹣1， Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， x， 所以x1，x2． 18．（8分）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式 小圳：原式 （1）小深解法第一步的依据是 ，小圳解法第一步的依据是 ． A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）B，D； （2）；1． 【解答】解：（1）由题意得，小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律， 故答案为：B，D； （2）小深：原式 • • ； 小圳：原式 •• ， ∵x﹣3≠0，x+3≠0，x+1≠0， ∴x≠3，﹣3，﹣1， ∴当x＝1时，原式1． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，AD∥BC，点E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）求四边形ABFD的面积． 【答案】（1）∵AD∥BC， ∴∠D＝∠CFE， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）24． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠D＝∠CFE， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）由（1）知，△ADE≌△CFE， ∴S△ADE＝S△CFE， ∴四边形ABFD的面积 ＝四边形ABFE的面积+△ADE的面积 ＝四边形ABFE的面积+△CEF的面积 ＝△ABC的面积 AB•AC 6×8 ＝24． 20．（8分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 【答案】（1）100，88，15； （2）估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次． 【解答】解：（1）∵A款人工智能软件20份问卷调查的得分的20个数据中出现次数最多的是100， ∴a＝100； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据所占百分比为35%， ∴m%＝1﹣5%﹣45%﹣35%＝15%， ∴m＝15； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在A组中的数据有：20×5%＝1（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在B组中的数据有：20×15%＝3（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据有7个， ∴中位数b88， 故答案为：100，88，15； （2）2017.75（万人次）， 答：估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点D． （1）若BC＝2，求CD的长； （2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE＝DE； （不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （3）在（2）的条件下，连接DE，求证：DE与⊙A相切． 【答案】（1）CD＝1； （2）解：如图，点E即为所求； （3）连接DE， ∵∠CAB＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∵DE＝BE， ∴∠B＝∠BDE＝30°， 由（1）可知△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ADE＝90°，即AD⊥DE， ∵AD是半径， ∴DE与⊙A相切． 【解答】（1）解：连接AD， ∵∠CAB＝90°，∠C＝60°，BC＝2， ∴AC＝1， ∵AC＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AC＝1； （2）解：如图，点E即为所求； （3）证明：连接DE， ∵∠CAB＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∵DE＝BE， ∴∠B＝∠BDE＝30°， 由（1）可知△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ADE＝90°，即AD⊥DE， ∵AD是半径， ∴DE与⊙A相切． 22．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 【答案】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵AE＝AF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）6． 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵AE＝AF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵HF∥BD， ∴AC⊥HF， ∴∠CGH＝90°， ∵HF∥BD，DF∥BH， ∴四边形BDFH为平行四边形， ∴DF＝BH＝4， ∴AD＝2DF＝8， ∴BC＝AD＝8， 在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12， ∴CGCH＝6． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）． （1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b； （2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q． ①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长； ②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线x＝﹣a，b＝2a2； （2）①PQ＝10；②﹣1≤a＜0． 【解答】解：（1）将点A（a，m）和点B（﹣3a，m）代入抛物线y＝ax2+bx（a＜0）， 得：， 解得：b＝2a2， ∴抛物线y＝ax2+2a2x， 则抛物线对称轴为：； （2）①由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x， 当a＝﹣2，t＝1时， ∴抛物线y＝ax2+2a2x＝﹣2x2+8x，直线y＝﹣a2x＝﹣4x，C（1，0）， 将x＝1代入抛物线y＝﹣2x2+8x，得：y＝﹣2×12+8×1＝6， ∴P（1，6）， 将x＝1代入直线y＝﹣4x得：y＝﹣4×1＝﹣4， ∴Q（1，﹣4）， ∴PQ＝|6﹣（﹣4）|＝10； ②由题意得，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）图象开口向下， 由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x＝a（x+a）2﹣a3， ∵a＜0， ∴﹣a＞0、﹣a3＞0， 设抛物线y＝ax2+2a2x与直线y＝﹣a2x交于点H， 则， 解得：或， ∵（0，0）为原点坐标， ∴H（﹣3a，a3）， ∵点D（t+3，n）在抛物线上， ∴当n＞m时，a＜t+3＜﹣3a， ∴a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， 设P（t，at2+2a2t）、Q（t，﹣a22t）， ∴PQ＝|at2+2a2t﹣（﹣a2t）|＝|at2+3a2t|， 如图，当t≤0或﹣a≤t≤﹣3a时，线段PQ的长随着t的增大而减小， 分情况讨论： 当t≤0时，由题意得：， ∴﹣1≤a＜0； 当﹣a≤t≤﹣3a时，， ∵a＜0， ∴当时，PQ有最大值， ∵a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， ∴， ∴此不等式组无解； 综上所述，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，a的取值范围为﹣1≤a＜0． 24．（12分）按要求完成下列各题： （1）【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究AD，BD，CD的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E，使BD＝CE，连接AE．AD，BD，CD的关系是 ； （2）【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC．若，求的值； （3）【应用】如图③，A，C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，连接OB，则OB的最小值为　 ． 【答案】（1）AD＝BD+CD； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACD+∠ACE＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵BD＝CE，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠ADB＝∠E＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝CD+CE＝CD+BD， 即AD＝BD+CD， 故答案为：AD＝BD+CD； （2）如图②，延长PC至点E，使CE＝PA，连接BE， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ABCP内接于⊙O， ∴∠BAP＝∠BCE， ∴AB＝BC，PA＝CE， 在△BAP和△BCE中， ， ∴△BAP≌△BCE（SAS）， ∴BP＝BE，∠PBE＝90°，即△PBE是等腰直角三角形， ∴， 设PA＝x， ∵， ∴，则， ∵PE＝PC+CE＝PC+x＝4x， ∴PC＝3x， ∴； （3）如图③，连接OC，将点O绕C逆时针旋转90°得到点O′，连接OB、O′B、OO′、OA， ∵∠ACB＝∠OCO′＝90°， ∴∠ACO＝∠BCO′， 在△ACO和△BCO′中， ， ∴△ACO≌△BCO′， ∴O′B＝OA＝2， ∵OC＝O′C＝2，∠OCO′＝90°， ∴， 由三角形三边关系：， 即OB的最小值为， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B C D D A A C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．a2﹣2 ； 12．； 13．x＞2 ； 14．30 ； 15．35° ； 16． ； 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【解答】（1）解：， 方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x﹣2）， 解得x＝10， 检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝10． （2）解：2x2+2x﹣1＝0， a＝2，b＝2，c＝﹣1， Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， x， 所以x1，x2． 18．（8分） 【解答】解：（1）由题意得，小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律， 故答案为：B，D； （2）小深：原式 • • ； 小圳：原式 •• ， ∵x﹣3≠0，x+3≠0，x+1≠0， ∴x≠3，﹣3，﹣1， ∴当x＝1时，原式1． 19．（8分） 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠D＝∠CFE， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）由（1）知，△ADE≌△CFE， ∴S△ADE＝S△CFE， ∴四边形ABFD的面积 ＝四边形ABFE的面积+△ADE的面积 ＝四边形ABFE的面积+△CEF的面积 ＝△ABC的面积 AB•AC 6×8 ＝24． 20．（8分） 【解答】解：（1）∵A款人工智能软件20份问卷调查的得分的20个数据中出现次数最多的是100， ∴a＝100； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据所占百分比为35%， ∴m%＝1﹣5%﹣45%﹣35%＝15%， ∴m＝15； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在A组中的数据有：20×5%＝1（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在B组中的数据有：20×15%＝3（个）； B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据有7个， ∴中位数b88， 故答案为：100，88，15； （2）2017.75（万人次）， 答：估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次． 21．（8分） 【解答】（1）解：连接AD， ∵∠CAB＝90°，∠C＝60°，BC＝2， ∴AC＝1， ∵AC＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AC＝1； （2）解：如图，点E即为所求； （3）证明：连接DE， ∵∠CAB＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∵DE＝BE， ∴∠B＝∠BDE＝30°， 由（1）可知△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ADE＝90°，即AD⊥DE， ∵AD是半径， ∴DE与⊙A相切． 22．（10分） 【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∵AE＝AF， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵HF∥BD， ∴AC⊥HF， ∴∠CGH＝90°， ∵HF∥BD，DF∥BH， ∴四边形BDFH为平行四边形， ∴DF＝BH＝4， ∴AD＝2DF＝8， ∴BC＝AD＝8， 在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12， ∴CGCH＝6． 23．（10分） 【解答】解：（1）将点A（a，m）和点B（﹣3a，m）代入抛物线y＝ax2+bx（a＜0）， 得：， 解得：b＝2a2， ∴抛物线y＝ax2+2a2x， 则抛物线对称轴为：； （2）①由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x， 当a＝﹣2，t＝1时， ∴抛物线y＝ax2+2a2x＝﹣2x2+8x，直线y＝﹣a2x＝﹣4x，C（1，0）， 将x＝1代入抛物线y＝﹣2x2+8x，得：y＝﹣2×12+8×1＝6， ∴P（1，6）， 将x＝1代入直线y＝﹣4x得：y＝﹣4×1＝﹣4， ∴Q（1，﹣4）， ∴PQ＝|6﹣（﹣4）|＝10； ②由题意得，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）图象开口向下， 由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x＝a（x+a）2﹣a3， ∵a＜0， ∴﹣a＞0、﹣a3＞0， 设抛物线y＝ax2+2a2x与直线y＝﹣a2x交于点H， 则， 解得：或， ∵（0，0）为原点坐标， ∴H（﹣3a，a3）， ∵点D（t+3，n）在抛物线上， ∴当n＞m时，a＜t+3＜﹣3a， ∴a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， 设P（t，at2+2a2t）、Q（t，﹣a22t）， ∴PQ＝|at2+2a2t﹣（﹣a2t）|＝|at2+3a2t|， 如图，当t≤0或﹣a≤t≤﹣3a时，线段PQ的长随着t的增大而减小， 分情况讨论： 当t≤0时，由题意得：， ∴﹣1≤a＜0； 当﹣a≤t≤﹣3a时，， ∵a＜0， ∴当时，PQ有最大值， ∵a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， ∴， ∴此不等式组无解； 综上所述，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，a的取值范围为﹣1≤a＜0． 24．（12分） 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACD+∠ACE＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵BD＝CE，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠ADB＝∠E＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝CD+CE＝CD+BD， 即AD＝BD+CD， 故答案为：AD＝BD+CD； （2）如图②，延长PC至点E，使CE＝PA，连接BE， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ABCP内接于⊙O， ∴∠BAP＝∠BCE， ∴AB＝BC，PA＝CE， 在△BAP和△BCE中， ， ∴△BAP≌△BCE（SAS）， ∴BP＝BE，∠PBE＝90°，即△PBE是等腰直角三角形， ∴， 设PA＝x， ∵， ∴，则， ∵PE＝PC+CE＝PC+x＝4x， ∴PC＝3x， ∴； （3）如图③，连接OC，将点O绕C逆时针旋转90°得到点O′，连接OB、O′B、OO′、OA， ∵∠ACB＝∠OCO′＝90°， ∴∠ACO＝∠BCO′， 在△ACO和△BCO′中， ， ∴△ACO≌△BCO′， ∴O′B＝OA＝2， ∵OC＝O′C＝2，∠OCO′＝90°， ∴， 由三角形三边关系：， 即OB的最小值为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. ________________ 11. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) A D 20.(8分) B款人工智能软件得分扇形图 A5% B m 45% 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D B 22.(10分) A F E H B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D E D C A 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．（热点）根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026年计划完成吞吐量目标4500万标箱．则4500万用科学记数法可表示为（　　） A．4.5×108 B．4.5×107 C．4.5×106 D．4.5×103 4．如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 5．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（　　） A．22（1﹣x）3＝18 B．22（1﹣x）＝18 C．18（1+x）2＝22 D．22（1﹣x）2＝18 6．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M．若OM＝1，则BD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，AD与BC相交于点F，当DE∥AB时，则DF的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 10．如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB，BC两边运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x（0≤x≤17），DP2为y，如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点E（0，a2），点M，N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经过点F（17，b2），下列选项正确的是（　　） A．a＝2b B．ab＝36 C．a+b＝13 D．a2+b2＝100 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算2a2﹣（a2+2）的结果为　 　 ． 12．（热点）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“Kimi“、“腾讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问“的概率为　 　 ． 13．不等式组的解集是　 　 ． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长50m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为　 　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 15．如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P．若AB∥CD，∠ABE＝165°，∠CDF＝160°，则∠EPF的大小为　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　 　 ．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解分式方程：； （2）解方程：2x2+2x﹣1＝0． 18．（8分）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式 小圳：原式 （1）小深解法第一步的依据是　 　 ，小圳解法第一步的依据是　 　 ． A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，AD∥BC，点E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）求四边形ABFD的面积． 20．（8分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 21．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点D． （1）若BC＝2，求CD的长； （2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE＝DE； （不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （3）在（2）的条件下，连接DE，求证：DE与⊙A相切． 22．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）． （1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b； （2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q． ①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长； ②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围． 24．（12分）按要求完成下列各题： （1）【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究AD，BD，CD的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E，使BD＝CE，连接AE．AD，BD，CD的关系是　 　 ； （2）【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC．若，求的值； （3）【应用】如图③，A，C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，连接OB，则OB的最小值为　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（　　） A． B． C．﹣2026 D．2026 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．（热点）根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026年计划完成吞吐量目标4500万标箱．则4500万用科学记数法可表示为（　　） A．4.5×108 B．4.5×107 C．4.5×106 D．4.5×103 4．如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 5．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（　　） A．22（1﹣x）3＝18 B．22（1﹣x）＝18 C．18（1+x）2＝22 D．22（1﹣x）2＝18 6．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M．若OM＝1，则BD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，AD与BC相交于点F，当DE∥AB时，则DF的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 10．如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB，BC两边运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x（0≤x≤17），DP2为y，如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点E（0，a2），点M，N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经过点F（17，b2），下列选项正确的是（　　） A．a＝2b B．ab＝36 C．a+b＝13 D．a2+b2＝100 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算2a2﹣（a2+2）的结果为　 　 ． 12．（热点）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“Kimi“、“腾讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问“的概率为　 　 ． 13．不等式组的解集是　 　 ． 14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长50m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为　 　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 15．如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P．若AB∥CD，∠ABE＝165°，∠CDF＝160°，则∠EPF的大小为　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　 　 ．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解分式方程：；（2）解方程：2x2﹣5x+3＝0． 18．（8分）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式 小圳：原式 （1）小深解法第一步的依据是　 　 ，小圳解法第一步的依据是　 　 ． A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，AD∥BC，点E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）求四边形ABFD的面积． 20．（8分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？ 21．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点D． （1）若BC＝2，求CD的长； （2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE＝DE； （不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （3）在（2）的条件下，连接DE，求证：DE与⊙A相切． 22．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）． （1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b； （2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q． ①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长； ②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围． 24．（12分）按要求完成下列各题： （1）【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究AD，BD，CD的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E，使BD＝CE，连接AE．AD，BD，CD的关系是　 　 ； （2）【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC．若，求的值； （3）【应用】如图③，A，C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，连接OB，则OB的最小值为　 　 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码： 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 11 11. 12. 13. 14 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) D 20.(8分) B款人工智能软件得分扇形图 A5% B m D C % 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) y 22.(10分) A D E H 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E 0 0 BK O B B D A 图① 图② 图③ (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1. 应6的相反数是〈） 1 A.-2026 B. C.-2026 D.2026 2026 2.如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为() B C D 3.(热点)根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026 年计划完成吞吐量目标4500万标箱.则4500万用科学记数法可表示为() A.4.5×108 B.4.5×10 C.4.5×106 D.4.5×103 4.如图，在平面直角坐标系中，A(3,2),B(6,-2),以原点O为位似中心画一个三角形，使它与 △AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B'的坐标是() 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 yA A.(3,-1) B.(12,-4) C.（3,-1)或(-3,1) D.(12,-4)或(-12,4) 5.某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设 该款汽车售价的月平均下降率是x,则下列方程正确的是() A.22(1-x)3=18 B.22（1-x)=18 C.18(1+x)2=22 D.22(1-x)2=18 6.若点A(1,),B(1,),C(2,⅓)都在反比例函数y=是的图象上，则1,2，⅓的大小关系 是() A.y1≤2<3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF 交OB于点M.若OM=1,则BD的长为() D B M A.8 B.7 C.6 D.4 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B、 C的对应点分别为点D、E,AD与BC相交于点F,当DE∥AB时，则DF的长是() D B c. D 9.如图，在5X5的正方形方格图形中，点A,B,C,D,E都在格点上，以AB为直径作⊙O,分别连接 BC,BD,DE,BE.有以下结论：①D,E两点都在⊙0上：②tam∠BED=:③BC与⊙O相切：④BD 平分∠CBE.结论正确的有() 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 0 D A.①② B.①③ C.①②③ D.③④ 10.如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB,BC两边运动，运 动到点C时停止，设点P的运动路程为x(0≤x≤17)，DP2为y,如图2，y关于x的函数图象与y轴 交于点E(0,),点M,N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经 过点F(17,b2),下列选项正确的是() y个 Q2 6 M 17 图1 图2 A.a=2b B.ab=36 C.arb=13 D.a2+b2=100 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.计算22-(a+2)的结果为 l2.(热点)随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“imi“、 “腾讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个A亚软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问 “的概率为 13.不等式组 2-1>0 的解集是 2x+3≥x 14.春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风 里，享受着放风筝的乐趣.如图，己知风筝线AB长50，风筝线与地面夹角∠ABC=37°，风筝线拉直 且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为 .(结果精确到1，参考数据： sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8，tan37°≈0.75) 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B C 15.如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方.已知入射的两条光线AB, CD折射后的两条光线BE,DF相交于点P.若AB∥CD,∠ABE=165°，∠CDF=I60°，则∠EPF的 大小为 A B P E C 16.如图，在菱形ABCD中，AB=10.smB=手，将∠B沿gF折叠，使得点B落在AD边上的点G处，当 CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 (结果保留根号) B 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 3 17.(8分)(1)解分式方程：- 21= 2+x (2)解方程：2x2+2x-1=0. 4/8 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18。《8分)在化简（卓+吉专）时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： X-3 x+3 x2-9】 小深：原式=[+3-++3-·x+ 小圳：照式中+高 (1)小深解法第一步的依据是 ，小圳解法第一步的依据是 A.等式的基本性质 B.分式的基本性质 C.乘法结合律 D.乘法分配律 （2)请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，-3,1，-1” 中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值. 19.(8分)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=90°，AD∥BC,点E是AC的中点，连接DE 并延长，交BC于点F (1)求证：△ADE≌△CFE; (2)求四边形ABFD的面积. A 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分)近年来，随着科技的飞速发展，人工智能(A)逐渐走进人们的日常生活.A1技术已广泛应用 于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同款人工智能软件使 用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考.研究小组从这两款人工智能软件的使用者中 各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共 分为四组：A.x<70;B.70≤x<80:C.80≤x<90:D.90≤x≤100)，下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65,70,70,72,80,80,82,83,84,90,92,92,94， 95,95,98,98,100,100,100 B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82,83,84,85,87,88,88. 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 A款 87 a 91 121 B款 87 95 b 119.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a= ,b= ,= (2)调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用 B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意(x≥90)的共有多少万人次？ B款人工智能软件得分扇形图 A5% B m 45% 618 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(8分)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点 D (1)若BC=2,求CD的长； (2)请利用尺规，在AB边上求作点E,使得BE=DE: (不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (3)在(2)的条件下，连接DE,求证：DE与⊙A相切. D A B 22.(10分)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是AB,AD的中点，连接EF 交AC于点G,延长FE与CB的延长线交于点H,且AE=AF. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠H=30°，BH=4,求CG的长. D 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.（10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx(a<0)经过点A(a,m)和点B(-3a,m). (1)求抛物线的对称轴，并用含α的式子表示b: (2)过点C(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点P,交直线y=-x于点Q. ①如果a=-2,t=1,求线段PQ的长： ②已知点D(t什3，n)在抛物线上，当n>m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围。 24.(12分)按要求完成下列各题： E O B 0 D 图① 图② 图③ (1)【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是BC上一点（点D不与B,C重合），试探 究AD,BD,CD的关系.小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E,使BD=CE,连接 AE.AD,BD,CD的关系是 (2)【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC,点P在⊙O上，且点P与点 B在4C的两侧，连接2A,PB,PC.若PB=2√2PA,求C的值： (3)【应用】如图③，A,C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角 形ABC,∠ACB=90°，连接OB,则OB的最小值为 818