二次函数中线段与参数定值问题复习讲义-2026中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数中线段与参数定值问题复习讲义 二次函数中线段与参数定值问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 坐标化原理 把抛物线上动点、定点全部用含参数坐标表示，将线段长度、距离、斜率都转化为坐标代数式。 1. 定值不变原理 式子化简后消去所有参数，结果与动点位置、参数取值无关，即为定值。 1. 韦达定理整体代换原理 直线与抛物线联立，用韦达定理整体代换两根和、两根积，不解单独横坐标，直接化简线段表达式。 1. 几何转化代数原理 水平/竖直线段直接坐标作差；斜线段用距离公式、弦长公式，转化为代数运算。 二、解题思路 1. 设点：设二次函数解析式、动点坐标、直线方程，引入参数； 1. 联立：直线与抛物线联立，得一元二次方程，写出韦达定理； 1. 表示：用坐标把线段长、线段和差、比值、乘积写成代数式； 1. 化简：借助韦达整体代换，展开整理； 1. 消参：约掉变量与参数，得到常数，即为定值； 1. 验证：特殊位置代入检验定值是否成立。 极简口诀 设点设线联方程，韦达代换不用根； 线段转成坐标式，化简消参得定值。 例题分析 例1．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交抛物线于两点，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图2，在轴右侧直线上有一点（不与点重合），过点作直线交抛物线的图象于，两点（，两点不重合）． ①求的取值范围； ②判断的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 例2．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． (1)求抛物线的函数解析式． (2)抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． (3)点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧)，与轴交于点． (1)点的坐标为_____(用含的代数式表示)； (2)若. ①连接、，是二次函数图象上的一点，且的横坐标大于过点作，垂足为，连接，求点的坐标． ②将二次函数的图象平移后得到二次函数的图象，设与图象的交点为，过点的直线与图象的另一个交点为，与图象的另一个交点为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． (1)求该二次函数的表达式； (2)若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 变式训练 变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 变式2．（25-26九年级下·广东江门·月考）已知抛物线，直线交抛物线于，两点，设，． (1)，是否为定值，如果是定值则求出该值； (2)设直线与轴交于点，求抛物线上的任意一点到点的最小距离； (3)是否为定值，如果是定值则求出该值； (4)证明以线段为直径的圆与直线相切． 变式3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； (3)如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 实战演练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接并延长至点C，使得，平分，且于点H，连接，当点F在抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)如图3，过点F作，交线段上方的抛物线于点G，过点G作于点E，交于点I，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中线段与参数定值问题复习讲义 二次函数中线段与参数定值问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 坐标化原理 把抛物线上动点、定点全部用含参数坐标表示，将线段长度、距离、斜率都转化为坐标代数式。 1. 定值不变原理 式子化简后消去所有参数，结果与动点位置、参数取值无关，即为定值。 1. 韦达定理整体代换原理 直线与抛物线联立，用韦达定理整体代换两根和、两根积，不解单独横坐标，直接化简线段表达式。 1. 几何转化代数原理 水平/竖直线段直接坐标作差；斜线段用距离公式、弦长公式，转化为代数运算。 二、解题思路 1. 设点：设二次函数解析式、动点坐标、直线方程，引入参数； 1. 联立：直线与抛物线联立，得一元二次方程，写出韦达定理； 1. 表示：用坐标把线段长、线段和差、比值、乘积写成代数式； 1. 化简：借助韦达整体代换，展开整理； 1. 消参：约掉变量与参数，得到常数，即为定值； 1. 验证：特殊位置代入检验定值是否成立。 极简口诀 设点设线联方程，韦达代换不用根； 线段转成坐标式，化简消参得定值。 例题分析 例1．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交抛物线于两点，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图2，在轴右侧直线上有一点（不与点重合），过点作直线交抛物线的图象于，两点（，两点不重合）． ①求的取值范围； ②判断的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②是，定值为 【分析】（1）先根据点B的坐标求得直线和抛物线的解析式，然后联立两个解析式即可解答； （2）①先联立直线和直线的解析式，求得，结合点E在y轴的右侧，可知，然后联立直线和抛物线的解析式，结合直线和抛物线有两个交点，即，再考虑点E不与点B重合，综合即可求得c的取值范围； ②先联立直线和抛物线的解析式，利用根与系数的关系得到，，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，利用勾股定理求得，从而得到，进而可知，表示出，同理表示出，代入式子化简即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，把分别代入直线和抛物线， 得；， ∴，， ∴直线；抛物线， 联立， 解得或 ∴； （2）解：①联立， 解得，即， ∵点E在y轴的右侧，即， ∴， 联立， 得， ∵，两点不重合， ∴， ∴ 又∵点不与点重合，即直线不经过点B，且当经过点时，， ∴， ∴综上，c的取值范围为或； ②是，定值为，理由如下， 联立， 得， ∴， 由①得， ∴， 如图，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J， 则，， 令，则，即， ∵，则， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴，即， ∴， 同理， 如图，过点B作直线，交x轴于点L，过点B作轴于点，设交y轴于点M， 设直线的解析式为，代入，则， ∴直线的解析式为，令，则，即， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， 同理， 当点E在点B的左侧时， 则， ， ∴； 当点E在点B的右侧时， 则， ， ∴； 综上，是定值，定值为． 例2．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． (1)求抛物线的函数解析式． (2)抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． (3)点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 【答案】(1) (2)8 (3)，， 【分析】（1）先求得点，设抛物线的解析式为，根据在y轴上的截距为6即可求解； （2）联立与的解析式求得交点坐标，设，则，表示出，利用二次函数的最值即可求解； （3）将点的坐标代入解析式可得，，结合，可得，根据对任意恒成立即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线在y轴上的截距为6，即抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：联立与的解析式得， 解得，， ∴， 设， ∵轴，Q在抛物线上， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为8． （3）解：点与点（，为定值）分别抛物线、上， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，代入上式得， ∴， ∵该式对任意恒成立， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，，． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧)，与轴交于点． (1)点的坐标为_____(用含的代数式表示)； (2)若. ①连接、，是二次函数图象上的一点，且的横坐标大于过点作，垂足为，连接，求点的坐标． ②将二次函数的图象平移后得到二次函数的图象，设与图象的交点为，过点的直线与图象的另一个交点为，与图象的另一个交点为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②长为定值，定值为 【分析】（1）在二次函数解析式中令，计算对应函数值即可得到点的坐标； （2）①先求出二次函数解析式，进而求出与轴的交点、的坐标，作辅助线轴、，利用角的互余推出，结合等腰直角三角形性质得，进一步推出，结合直角判定，设点坐标并表示出、的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解点坐标； ②先联立与的解析式求出交点的坐标，将点坐标代入直线的解析式求出关于的表达式，再分别联立直线与、直线与的解析式，利用韦达定理求出点、的坐标，最后代入平面直角坐标系中两点间的距离公式计算的长度，化简后判断其是否为定值． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， 故答案为：； （2）①解：当时，， 令，解得或， ∵在左侧， ∴，，． 如图，过点作轴，过点作于，则点的纵坐标是 ∵，， ∴． ∵，， ∴， 又轴， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 设，则，． 由，得， 即，化简， 解得(舍去)， 当时，，故． ②解：联立，得， 解得，， 故． ∵直线过， ∴，解得． 联立，得， 由韦达定理得， ∴，； 联立，得， 由韦达定理得， ∴，， ∴， 故线段的长为定值． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．若的面积为6，点P，Q为二次函数图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． (1)求该二次函数的表达式； (2)若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为4 【分析】本题主要考查了待定系数法，对称的性质，几何图形面积的计算方法，等腰三角形的判定及性质，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当时，可求出点，再由的面积为6，可得，即可求解； （2）先过点作轴，作点关于的对称点，连接，由对称和等腰三角形的性质可得，从而判定，，三点共线，再利用待定系数法依次求出直线，直线和直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入得， ， 即， ， 当时，即， 解得，，， ， ． 当时，， ， ． 的面积为6， ， 即， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ， 该二次函数的表达式为． （2）解：是定值． 如图，过点作轴，作点关于的对称点，连接，即垂直平分， ，，， ． ， ， ，，三点共线． 点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ． ， ， 解得，， ． 设直线的解析式为，， 则， 解得， 直线的解析式为， 故联立得， 解得或， 即． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 是定值，该定值为4． 变式训练 变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，的面积为12 (2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3 (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 变式2．（25-26九年级下·广东江门·月考）已知抛物线，直线交抛物线于，两点，设，． (1)，是否为定值，如果是定值则求出该值； (2)设直线与轴交于点，求抛物线上的任意一点到点的最小距离； (3)是否为定值，如果是定值则求出该值； (4)证明以线段为直径的圆与直线相切． 【答案】(1)是定值，， (2)1 (3)是定值，1 (4)见详解 【分析】（1）联立函数解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式求出，利用二次函数求值即可； （3）求出，，推出，结合（1）中结论，进行求解即可； （4）中点坐标公式得到圆心的坐标，进而得到圆心到直线的距离为，求出线段的长，判断与的关系，即可得证． 【详解】（1）解：是定值． 联立：，则，化简得， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵抛物线上的任意一点 ∴ 则 令，则， ∴抛物线上的任意一点到点的最小距离为1； （3）解：是定值， ∵，，且， ∴， 同理：， ∴ ， 由（1）知：， ∴原式， ∴是定值，定值为1； （4）解：∵线段为直径， ∴圆心的坐标为：， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴圆心到直线的距离等于半径， ∴以线段为直径的圆与直线相切． 变式3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； (3)如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在第三象限的点，使为直角三角形； (3)是4，是定值，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）点，，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，据此解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数的关系，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：不存在第三象限的点，使为直角三角形；理由如下， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，，， ①当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ②当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得，， ∵点D在第三象限内的一点， ∴， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ③当，由勾股定理得， 即， 整理得，即， 解得或， ∴不存在点，使； 综上，不存在第三象限的点，使为直角三角形； （3）解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)是定值， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 设的解析式为， 把代入，得为 ， 解得， ∴， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 同法可得的解析式：， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 实战演练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 【答案】(1)①；② (2)定值 【分析】（1）①把代入得，得出代入得出的值； ②根据题意，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （2）根据已知得出，根据抛物线存在最小值得出，进而得出，再分别用表示出，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得， ∴， 把代入， 得； ②， 抛物线， 当时，， ； 如图， 由题意得：， ∴， 时，四边形的面积最大， 把代入得， 四边形面积最大时点的坐标为； （2）解：， ，即， ∵抛物线存在最小值， ，解得（舍）， ， 、为该抛物线上不同的两点， ， ， ， 即为定值． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接并延长至点C，使得，平分，且于点H，连接，当点F在抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)如图3，过点F作，交线段上方的抛物线于点G，过点G作于点E，交于点I，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把A、D的坐标代入求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线．当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为，可求．连接、，利用等腰三角形三线合一的性质以及等边对等角可得出，结合角平分线定义，平行线的判定可得出，则，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点A作于点L，过点F作于点K．根据A、D的坐标可判定出，进而可判定为等腰直角三角形．设，则，由，根据正切的定义可求出，进而求出．又∵中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 将，，代入，得，， 解得：， ∴； （2）解∶ ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为，则，即． 如图，连接、， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点F运动至抛物线的对称轴上时，的面积为； （3）解：如图，过点A作于点L，过点F作于点K． 由题意得，， ∴． ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即为等腰直角三角形． 设，则， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵中，，， ∴， ∴， ∴的值是定值，定值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $