2026届高三数学二轮复习专题突破练习：三角恒等变换

三角恒等变换 【通关练】 一、单项选择题 1.(5分)(2025·江西六校联考)已知sin(α+)=+cos α, 则cos (2α−)=(　　) A.− B. C.− D. 2.(5分)(2025·安庆模拟)已知α∈(0,),sin 2α=cos(−α), 则cos 2α=(　　) A.0 B. C. D.− 3.(5分)已知角θ的大小如图所示,则=(　　) A.−11 B.− C.− D.− 4.(5分)(2025·湖北八市联考)已知cos (α+β)=sin αcos β, tan αtan β=−2,则tan (α+β)=(　　) A.− B. C. D.− 5.(5分)(2025·湖北重点中学联考)若cos α+cos β=,cos (α−β)=−,其中α,β∈(0,π),则sin α+sin β=(　　) A. B. C. D. 【加练备选】 已知sin (3α−β)=msin (α−β),tan (2α−β)=ntan α,则m,n的关系为(　　) A.m=2n B.n= C.n= D.n= 6.(5分)(2025·深州模拟)已知α∈(0,),β∈(0,),且sin 2αcos β= 2cos 2α(1+sin β),则下列结论正确的是(　　) A.2α−β= B.2α+β= C.α+β= D.α−β= 7.(5分)(2025·黑龙江一模)已知7+tan(−β)=0,2tan (α−β)−1=0, 则tan 2α=(　　) A.− B. C. D.− 8.(5分)(2025·滨州模拟)已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是(　　) A.a∈(,1) B.a=1 C.a=1或a= D.a= 二、多项选择题 9.(6分)(2025·海南调研)已知α∈(,π),且cos2α−cos 2α=,则(　　) A.tan α=− B.sin 2α= C.cos 2α= D.tan 2α=− 10.(6分)(2025·正定模拟)已知sin θcos θ+cos2θ=cos θ+,θ∈(0,),则θ等于(　　) A. B. C. D. 11.(6分)(2025·广东名校联考)若α为第一象限角,cos(α−)=, 则(　　) A.sin(−α)=− B.cos(α+)=− C.sin(−α)=− D.tan(−α)=−2 三、填空题 12.(5分)(2025·海口模拟)已知cos (α+2β)=,tan (α+β)·tan β=−4,写出符合条件的一个角α的值为________.  13.(5分)(2025·池州模拟)已知sin β+cos β=,β∈(0,π), 则tan (β+)=__________.  14.(5分)(2025·黑吉辽百万大联考)设α为锐角,则+的最小值为__________,此时tan 2α=__________.  【提分练】 15.(5分)若α,β∈(0,),tan α=mtan β,sin (α−β)=,且α与β存在且唯一,则tan α+mtan β=(　　) A.2 B.4 C. D. 16.(6分)(多选题)(2025·南京模拟)已知f(θ)=cos 4θ+cos 3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点,则(　　) A.∈{θ1,θ2,θ3} B.θ1+θ2+θ3=π C.cos θ1cos θ2cos θ3=− D.cos θ1+cos θ2+cos θ3= 17.(5分)(2025·陕西汉中二模)设tan 是关于x的方程x4+ax3−6x2−4x+1=0的一个实根,其中a为常数,则a=__________.  - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换 【通关练】 一、单项选择题 1.(5分)(2025·江西六校联考)已知sin(α+)=+cos α, 则cos (2α−)=(　　) A.− B. C.− D. 【解析】选B.因为sin (α+)=+cos α, 则sin α+cos α=+cos α,即sin α−cos α=,所以sin(α−)=, 则cos(2α−)=cos 2(α−)=1−2sin2(α−)=1−2×()2=. 2.(5分)(2025·安庆模拟)已知α∈(0,),sin 2α=cos(−α), 则cos 2α=(　　) A.0 B. C. D.− 【解析】选A.因为α∈(0,),所以2α∈(0,π), 所以sin 2α>0. 由sin 2α=cos (−α)化简得sin 2α=sin α+cos α, 两边同时平方得2sin22α=1+sin 2α, 即2sin22α−sin 2α−1=0, 解得sin 2α=1(负根舍去), 又sin22α+cos22α=1,所以cos 2α=0. 3.(5分)已知角θ的大小如图所示,则=(　　) A.−11 B.− C.− D.− 【解析】选D.由题意可得,tan(θ+)==−4⇒tan θ=, 则=.====−. 4.(5分)(2025·湖北八市联考)已知cos (α+β)=sin αcos β, tan αtan β=−2,则tan (α+β)=(　　) A.− B. C. D.− 【解析】选C.由cos (α+β)=sin αcos β, 得cos αcos β−sin αsin β=sin αcos β, 所以1−tan αtan β=tan α, 又因为tan αtan β=−2,所以tan α=3,tan β=−, 所以tan (α+β)===. 5.(5分)(2025·湖北重点中学联考)若cos α+cos β=,cos (α−β)=−,其中α,β∈(0,π),则sin α+sin β=(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.令sin α+sin β=t(t>0)①,因为cos α+cos β=②, 所以由①2+②2, 得2+2cos (α−β)=t2+,又cos (α−β)=−,故t2=,又t>0,所以t=. 【加练备选】 已知sin (3α−β)=msin (α−β),tan (2α−β)=ntan α,则m,n的关系为(　　) A.m=2n B.n= C.n= D.n= 【解析】选D.依题意,sin (3α−β)=sin [(2α−β)+α] =sin (2α−β)cos α+cos (2α−β)sin α,sin (α−β)=sin [(2α−β)−α] =sin (2α−β)cos α−cos (2α−β)sin α, 则sin (2α−β)cos α+cos (2α−β)sin α =msin (2α−β)·cos α−mcos (2α−β)sin α, 即=,即==n. 6.(5分)(2025·深州模拟)已知α∈(0,),β∈(0,),且sin 2αcos β= 2cos 2α(1+sin β),则下列结论正确的是(　　) A.2α−β= B.2α+β= C.α+β= D.α−β= 【解析】选A.由sin 2αcos β=2cos2α(1+sin β), 得2sin αcos αcos β=2cos 2α(1+sin β), 即sin αcos β−cos αsin β=cos α, 即sin (α−β)=cos α=sin (−α),由于α∈(0,),β∈(0,), 所以α−β=−α,2α−β=. 7.(5分)(2025·黑龙江一模)已知7+tan(−β)=0,2tan (α−β)−1=0, 则tan 2α=(　　) A.− B. C. D.− 【解析】选C.由2tan (α−β)−1=0得tan (α−β)=,由7+tan(−β)=0,可得tan β=−,且tan α=tan ===, 故tan 2α===. 8.(5分)(2025·滨州模拟)已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是(　　) A.a∈(,1) B.a=1 C.a=1或a= D.a= 【解析】选D.由sin θ=,cos θ=, 可得sin2θ+cos 2θ=()2+()2=1⇒a=1或a=, 由于θ为第二象限角,所以sin θ=>0,cos θ=<0, 故当a=1时,sin θ==0,不符合要求,则a=符合要求. 二、多项选择题 9.(6分)(2025·海南调研)已知α∈(,π),且cos2α−cos 2α=,则(　　) A.tan α=− B.sin 2α= C.cos 2α= D.tan 2α=− 【解析】选AC.cos2α−cos 2α=cos2α−(cos2α−sin2α)=sin2α=, 因为α∈(,π), 所以sin α=,cos α=−=−, 所以tan α==−,sin 2α=2sin αcos α=−,cos 2α=1−2sin2α=, tan 2α==−. 10.(6分)(2025·正定模拟)已知sin θcos θ+cos2θ=cos θ+,θ∈(0,),则θ等于(　　) A. B. C. D. 【解析】选BD.sin θcos θ+cos2θ=sin 2θ+× =cos(2θ−)+=cos θ+, 故cos(2θ−)=cos θ, 所以2θ−=θ+2kπ或2θ−=−θ+2kπ(k∈Z), 故θ=+2kπ或θ=+(k∈Z). 又θ∈(0,),所以θ=或. 11.(6分)(2025·广东名校联考)若α为第一象限角,cos(α−)=, 则(　　) A.sin(−α)=− B.cos(α+)=− C.sin(−α)=− D.tan(−α)=−2 【解析】选BD.由题意得2kπ<α<+2kπ,k∈Z, 则2kπ−<α−<+2kπ,k∈Z. 若角α−是第四象限角, 则cos(α−)>cos =>, 所以α−是第一象限角, 且sin (α−)=. 对于A,sin (−α)=sin (+−α)=cos(−α)=cos (α−)=,故A错误; 对于B,cos(α+)=cos (α−+π)=−cos (α−)=−,故B正确; 对于C,sin (−α)=sin (+−α)=−cos(−α)=−cos (α−)=−,故C错误; 对于D,tan(−α)=−tan (α−)=−=−2,故D正确. 三、填空题 12.(5分)(2025·海口模拟)已知cos (α+2β)=,tan (α+β)·tan β=−4,写出符合条件的一个角α的值为________.  【解析】由题意,得cos (α+2β)=cos [(α+β)+β]=cos (α+β)cos β− sin (α+β)sin β=.又tan (α+β)·tan β=−4,即=−4, 故sin (α+β)sin β=−4cos (α+β)cos β, 故5cos (α+β)cos β=,即cos (α+β)cos β=, 则sin (α+β)sin β=−. 所以cos α=cos [(α+β)−β]=cos (α+β)cos β+sin (α+β)sin β==−,可取α=. 答案:(答案不唯一) 13.(5分)(2025·池州模拟)已知sin β+cos β=,β∈(0,π), 则tan (β+)=__________.  【解析】因为sin β+cos β=,β∈(0,π), 故sin2β+cos2β+2sin βcos β=, 故2sin βcos β=−<0, 而β∈(0,π),故β∈(,π), 故sin β>0,cos β<0, 而(sin β−cos β)2=, 故sin β−cos β=, 所以sin β=,cos β=−,故tan β=−, 故tan (β+)==−. 答案:− 14.(5分)(2025·黑吉辽百万大联考)设α为锐角,则+的最小值为__________,此时tan 2α=__________.  【解析】+=(sin2α+cos2α)(+) =101++≥101+2=121, 当且仅当=,即tan2α=, 即tan α=(α为锐角)时,等号成立,所以+的最小值为121. 此时tan 2α==. 答案:121　 【提分练】 15.(5分)若α,β∈(0,),tan α=mtan β,sin (α−β)=,且α与β存在且唯一,则tan α+mtan β=(　　) A.2 B.4 C. D. 【解析】选B.由tan α=mtan β,得=,即sin αcos β=mcos αsin β,所以sin (α−β)=sin αcos β−cos αsin β=(m−1)cos αsin β=.结合α,β∈(0,)可得m>1,所以cos αsin β=,sin αcos β=mcos αsin β=,所以sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=>0.因为α,β∈(0,),所以α+β∈(0,π),满足条件的α与β存在且唯一,所以α+β唯一,若 sin (α+β)=<1,则α+β有两解,此情况不符合题意.所以 sin (α+β)==1,解得m=4,经检验符合题意,所以tan α=4tan β. 因为α,β∈(0,),所以α>β,所以cos (α−β)==, 则tan (α−β)===,解得tan β=,tan α=2, 所以tan α+mtan β=4. 16.(6分)(多选题)(2025·南京模拟)已知f(θ)=cos 4θ+cos 3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)内的三个不同零点,则(　　) A.∈{θ1,θ2,θ3} B.θ1+θ2+θ3=π C.cos θ1cos θ2cos θ3=− D.cos θ1+cos θ2+cos θ3= 【解析】选ACD.对于A,B,由f(θ)=0得cos 4θ=−cos 3θ=cos (π−3θ), 所以4θ=2kπ±(π−3θ),k∈Z, 得θ=π,k∈Z或θ=2kπ−π,k∈Z. 因为θ∈(0,π),所以θ=或或,故A正确,B错误. cos θ1cos θ2cos θ3=cos cos cos =cos cos cos =====−,故C正确. cos θ1+cos θ2+cos θ3=cos +cos +cos == ==,故D正确. 17.(5分)(2025·陕西汉中二模)设tan 是关于x的方程x4+ax3−6x2−4x+1=0的一个实根,其中a为常数,则a=__________.  【解析】设tan =t, 则tan =tan (2×)=, tan =tan (2×)==1, 整理得t4+4t3−6t2−4t+1=0, 而t=tan 是关于x的方程 x4+ax3−6x2−4x+1=0的实根,所以a=4. 答案:4 - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $