精品解析：黑龙江龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025~2026学年度高二年级第二学期期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 2. 某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，所以. 3. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得数列是等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由，知数列是等差数列，公差， 又，所以，故A正确. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将求导得， 取，代入得，解得. 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 3040 D. 6076 【答案】B 【解析】 【分析】由通项公式确定为定值，即可求解. 【详解】由题知 所以，所以 . 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 7. 已知数列是首项和公比均为4的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前40项的和（ ） A. 1399 B. 1464 C. 1468 D. 1486 【答案】A 【解析】 【分析】确定前5项共插入多少项，进而可求解. 【详解】因为， 由题意前5项共插入项 则数列的前40项和. 8. 已知关于的方程有实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程实根代入原式，把点转化为在对应定直线上，利用原点到该直线的距离作为的最小值，换元构造函数求导分析单调性得到最小值e，进而推出，最后验证取等条件求出对应的值. 【详解】设方程的实数根为. 则，即. 设点，则点在以为变量的直线上. 点到直线的距离. 设，则. 当时，0；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 所以，则. 当时，，由解得此时； 由解得此时. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列中，，则（ ） A. B. 公比 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列，且公比为4 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题知，解得，故B错误； 所以，故A正确， ，则，故， 数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 因为，所以，所以，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，故D正确. 10. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 11. 已知等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A. 公差 B. C. 当时，的最小值为57 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意， ，可得， ，，再结合等差数列的通项公式、前项和公式及性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 又为等差数列，设公差为，则 ， 所以 ， 若，由，得，则 ，不符合题意，所以，故A错误； 由A选项可知，所以，由 ，得 ，，故B正确； 由B选项，可知，若，则， 由，得，则当时，； 由，则，则当 时，，所以当时，的最小值为57，故C正确； 由 ， 则 ， 所以，故D正确. 综上所述，选项BCD正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则__________． 【答案】7 【解析】 【详解】因为为等差数列， 则，解得， 因为，故． 13. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义求曲线上过点的切线方程，再求曲线过点的切线方程，结合条件列方程，由此可得结论. 【详解】设曲线上的切点为，因为， 所以直线为，即. 设曲线上的切点为， 因为，所以直线为，即， 所以，解得， 所以， 所以在轴上的截距为. 14. 若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据得，代入化简得，再设函数，利用导数分析函数的单调性，可求其最小值. 【详解】设正项递增等比数列的公比为，由， 得， 由等比数列的性质可得 . 令，则， 令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得极小值，同时也是最小值， ，即的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为28，最小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得出函数单调性计算出极值并比较大小，可求得最值； （2）根据（1）中结论并结合其单调性以及零点个数可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题知. 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因此分别在和处取得极大值和极小值， 又， 所以函数在上的最大值为28，最小值为. 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，； 在上单调递减，；在上单调递增，， 所以要使在上有两个零点，只需或， 即实数的取值范围为. 16. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. （1）求和的通项公式； （2）记，求的前项和及的最小值. 【答案】（1）， （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列定义由已知条件列方程，解得公差、公比及首项即可写出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得，通过分析的单调性求得的最小值. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 由题知，解得，则， 所以； 由题知，解得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， . 当时， 易知为递增数列， 当时，，即； 当时，，即； 所以， 即当时，取得最小值. 17. 已知函数 在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由题可得，然后根据极值的概念即得； (2)由 ，构造辅助函数 ，问题转化为恒成立，求导分析单调性，利用经典不等式简化，分类讨论 m的取值范围. 【小问1详解】 由题知的定义域为. 因为是的极值点，所以，解得，此时. 由，得；由，得或， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 故是极值点，符合题意， 所以. 【小问2详解】 法一：由（1）知 . 由，得 . 令，则 . 令 ，则 . 令，得. 当时，单调递增；当时，单调递减. 因此在处取得极小值，同时也是最小值，且. 故对恒成立，即，同理也可得. 令，则 ， 所以，即在上单调递增，从而 . 当，即时，，则在上单调递增，从而，此时符合题意； 当，即时，. 设，则 . 令，则 ，则即在上单调递增. 所以 ，从而在上单调递增. 所以 ，故. 又 ， 由零点存在定理及在上单调递增可知存在唯一的，使得， 所以当时，在上单调递减，从而，此时不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 法二：当时，不等式恒成立， 当时，由 . 易证，所以 ， 令 ，当, .又 ， 故下界为2，所以. 18. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【小问1详解】 当时，， 而满足上式， 所以. 【小问2详解】 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ， 故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. 【小问3详解】 证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二年级第二学期期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 2. 某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 3040 D. 6076 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是首项和公比均为4的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前40项的和（ ） A. 1399 B. 1464 C. 1468 D. 1486 8. 已知关于的方程有实数根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列中，，则（ ） A. B. 公比 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列，且公比为4 10. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 已知等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A. 公差 B. C. 当时，的最小值为57 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则__________． 13. 已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 14. 若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 16. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. （1）求和的通项公式； （2）记，求的前项和及的最小值. 17. 已知函数 在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为，求证：. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $