精品解析：河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年高一年级第二学期 期中考试 数学试卷 考试范围：人教A版《数学必修第二册》第六章-第八章（8.5）；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 4. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 8. 如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是 （1）实数； （2）纯虚数. 16. 已知向量，O为坐标原点. （1）若，求实数k的值； （2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值. 17. 如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体. （1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小； （2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积. 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若的面积为，求的值． 19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第二学期 期中考试 数学试卷 考试范围：人教A版《数学必修第二册》第六章-第八章（8.5）；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 3. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 4. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】. 5. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为正方形的边长为1， 所以，， 将直观图还原为原图形，如图： 由直观图的作法可知，中，，， 所以，， 所以原图形的周长是. 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 8. 如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为2的正三角形，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与全等，绕PO折叠至，由点A到PC的距离求解. 【详解】因为棱锥是正四棱锥，且为底面中心， 所以与全等， 将绕PO折叠至， 因为折叠前后EF的长度不变， 所以的最小值即为点A到PC的距离， 又因为是边长为2的正三角形， ， 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可. 【详解】对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确. 对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误. 对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确. 对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确. 故选：ACD. 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数（a，），由可得，. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D：， 因为，当时，的最大值为，正确. 11. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案. 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 13. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 【答案】6 【解析】 【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解. 【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC的面积为S，则S梯形S， 水的体积V水S×AA1＝6S， 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h， 则有V水＝Sh＝6S，得h＝6， 即当底面ABC水平放置时，液面高为6． 故答案为：6． 14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则 ， 则， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是 （1）实数； （2）纯虚数. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】依据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】解：（1）当复数是实数时，只需，即或； （2）当复数是纯虚数时，，解得：. 16. 已知向量，O为坐标原点. （1）若，求实数k的值； （2）在（1）的条件下，求向量与的夹角余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算法则以及向量垂直的坐标表示求解； （2）根据向量的运算法则以及向量的夹角计算求解. 【小问1详解】 由已知得 ， ， ∵， ∴，，∴. 【小问2详解】 ∵ ∴， 设向量与的夹角为， ∵ ， ∴ ， ， ， 17. 如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体. （1）求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小； （2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出空心球的半径，即可得答案； （2）旋转一周后得到的组合体为一个圆锥中挖去一个球，由此可求答案. 【小问1详解】 连接OM，则， 设，， 在中，， ∴. 【小问2详解】 ∵，，，∴， ∴. 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得，即， 由余弦定理得，又， 所以. 【小问2详解】 依题意，，即， 由正弦定理得，而， 则，解得，由正弦定理得， 所以. 19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； 【小问2详解】 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. 【小问3详解】 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $