第8章 四边形 单元卷 2025—2026学年青岛版数学八年级数学下册

第8章 四边形 单元卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 【答案】B 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（ ） A. BC∥AD B. BC=AD C. AB=CD D. ∠A+∠B=180° 【答案】B 【详解】解： 根据平行四边形的判定， A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； C、AB∥CD，AB=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形； D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形； B、添加BC=AD，则不能判定是平行四边形． 3、如图，是▱ABCD边上一点，，连接并延长交的延长线于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B=∠D， ∴∠1=∠F=70°． ∵AB=BE， ∴∠1=∠3=70°， ∴∠B=40°， ∴∠D=40°． 4、如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2．5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， 5、下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【答案】A 【详解】解： A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； 6、如图，矩形中，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°，OC=OD， ∵∠DCE=4∠ECB， ∴∠DCE=×90°=72°， ∴∠ECB=18° ∴∠EBC=∠ACB=90°-∠ECB=72° ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=72°-18°=54°． 7、如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴． 8、如图，已知▱ABCD的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【详解】解： A、邻边相等的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原结论正确，不符合题意，选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原结论不一定正确，符合题意，选项正确， 9、如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=5，AB=CD=3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设CE=x，则DE=EF=3-x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2， ∴x2+12=（3-x）2， 解得x=， ∴DE=3-x=， 10、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【详解】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC， ∴PF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2， ∴PD＝DF ∴PD=． 故①错误； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， 又∵PE=CE ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8， 故②正确； ③如图1 延长FP交AB于G，延长AP交EF于H， ∵正方形ABCD ∴CD∥AB 又∵PF⊥于CD ∴∠AGP=90°； 由②的判断过程知四边形PECF是矩形， ∴∠EPF=90° ∴∠AGP=∠EPF； 由的判断过程知PF=DF， 又∵AG=DF ∴AG=PF 容易得到四边形BGPE是正方形， ∴PG=PE ∴△AGP≌△FPE ∴∠BAP=∠PFE 又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余 ∴∠FPH与∠PFE互余 ∴∠PHF=90°即AP⊥EF 故③正确； ④由③的判断过程知，△AGP≌△FPE ∴AP=EF 故④正确； ⑤如图2 当P运动到AP和BD垂直的位置时，AP最小； 又由④知P沿BD运动的过程中，AP恒等于EF， ∴当P到时，EF最小，且最小值是A 由图易知 ∴EF的最小值为．故⑤错误． 综上讨论知只有②③④正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、 在▱ABCD中，若，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， 在▱ABCD中，，，， ∴，， ∴， 12、如图，▱ABCD的对角线，相交于点，且，，，则▱ABCD的面积为______. 【答案】120 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC＝5，OB＝BD＝13， ∵AB＝12， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝12×10＝120； 13、如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 【答案】4 【详解】解：在矩形中，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 14、 如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=40°， ∴∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC， ∴∠DOA=90°， ∴∠ADO=90°-∠DAO=70°， ∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， ∵DO=BO， ∴OE=BD=OD， ∴∠OED=∠ODE=20°， 15、如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是． 16、如图，在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是______个． 【答案】 【详解】∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 同理：， ∴， ∴全等三角形有对， ∴①不正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴②正确； ∵， ∴四边形的面积为：， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共个． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC． (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）四边形ABCF是平行四边形． 【详解】解：（1）如图所示： （2）四边形ABCF是平行四边形． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB． 由作图可知∠DAC＝2∠FAC， ∴∠ACB＝∠FAC． ∴AF∥BC． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE． 在△AEF和△CEB中, ∠FAE=∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴AF＝BC． 又∵AF∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形． 18、已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【小问1详解】 证明：连接、，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ， 【小问2详解】 ，， ， 四边形是平行四边形． 19、已知如图：平行四边形ABCD，它在平面直角坐标系的位置如图所示，AD=6，AB=8，点B、D均在坐标轴上，点A的坐标为（-3，0），求B、C、D各点的坐标． 【答案】B(5，0)，C(8，3)，D（0，3） 【详解】解：∵点A的坐标为（-3，0）， ∴AO=3， 在Rt△ADO中，AD=6，AO=3，∠AOD=90°， ∴， ∴D(0，3)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=8， ∴B(5，0)，C(8，3)，D（0，3）． 20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE． ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD． 在△AFE和△DBE中， ∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE， ∴△AFE≌△DBE（AAS） ∴AF=BD． ∴AF=DC． （2）四边形ADCF是菱形，证明如下： ∵AF∥BC，AF=DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD=DC． ∴平行四边形ADCF是菱形． 21、已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， ∴AB=AF． （2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形ACDF是矩形． 22、如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE， ∴BC=CE； （2）由（1）知：四边形ACED是平行四边形， ∴DF=CF=AB，EF=AF， ∵AD=2CF， ∴AB=AD， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ∵AD∥EC， ∴ ∴四边形ABCD是正方形． 23、 如图，中，O为上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线，直线l与的平分线相交于点E，与的平分线相交于点F． （1）吗？为什么？ （2）点O在何处时，四边形为矩形？为什么？ （3）满足什么条件时，（2）中的四边形是正方形． 【答案】（1），见解析 （2）O在的中点上时，四边形是矩形，见解析 （3）当满足时，矩形是正方形 【小问1详解】 理由是：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； 【小问2详解】 O在的中点上时，四边形是矩形， 理由是：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【小问3详解】 当满足时，矩形正方形， 理由是：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． 24、解答下列各题． (1)特例探究： 如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2) 一般探究： 如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3) 实际应用： 如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）解： 如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：如图，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ． ，． ． 又， ． ． 又，， ≌． ， ∴． （3）解：如图，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 单元卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（ ） A. BC∥AD B. BC=AD C. AB=CD D. ∠A+∠B=180° 3、如图，是▱ABCD边上一点，，连接并延长交的延长线于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4、如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2．5 B. 3 C. 4 D. 5 5、下列命题中，错误的是（     ） A．一组对边平行的四边形是梯形； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 6、如图，矩形中，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7、如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8、如图，已知▱ABCD的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形 9、如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处．若AB=3，BC=5，则DE的长为（ ） A B. C. D. 10、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　） A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、 在▱ABCD中，若，则__________． 12、如图，▱ABCD的对角线，相交于点，且，，，则▱ABCD的面积为______. 13、如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 14、 如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 15、如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 16、如图，在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的个数是______个． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点. (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法). ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； ③连接FC． (2)猜想与证明：猜想四边形ABCF的形状，并说明理由. 18、已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 19、已知如图：平行四边形ABCD，它在平面直角坐标系的位置如图所示，AD=6，AB=8，点B、D均在坐标轴上，点A的坐标为（-3，0），求B、C、D各点的坐标． 20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 21、已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 22、如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 23、 如图，中，O为上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线，直线l与的平分线相交于点E，与的平分线相交于点F． （1）吗？为什么？ （2）点O在何处时，四边形为矩形？为什么？ （3）满足什么条件时，（2）中的四边形是正方形． 24、解答下列各题． (1)特例探究： 如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2) 一般探究： 如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3) 实际应用： 如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $