第8章 四边形（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．点E、F分别是，的中点，且，则的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，先判断出是的中位线，求出的长度，再根据矩形性质得到从而求出结果 【完整解答】解：点E、F是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形为矩形， ， 故选：D 2．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【完整解答】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 3．如图，在周长为的中，，交于点O，交于点E，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【完整解答】解：根据平行四边形的性质得： ， 为的垂直平分线， ， 的周长 故选：D． 4．在中，、相交于点O，，，，，则的周长、的度数依次是（   ） A．38， B．28， C．19， D．24， 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质． 画出图形，根据平行四边形的性质得到，，，，可知，，进而得到，根据三角形内角和计算即可． 【完整解答】如图， ∵， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，中点四边形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理．利用三角形中位线定理得到，，最后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，识别出图中的所有平行四边形． 【完整解答】解：如图，设与、的交点为、，与、的交点为、， ，，，分别是，，，的中点， ，， 图中的平行四边形有：四边形，四边形、四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，共个． 故选：D． 6．在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行得出内错角相等，结合角平分线性质得到等腰三角形，进而求出的长度，再根据平行四边形对边相等确定的长． 由作图步骤确定是的角平分线；利用平行四边形的性质，得，结合角平分线得，故为等腰三角形，；根据及，算出；由平行四边形对边相等，得． 【完整解答】解：由作图步骤①②③可知，平分，即． ∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形对边平行且相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴， ∴（等角对等边）． 已知，且点E在上， ∴． ∵（平行四边形对边相等）， ∴． 故选：D． 7．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【完整解答】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 8．如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用本题重点考查​中点四边形的性质和中位线定理​，​熟练运用中位线定理推导边之间的平行关系，并利用垂直条件判断矩形是解题的关键​． 由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【完整解答】解：当时，四边形是矩形， ∵点分别是的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， 故选：A． 9．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 10．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【完整解答】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 12．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【完整解答】解： 、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 13．如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则 ．    【答案】 【思路引导】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质． 连接，，求出，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，因此，由三角形外角的性质推出，同理，得到，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【完整解答】：如图，连接，，     ， ， ，是中点， ， ， ， ， 同理：，， ，（）， ， 是等腰直角三角形， 是中点， ． 故答案为：． 14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【完整解答】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【思路引导】当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【完整解答】解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【考点再现】此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【完整解答】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 17．（本题8分）如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【思路引导】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【完整解答】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 18．（本题8分）如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积． 【完整解答】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ． ． ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ，． 在中，由勾股定理得：． ． ， ． 19．（本题9分）定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 【答案】(1)④ (2)见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“等直四边形”的定义是解此题的关键． （1）根据“等直四边形”的定义并结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项分析即可得解； （2）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再结合三角形内角和定理证明出，即可得证． 【完整解答】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故不符合题意； ②矩形的对角线相等但不一定垂直，故不符合题意； ③菱形的对角线垂直但不一定相等，故不符合题意； ④正方形的对角线相等且互相垂直，故符合题意； 故答案为：④； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是“等直四边形”． 20．（本题8分）如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行四边形、菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识． （1）通过角的等量关系证明边相等，进而判定四边形为菱形； （2）依据菱形性质、直角三角形性质和勾股定理求出相关线段长度，再根据菱形面积公式求解CE的长． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）由（1）可知，四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 21．（本题10分）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程： 【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由： 【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______． 【答案】【推理证明】见解析；【探究问题】四边形为菱形，证明见解析；【拓展思考】 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形、矩形及菱形的判定． [推理证明]：依据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明． [探究问题]：结合题意四边形为平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． [拓展思考]：连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，，，利用外角定理设未知数、，列出方程即求出，即可得出答案． 【完整解答】解：[推理证明]∵点是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴为矩形， ∴， [探究问题] 四边形是菱形． 理由：，， 四边形是平行四边形， ， ， 又，为的中线，，为的中线 四边形为菱形． 拓展思考 连接，如图， ，点是的中点， ， ，，， 设，， ，， 故答案为：． 22．（本题12分）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【思路引导】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【完整解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【考点再现】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 23．（本题12分）【课本再现】（）如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）①是等腰三角形，理由见解析；②见解析；（3）． 【思路引导】（1）设的中点，连接，根据，得是等边三角形，则，由此可得出与的数量关系； （2）①设的中点，连接，证明和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此可判定的形状∶②设，则，根据，得，进而根据是等腰三角形，，由此即可得出结论； （3）作的垂直平分线，垂足为，过点作于，由知点在直线上运动时，点在上运动，根据“垂线段最短"得点到上所有点的距离中，为最短，因此点和点重合时，为最小，最小距离是线段比的长，然后求出的长即可得出答案． 【完整解答】解：（1）与的数量关系是∶，证明如下∶ 设的中点，连接，如图所示， 在中，∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）①是等腰三角形，理由如下： 设的中点，连接，，如图2所示， 由(1)知∶是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ②证明∶设， ∵ ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， 由①知∶是等腰三角形， ∴， ∴， 即； （3）作的垂直平分线，垂足为，连接，过 点作于，如图所示， 由①知∶点在直线上运动时，点在上运动， 根据“垂线段最短”∶点到上所有点的距离中为最短， ∴点和点重合时，为最小，最小距离是线段的长， 由知∶是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴点到点的最小距离． 【考点再现】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，理解直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等角形，并得出点在线段的垂直平分线上运动是解决问题的难点． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 5 6 7 8 9 10 D C D D D D B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.26° 12.1313.5 14.24 15.号或得 三、解答题（共8小题，共75分) 16.(本题8分)证明：：FM‖BE,EM‖BA, :四边形FBEM是平行四边形， ·FB=ME, :CF是△ABC中AB边上的中线， AF=FB=ME, :EM‖AF, :四边形AFEM是平行四边形， AM‖FE, :BE是△ABC中AC边上的中线， :FE为△ABC的中位线， ·FEBC, ÷AM‖BC. 17.(本题8分)(1)解：四边形DECF是平行四边形，理由如下： :点D,E分别是AC,AB的中点， ·DE是△ABC的中位线， .DEBC,即DECF, 又，CF=DE, 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .四边形DECF是平行四边形 (2)解：点D是AC的中点，AC=12, ∴.CD=AC=6, :∠ACB=90·,DEBC, ∴.∠CDE=180°-∠ACB=90°，即CD⊥DE, ∴S四边形DEcF=DE·CD=4×6=24. 18.(本题8分)(1)证明：：C0=A0,D0=B0, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,四边形AEBO是矩形， ·∠A0B=90o. ·BD⊥AC ∴.四边形ABCD是菱形； (2)解：，四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形， :AB=BC=0E=15,0C=AC=12. 在Rt△B0C中，由勾股定理得：OB=VBC2-OC=9. BD=20B=2×9=18. :AC=24, S装形ABm=AC·BD=×18×24=216. 19.(本题9分)(1)解：①平行四边形的对角线不一定相等，故不符合题意； ②矩形的对角线相等但不一定垂直，故不符合题意； ③菱形的对角线垂直但不一定相等，故不符合题意； ④正方形的对角线相等且互相垂直，故符合题意； 故答案为：④； (2)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=CD,∠ABC=∠C=90°， .CE=DF, :.BC-CE=CD-DF, ∴.BE=CF, 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ABE和△BCF中， AB=BC ∠ABE=∠C BE=CF .△ABE≌△BCF(SAS), ·AE=BF,∠BAE=∠CBF, ∠ABF+∠CBF=90°， ∴.∠ABF+∠BAE=90°， ∠AMB=180°-（∠ABF+∠BAE)=90°，即AE⊥BF, ∴.四边形ABEF是“等直四边形” 20.(本题8分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·AB‖CD, ·∠BAC=∠DCA, :AC平分∠BAD, ·∠BAC=∠DAC, ·∠DCA=∠DAC, ·AD=CD, ·平行四边形ABCD是菱形； (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形， :.0A=OC=AC,BD=20B=6,AB=BC.ACL BD. ÷∠B0C=90°， :CE⊥AB, ÷∠CEA=90°， ·AC=20E=8, .0C=AC=4, :AB=BC=V0B2+0C=V32+4Z=5, :S菱形ABD=AB·CE=青AC·BD=专×8×6=24， “CB=学， :BE=VBc2-cB2=52-(号)2-， 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即BE的长为好： 21.(本题10分)解：[推理证明]，点0是AC边的中点， .0A=0C, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,'∠ABC=90o ☐ABCD为矩形， ∴.AC=BD=2OB, 0B=青AC [探究问题] 四边形BDFG是菱形 理由：：AG‖BD,BD=FG, ·四边形BDFG是平行四边形， :CE⊥BD, :CE⊥AG, 又：∠ABC=90°，BD为AC的中线，∠AFC=90°，BD为AC的中线 BD=DF=克AC, ·四边形BDFG为菱形. [拓展思考] 连接CE,如图， 2C> 4E :∠BAD=∠BCD=90°，点E是BD的中点， ·AE=BE=DE=CE, ·∠2=∠3，∠1=∠CDB,∠CAE=∠ACE=25°， 设∠2=∠3=x,∠1=∠CDB=y, ·∠4=2y,∠AEB=2x 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x+2y=180°-25°-25°=130°， ·∠ADC=X+y=∠ADB+∠BDC=65° 故答案为：65°. 22.(本题12分)解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ·AD=BC,AD‖BC, ÷∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC, ·△OAD≌△OCB(ASA), ·OA=OC,OB=OD. (2)如图所示，过点B作BH‖AE交DE于点H,连接PH,CH, H :∠DBH=∠BAC=60°. AB=CE,AC=BD, ·AB十BD=AC十CE,即AD=AE, ·△ADE是等边三角形， ÷∠D=60°，DE=DA, :△DBH是等边三角形， ·BH=BD=DH, :BH=AC. 又：BH‖AC, ·四边形ABHC是平行四边形. :P为BC的中点， ·A,P,H三点在一条直线上， ·AH=2AP. 在△ADH和△EDB中， (AD=ED ∠D=∠D DH-DB ·△ADH≌△EDB(SAS), ÷BE=AH, 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷BE=2AP. 23.(本题12分)解：(1)BC与AB的数量关系是：BC=号AB,证明如下： 设AB的中点D,连接CD,如图1所示， D B 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， .∠B=60°， D是AB的中点， ∴.CD=AD=BD=AB, .△BCD是等边三角形， .CD=BC=BD .BC=克AB; (2)①△AEP是等腰三角形，理由如下： 设AB的中点D,连接CD,ED,如图2所示， E 图2 由(1)知：△BCD是等边三角形 .BD=BC,∠DBC=60o, ·△BPE是等边三角形， ∴.EB=PB=EP,∠EBP=60o 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠EBP=∠DBC=60o, ∴·∠EBD+∠ABP=∠ABP+∠PBC .∠EBD=∠PBC 在△EBD和△PBC中 EB-PB ∠EBD=∠PBC BD=BC ∴.△EBD≌△PBC(SAS), ∴.∠EDB=∠ACB=90°， .ED⊥AB, 又：点D是AB的中点， ∴.DE是线段AB的垂直平分线 ·EA=EB ·EA=EP ∴.△EAP是等腰三角形 ②证明：设∠ABP=《, .'∠EBP=60o .∠EBA=∠EBP-∠ABP=60°-， .EA-=EB ∠EAB=∠EBA=60°-， ,∠BAC=30°， ∴.∠EAP=∠EAB+∠BAC=90°-， 由（②①知：△EAP是等腰三角形， ∴.∠EPA=∠EAP=90°-， .∠AEP=180°-2LEAP=180-2(90°-=2au, 即∠AEP=2∠ABP: (3)作AB的垂直平分线MN,垂足为D,连接CD,过 点C作CH⊥MN于H,如图3所示， 7/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M、E D> P H --N B 图3 由（②）①知：点P在直线AC上运动时，点E在MN上运动， 根据“垂线段最短”DE:点C到MN上所有点的距离中CM为最短， ∴点E和点H重合时，CE为最小，最小距离是线段CH的长， 由(1)知：△BCD是等边三角形 ∴.CD=BC=2,∠CDB=60o 'MN⊥AB, ∴.∠CDH=90°-∠CDB=30°， 在Rt△CDH中，∠CDH=30· ∴.CH=CD=1, ∴点E到点C的最小距离1. 8/8 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．点E、F分别是，的中点，且，则的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 2．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在周长为的中，，交于点O，交于点E，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．在中，、相交于点O，，，，，则的周长、的度数依次是（   ） A．38， B．28， C．19， D．24， 5．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 12．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 13．如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则 ．    14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 15．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 17．（本题8分）如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 18．（本题8分）如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 19．（本题9分）定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 20．（本题8分）如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．（本题10分）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程： 【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由： 【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______． 22．（本题12分）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2） 如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 23．（本题12分）【课本再现】（）如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．点E、F分别是，的中点，且，则的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 2．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在周长为的中，，交于点O，交于点E，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．在中，、相交于点O，，，，，则的周长、的度数依次是（   ） A．38， B．28， C．19， D．24， 5．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 12．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 13．如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则 ．    14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 15．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 17．（本题8分）如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 18．（本题8分）如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 19．（本题9分）定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 20．（本题8分）如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．（本题10分）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【推理证明】已知：如图1，在中，，点是边的中点．求证：． 证明：如图2，延长至，使，连接，．请你补全余下的证明过程： 【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由： 【拓展思考】如图，在四边形中，，点是的中点．若则=______． 22．（本题12分）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2） 如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 23．（本题12分）【课本再现】如图，中，，，那么与有怎样的数量关系？试证明你的结论． 【尝试探究】（2）点是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接． ①判断的形状，并说明理由； ②求证：； 【探究应用】（3）若点是直线上一动点，“尝试探究”中其他条件不变，若，直接写出点到点的最小距离． ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $