精品解析：2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试适应性测试卷（一）

2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试适应性测试卷（一） 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 对于分式有意义，则 应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，为的两条弦，连接， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在一次函数的图像上，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 城市书房有一群学生在看书，现统计他们的年龄如下表．他们年龄的中位数为（ ） 人数（人） 2 3 8 2 年龄（岁） 11 12 13 14 A. 11岁 B. 12岁 C. 岁 D. 13岁 8. 如图，直线c与直线a，b相交，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图， 是反比例函数的图象上一点，若图中阴影部分的矩形面积是3，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A. B. C. D. 11. 如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边 上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在四边形 中， 分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________． 14. 若方程 的一个根为 ，则另一个根为______． 15. 如图，在中，D，E，F分别是，， 上的点，且，，，，则______cm． 16. 如图，在正方形 中，点E是的中点，连接 ，过点E作，，连接，， ，和 ， 分别交于点M，N．有如下结论：①；②；③；④点G在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是_______ ． 三、解答题（共8个题，共72分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： （1） （2） 18. 已知内接于，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在线段 上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点 ，连接，求证：． 19. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中， ________，________； （2）统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 20. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作，垂足为E，交于点D，连接、、 ，过点B作直线交的延长线于F，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ② 是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 23. 【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点， 、 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形 中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、 分别是边上的动点，且．以 为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点 是 的中点，连接、，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试适应性测试卷（一） 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意， B．不是轴对称图形，不符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 3. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的规则（其中， 为整数）确定 和 的值即可得到答案． 【详解】解：将5800万用科学记数法表示为． 4. 对于分式有意义，则 应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 故选：C． 5. 如图，，为的两条弦，连接， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 6. 已知点在一次函数的图像上，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点代入一次函数即可得出k的值． 【详解】解：把点代入一次函数得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查待定系数求函数的解析式，代入点的坐标时要细心求解是本题的关键． 7. 城市书房有一群学生在看书，现统计他们的年龄如下表．他们年龄的中位数为（ ） 人数（人） 2 3 8 2 年龄（岁） 11 12 13 14 A. 11岁 B. 12岁 C. 岁 D. 13岁 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，把这组数据从小到大排列找出最中间的数即可． 【详解】解：这组年龄数据共有15个数， 他们年龄的中位数是第8个数， 把这组数据从小到大排列，第8个数是13岁， 他们年龄的中位数为13岁， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的定义是解题关键． 8. 如图，直线c与直线a，b相交，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，根据对顶角相等，得到，当时，两直线平行，同位角相等，得到，当 与 不平行时无法求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 当时，； 当 与 不平行时，无法求出的度数； 故选D． 9. 如图， 是反比例函数的图象上一点，若图中阴影部分的矩形面积是3，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的比例系数k的意义，熟练掌握在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点P的坐标为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴． 故选：B． 10. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ 　　 ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式的应用． 过点作于点D，先解直角三角形求出，即可求解等边三角形的面积，然后由扇形面积减去等边三角形的面积求出一个阴影部分的面积，再乘以3即可求解阴影部分总面积． 【详解】解：过点作于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 11. 如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边 上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，，待定系数法求直线的解析式为，进而可求，，则，由勾股定理得，，如图，作于 ，则，，由勾股定理得，，则，可求，进而可求的值． 【详解】解：设，则，，， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 由勾股定理得，， 如图，作于 ，则， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 12. 如图，在四边形 中， 分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点 ，由， 分别与扇形相切于点， ，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点 ， 则， ， 分别与扇形相切于点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 若方程 的一个根为 ，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于 的一元二次方程的两个实数根，其中， ∵， ∴， ∴， ∴另一个根为 ， 故答案为：． 15. 如图，在中，D，E，F分别是，， 上的点，且，，，，则______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 16. 如图，在正方形 中，点E是的中点，连接 ，过点E作，，连接，， ，和 ， 分别交于点M，N．有如下结论：①；②；③；④点G在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是_______ ． 【答案】①④ 【解析】 【分析】作，交的延长线于点 ，根据题意得到，证明，证明，得到，根据平行线的判定即可得到①正确；由①知：，得到，由勾股定理求出，求出，即可得到，②不正确；设，则，，证明，根据相似的性质得到，得到，证明，求出，得到，故③不正确；作点 关于的对称点，连接交于点 ，此时最小，最小值是的长，证明三点共线，求出，即可得到答案． 【详解】解：作，交的延长线于点 ， ， 正方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 由①知：， 点E是的中点， ， 故②不正确； 设，则，， 故③不正确； 作点 关于的对称点，连接交于点 ，此时最小，最小值是的长，如图 ， 由对称可知 三点共线 的周长的最小值为：， 故④正确． 三、解答题（共8个题，共72分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知内接于，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在线段 上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点 ，连接，求证：． 【答案】（1） 点即为所求； （2） 证明：如图 为的直径 由（1）知， 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定，半圆（直径）所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意作的垂直平分线交 于点，即可求解； （2）根据（1）可得，根据是的直径得出，结合对顶角相等，即可证明． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线交 于点，则点即为所求； ∵ 垂直平分， ∴； 【小问2详解】 略 19. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中， ________，________； （2）统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 【答案】（1）30，24 （2），150 （3） 【解析】 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数。用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为，通过列树状图即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 【小问2详解】 解：足球所对应扇形的圆心角的度数为 （人）； 【小问3详解】 设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为， 从四名学生中随机抽取2人，列树状图如下： 则从四名学生中随机抽取2人共有种，其中2名同学都是喜欢乒乓球有2种， 所以被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率为． 20. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作，垂足为E，交于点D，连接、、 ，过点B作直线交的延长线于F，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出，则可得，再证出，则，由此即可得证； （2）证出，则可得 的长，据此分别求出的长，代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍）， ∴在 中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵是的直径，， ∴， ∴， ∴． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． （1）当___________时，元/； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？ 【答案】（1） （2）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； （3）当a为时，2025年的总种植成本为元． 【解析】 【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可； （2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案； （3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为 ，把点代入得， ， 解得， ∴当时，， 当时，， ∴当时，，解得， 即当时，元/； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， ∵， ∴随着x的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小； 【小问3详解】 由题意可得， 解得（不合题意，舍去）， ∴当a为时，2025年的总种植成本为元． 【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时， 为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【解析】 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时， 为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 23. 【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点， 、 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形 中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、 分别是边上的动点，且．以 为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点 是 的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点 ，使，连接，将沿翻折得到， 对应点 ，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点 ，使，连接，将沿翻折得到， 对应点 ，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点 是 的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当 、 、 三点共线时，周长最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $