考点14平面向量的概念与运算 练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点14　平面向量的概念与运算 基础巩固 1.给出下列说法: ①若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;②若向量满足||>||,且同向,则;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,在正六边形ABCDEF中,设=a,=b,则=(　　) A.a+2b B.2a+3b C.2a+b D.a+b 3.在△ABC中,+5=0,则=(　　) A. B. C. D. 4.(2025浙江杭州期中)已知向量a和向量b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,则|a-b|的值为(　　) A.1 B. C.2 D. 5.在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上.若=x,则x=(　　) A. B. C. D. 6.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,若,则点P与△ABC的位置关系是(　　) A.点P在AC边上 B.点P在AB边上或其延长线上 C.点P在△ABC外部 D.点P在△ABC内部 7.(多选)(2024浙江温州新力量联盟开学考试)下列说法正确的有(　　) A.a·a·a=|a|3 B.λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线 C.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小 D.若平面内有四个点A,B,C,D,则必有 8.设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+kb,=2a-b.若P,Q,R三点共线,则实数k的值为　　　　　　　.  9.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为　　　　　　　.  10.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|b-a-c|=　　　　　　　.  11.已知两个非零向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b. (1)若2-3=0,求实数k的值; (2)若A,B,C三点共线,求实数k的值. 12.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点. (1)求; (2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:=3. 能力提升 13.(2025浙江7月学考)在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=2,CD=3,E,F分别为AD,BC的中点,则=(　　) A.-5 B.- C. D.13 14.(多选)(2024浙江A9协作体期中)已知a,b,c是平面上三个非零向量,下列说法正确的有(　　) A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立 B.如果a·b=a·c,那么一定有a⊥(b-c) C.如果(a-c)⊥(b-c),那么|a-b|=|a+b-2c| D.如果a(b·c)=(a·b)c,那么a,b,c一定相互平行 15.如图,圆O是半径为1的圆,OA=2,设B,C为圆上的任意两点,则的取值范围是　　　　　.  16.如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且=2,O是线段AD的中点,延长BO交AC于点E,设=λ+μ. (1)求λ+μ的值; (2)若△ABC为边长等于2的正三角形,求的值. 参考答案 基础巩固 1.A　解析 ①正确;②两向量不能比较大小,故不正确;③a与b长度相等,但方向不定,故不正确;④规定0与任意向量平行,故不正确. 2.C　解析 在正六边形ABCDEF中,FC∥AB,FC=2AB,则+2=2a+b.故选C. 3.A　解析 因为+5=0,所以)=.故选A. 4.A　解析 |a-b|==1.故选A. 5.C　解析 由题可知).∵点F在BE上,∴=λ+(1-λ),λ∈R.∴=(λ)+(λ).∴λ=,λ=.∴x=.故选C. 6.A　解析 ∵,∴=0,∴2=0,∴=-2,∴P为AC上靠近点C的三等分点.故选A. 7.BCD　解析 对于A,a·a·a=|a|2a,故A错误;对于B,因为λ,μ为非零实数,且λa=μb,所以a与b一定共线,故B正确;对于C,向量不能比较大小,向量的模可比较大小,故C正确;对于D,因为,所以,故D正确.故选BCD. 8.-　解析 因为P,Q,R三点共线,所以=λ,即a+kb=λ(2a-b),所以故k=-. 9.　解析 ∵B,P,N三点共线,∴存在实数λ使得=λ+(1-λ)=λ=m, ∴解得m=. 10.2　解析 由题|a|=1,a+b=c,∴|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2. 11.解 (1)∵2-3=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k=-1. (2)∵A,B,C三点共线,∴=λ,∴=λ(),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k=-1. 12.(1)解 ∵=2=-,∴=0. (2)证明 易知(a+b),因为G是△ABO的重心,所以(a+b).由P,G,Q三点共线,得=t,t∈R,即=t(),即=t+(1-t),∴a+b=mta+(1-t)nb.由a,b不共线得=3. 能力提升 13.C　解析 由题意=0,=0, ), 所以)·() = =·() =. 故选C. 14.BC　解析 当b,c不是共线向量时,一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立,故A不正确;由a·b=a·c⇒a·b-a·c=0⇒a·(b-c)=0⇒a⊥(b-c),故B正确;(a-c)⊥(b-c)⇒(a-c)·(b-c)=0⇒a·b-a·c-c·b+c2=0,|a-b|2-|a+b-2c|2=(a-b)2-[(a-c)+(b-c)]2=-2(a·b-a·c-c·b+c2)=0,故C正确;当a·b=b·c=0时,显然a(b·c)=(a·b)c成立,但是a,b,c不一定互相平行,故D不正确.故选BC. 15.[-2,6]　解析 若D为BC的中点,设的夹角为θ,如图, =()·=||||cos∠OCB-||||cos θ=|2-2||cos θ. 又||∈[0,2],由cos θ≤1,得|2-2||cos θ≥|2-2||=-2, 当||=2时,取最小值-2; 由cos θ≥-1,得|2-2||cos θ≤|2+2||=-2, 当||=2时,取最大值6. 综上,的取值范围是[-2,6]. 16.解 (1)∵O为AD的中点,=2, ∴)=-. 又=λ+μ,故λ=-,μ=,λ+μ=-. (2)(方法1)设=t,t∈R, ∵O为AD的中点,=2, ∴)=)=. ∵B,O,E三点共线,∴=1,得t=4. 故-=-. ∵△ABC是边长为2的正三角形, ∴=-· = =|||cos|||cos =×22××22× =. (方法2)设=t,t∈R,易知t≠0. = = =-+. 又由(1)知=-为非零的共线向量,∴,得t=4, ∴=-. ∵△ABC是边长为2的正三角形, ∴=-· = =|||cos|||cos =×22××22× =. 学科网（北京）股份有限公司 $