考点18 复数 练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点18 复数 基础巩固 1.(2025浙江7月学考)已知复数z=-i,则|z|=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 2.(2025全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 3.(2025全国 Ⅱ 卷)已知z=1+i,则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 4.已知i为虚数单位,则下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A.i(1+i) B.i2(1+i) C.i(1+i)2 D.i2(1+i)2 5.设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则+i=(　　) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 6.若z∈C且|z+3+4i|≤2,设|z-1-i|的最大值、最小值分别为M,m,则M-m的值等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.9 7.(多选)下列说法正确的有(　　) A.复数2-2i的虚部为-2i B.若i为虚数单位,则i2 023=-i C.复数-2-i在复平面内对应的点在第三象限 D.复数的共轭复数为-2-i 8.(多选)已知复数z1=i,z2=2-i,下列结论正确的有(　　) A. B.若|z-z2|=1,则|z|的最大值为 C.z1+z2∈R D.z1在复平面内对应的点在第二象限 9.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为　　　　　.  10.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,其中顶点A,B对应的复数分别是1+i,4+2i,则点C的坐标为　　　　　.  11.求实数m取什么数值时,复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 12.已知复数z1,z2满足|z1|=+1,|z2|=-1,且|z1-z2|=4,求与|z1+z2|的值. 能力提升 13.设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法不正确的是(　　) A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线 B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形 C.对任意复数z, D.当z为实数时, 14.(多选)(2024浙江温州月考)已知复数z,其共轭复数为,下列结论正确的有(　　) A.z=|z|2 B.z2=||2 C.z+=0 D.|z|+||≥|z+| 15.复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　.  16.已知z是虚数,z+是实数. (1)求当z为何值时,|z+2-i|有最小值,并求出|z+2-i|的最小值; (2)设u=,求证:u为纯虚数. 参考答案 基础巩固 1.D 2.C　解析 因为(1+5i)i=-5+i,所以其虚部为1.故选C. 3.A　解析 因为z=1+i,所以=-i.故选A. 4.D　解析 i(1+i)=i+i2=-1+i,i2(1+i)=-1-i,i(1+i)2=2i2=-2,i2(1+i)2=(-1)×2i=-2i.故选D. 5.C　解析 ∵z=1+i,∴=1-i,∴+i(1-i)=-i2+i=1-i+1+i=2.故选C. 6.B　解析 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平面内对应的点P在以A(-3,-4)为圆心,2为半径的圆内或圆上. 又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B(1,1)之间的距离,所以该距离的最大值为M=|AB|+2=+2=+2,最小值为m=|AB|-2=-2,故M-m=4.故选B. 7.BC　解析 对于A,复数2-2i的虚部为-2,故A错误; 对于B,i2 023=(i4)505i3=-i,故B正确; 对于C,复数-2-i在复平面内对应的点(-2,-1)在第三象限,故C正确; 对于D,=-2-i,其共轭复数为-2+i,故D错误.故选BC. 8.ACD　解析 对于A,因为复数z1=i,z2=2-i,则=-i(2+i)=1-2i,=1-2i,所以,故A正确; 对于B,设复数z=x+yi(x,y∈R),则|z-z2|==1,则(x-2)2+(y+1)2=1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,-1)为圆心,以1为半径的圆,而|z|表示圆上一点到坐标原点的距离,因为原点到圆心的距离d=,所以-1≤|z|≤+1,则|z|的最大值为+1,故B错误; 对于C,z1+z2=2∈R,故C正确; 对于D,因为复数z1=i,z2=2-i,所以z1=i(2+i)=-1+2i,其在复平面内对应的点(-1,2)在第二象限,故D正确,故选ACD. 9.3　解析 因为复数不能比较大小,所以m-3+(m2-9)i为实数,可得解得m=3,所以实数m的值为3. 10.(2,3)或(3,0)　解析 根据复数的几何意义可知A(1,1),B(4,2). 设C(x,y),则由 得 解得 ∴点C的坐标为(2,3)或(3,0). 11.解 (1)当m2-m-2=0,即m=2或m=-1时,复数z是实数. (2)当m2-m-2≠0,即m≠2且m≠-1时,复数z是虚数. (3)当即m=1时,复数z是纯虚数. 12.解 设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,由于(+1)2+(-1)2=42,故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2,故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,从而,则|z1+z2|=|z1-z2|=4,=±i=±=±i. 能力提升 13.C　解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi. 对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),点O,P,Q均在y轴上,所以P,O,Q三点共线,故A正确; 对于B,当z=1+i时,=1-i,所以P(1,1),Q(1,-1),所以|OP|=|OQ|=,而|PQ|=2,所以|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,所以△POQ为等腰直角三角形,故B正确; 对于C,=(a,b),=(a,-b),当b=0时,,故C不正确; 对于D,当z为实数时,z==a,此时=(a,0),故D正确.故选C. 14.AD　解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi. 对于A,z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=()2=a2+b2,则z=|z|2,故A正确; 对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,||2=()2=a2+b2,则z2不一定等于||2,故B不正确; 对于C,z+=(a+bi)+(a-bi)=2a不一定等于0,故C错误; 对于D,|z|+||=2,|z+|=2|a|,因为2≥2=2|a|,当且仅当b=0时,等号成立,所以|z|+||≥|z+|,故D正确.故选AD. 15.[-,7]　解析 因为z1=z2,则 所以λ=4-4cos2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-,因为-1≤sin θ≤1,所以λ∈[-,7]. 16.(1)解 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+bi+=(a+)+(b-)i, 所以b-=0. 又b≠0,可得a2+b2=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为以原点O为圆心的单位圆(去除x轴上两点). |z+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|=,表示点P(a,b)到点A(-2,1)的距离,所以|z+2-i|的最小值为|AO|-1=-1. 解方程组并结合图形得z=-i. (2)证明 由(1)易知a2=1-b2≠1,则a≠±1. u=,又b≠0,所以u为纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $