第01讲 条件概率、全概率公式及相互独立事件（思维导图+4知识点+8大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第01讲 条件概率、全概率公式及相互独立事件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01 条件概率的计算】 【题型02 条件概率的性质及应用】 【题型03 乘法公式的应用】 【题型04 全概率公式的应用】 【题型05 贝叶斯公式的应用】 【题型06 相互独立事件的判断】 【题型07 相互独立事件的概率问题】 【题型08 利用事件之间的关系求概率】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 知识点2：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 知识点3：贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 知识点4：相互独立事件 1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． 2、判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【题型01 条件概率的计算】 1．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 2．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B 3．从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”， 事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”， 则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球， 有，共10种情况， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共3种， 故， 故所求概率为. 故选：B. 4．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】6的正因数：，由，得6是多重完美数； 9的正因数：，由，13不是9的整数倍，得9不是多重完美数； 12的正因数：，由，28不是12的整数倍，得12不是多重完美数； 28的正因数：，由，得28是多重完美数； 45的正因数：，由，78不是45的整数倍，得45不是多重完美数， 因此中多重完美数有2个，非多重完美数有3个， 从5个数中取2个，有多重完美数的取法数为，其中恰有一个不是多重完美数的取法数为， 所以取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为. 故选：B 5．山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为 . 【答案】 【详解】设事件A：至少选到1个芝麻馅汤圆，事件B：4个汤圆中恰有3种不同馅料， 事件A含有的基本事件数为， 事件含有的基本事件数为， 所以4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率. 故答案为： 6．有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】(1)576； (2). 【分析】 【详解】（1）由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. （2）记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 【题型02 条件概率的性质及应用】 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若， 则，所以，故， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C. 8．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 9．（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：AD． 10．已知，，，则的值为 【答案】/ 【详解】设， 由，， 可得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 12．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和. 【答案】， 【详解】根据条件概率计算出结果 因为，， 所以， ， 由于， 解得， 所以. ， 解得. 【题型03 乘法公式的应用】 13．已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记小明，小红报名围棋兴趣小组分别为事件，则， 故． 故选：D． 14．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，， 由条件概率公式得，则, 故选：B． 15．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ． 【答案】 【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率， 得. 故答案为： 16．电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（    ） A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684 【答案】C 【详解】设表示第次撞击后该汽车没有受损， 则由已知可得，，， 由条件概率公式可得， 即该汽车通过质检的概率是 故选：C 【题型04 全概率公式的应用】 17．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 18．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 19．（辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题）已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 . 【答案】/ 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 20．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件“3次之内（含3次）停止摸球”， 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”； 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”； 事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”； 事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则． ． ． 因此． 故答案为：. 21．（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 【答案】(1)与不相互独立 (2) (3)长时间玩手机与近视存在一定的关联. 【分析】 【详解】（1）与不相互独立，理由如下： 已知，， 所以； 因为； 所以， 所以与不相互独立. （2）设为 “每天玩手机不超过 1 小时”，则 所以 即，所以. （3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联. 22．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【分析】 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 【题型05 贝叶斯公式的应用】 23．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 24．（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 25．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 26．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 【答案】 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 27．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 【答案】 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 28．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【答案】(1)0.26 (2) 【分析】 【详解】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”， 则， 所以． （2）所以． 【题型06 相互独立事件的判断】 29．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与可能不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即，所以，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 30．有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【详解】设甲乙丙丁对应的的概率分别为， 由题意可得， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为， 所以， 丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为， 所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B. 31．考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】与独立，则， 即， . 即，故“与独立.反之亦然. 故选：A. 32．事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【详解】由对立事件的概率公式可得， 因为，即，可得， 所以，，因此，事件与事件独立. 故选：C. 33．（多选）有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字小于3；乙：第二次取球编号数字为偶数；丙：第三次取球编号为6；丁：前两次取球编号数字和为7；戊：第一、三次取球编号数字至少有一个1．则下列事件与甲事件独立的是：（    ）． A．乙 B．丙 C．丁 D．戊 【答案】ABC 【详解】根据题意，，，， ，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 34．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． 【答案】(1)不相互独立 (2)；. 【分析】 【详解】（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”， 则事件的所有情况为：，共5种情况， 所以， 事件的所有情况为：， 共11种情况，所以， 事件的所有情况为：，所以， ，所以与不相互独立. （2）， 事件“”，事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以. 【题型07 相互独立事件的概率问题】 35．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则， 可知恰好投中两次为事件， 故恰好投中两次的概率，解得． 故选：A. 36．三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是 ． 【答案】 【详解】由题意，元件，，不正常工作的概率分别为，， 电路正常工作的条件为正常工作，，中至少有一个正常工作， （1）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是； （2）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是； （3）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是 因为， 所以， 所以此电路正常工作的最大概率是. 故答案为： 37．甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）解：设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）解：由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 38．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; (2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为. 设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球, 则, 故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为. （2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为 . ②比分为2:2的概率为. ③比分为3:2的概率为 . 综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 39．某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． (1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率； (2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件， 所以，， 设参加活动的选手没有获得奖金为事件， 所以. （2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件， 所以，，， 设两人最后所得奖金总和为1100元为事件， 所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖， 所以 40．某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 【答案】(1)0.864 (2)出场顺序为1号、2号、3号 【分析】 【详解】（1）解:根据题意,“闯关成功”则必须三道题全对或者第一道题答错、其余都答对或者第二道题答错、其余都答对,而其他各种答题结果总得分都低于30分, 若三道题全对,则得分60, 此时概率． 若第一道题答错、其余都答对,则得分50, 此时概率． 若第二道题答错、其余都答对,则得分30, 此时概率． 所以“闯关成功”的概率; （2）由于1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序: ①3号排第一;②3号排第二;③3号排第三． 若3号排第一,则“闯关成功”的概率, 若3号排第二,则“闯关成功”的概率, 若3号排第三,由（1）知“闯关成功”的概率, 综上可知,出场顺序为1号、2号、3号时,“闯关成功”的概率最大． 【题型08 利用事件之间的关系求概率】 41．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，. 不发生故障的事件为， ∴不发生故障的概率为. 故选：D 42．（多选）已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若互斥，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 【答案】BCD 【详解】A，由，则，错误， B，由互斥，则，正确， C，由相互独立，则，正确， D，，由相互独立，则，正确. 故选：BCD 43．甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 【答案】 【详解】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为， 则至少有一人投中的概率； 故答案为：. 44．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 45．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是. (1)试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）； (2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 【答案】(1)丙最终获胜的概率大于 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）丙最终获胜的概率大于. 设甲最终获胜为事件N，则甲最终获胜的概率为 . 又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为. 易知，所以丙最终获胜的概率大于. （2）设甲输为事件A，乙输为事件B，丙输为事件C， 通过4场比赛决出胜负且甲最终获胜即甲连胜四局，故所求的概率为. （3）设甲最终获胜为事件N，则甲最终获胜的概率为 . 又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为. 46．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 【答案】(1) (2)0.9 (3) 【分析】 【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品， 则． （2）由（1）知，则． 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为 （3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”， 则，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 ． 一、单选题 1．已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥 C．事件A和事件B对立 D．事件和事件B互斥 【答案】B 【详解】因为事件A和事件B满足，则一定可以得到事件A和事件B互斥， 但不一定对立，故B正确，C错误； 对于A，因为，当不为时0，事件A和事件B不独立，故A错误； 对于D，抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B， 则，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B. 2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 3．甲､乙､丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者，至多三局结束比赛.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.经抽签，甲､乙首先对战，丙旁观，设甲､乙､丙在三局内成为胜者的概率分别为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲获胜的概率：甲获胜需局1胜乙且局2胜丙，概率为. 乙获胜的概率：乙获胜需局1胜甲且局2胜丙，概率为. 丙获胜的概率： 丙获胜包含两种情况： ①.局1甲胜乙，局2丙胜甲，局3丙胜乙， 概率为； ②.局1乙胜甲，局2丙胜乙，局3丙胜甲， 概率为； 故. 比较得，即. 故选：C 4．两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一次掷骰子的概率：掷出的点数为6，概率为，弟弟获得礼物；掷出的点数不为6，概率为，记下点数，进入后续阶段. 后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为. 若哥哥掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6，概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，有，① 若弟弟掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6：概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到哥哥掷骰子，此时概率为，有，② 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为，则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为. 故选：D. 5．已知事件A，B为随机事件，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，，，，则． 又，故， 所以事件与，与相互独立，故． 故选：D 6．某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件表示“抽取人购买了纪念品”，事件表示“抽取人来自上午场”，事件表示“抽取人来自下午场”. 已知上午场人数占比为60%，即,则下午场人数占比为. 上午场每人购买纪念品概率为，即;下午场每人购买纪念品概率为，即. 根据全概率公式：， 代入上述概率值得：. 故选：A. 7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 二、多选题 8．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 9．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 【答案】BCD 【详解】先将4人分成2、1、1三组，共种分法，再将三组分配给三个景点，共种分法，一共有种分法. 事件表示甲前往庐山，固定甲去庐山后，需将乙、丙、丁分配到三个景点， 且三清山和龙虎山均至少一人.乙、丙、丁的分配方式共种， 排除三清山空（只去庐山和龙虎山）的种、龙虎山空的8种，以及两景点均空的1种， 满足条件的分配数为，故，故选项A错误； 同理得：； 事件表示甲去庐山且乙去三清山，固定甲去庐山、乙去三清山后， 需分配丙、丁，且龙虎山至少一人，丙、丁分配共种， 龙虎山空（只去庐山或三清山）的有种， 故满足条件的分配数为，因此，选项C正确； 由条件概率公式得：. 故，选项B正确； 因为， 所以事件与不独立，选项D正确. 故选： 三、填空题 10．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，则甲、乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为 ． 【答案】，， 【详解】解：记事件分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品，其概率分别为， 由题设知， 解方程组并舍去不符合题意的根，得，，． 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为，，． 故答案为：，， 11．某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是 . 【答案】 【详解】记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”， 3班抽到“黄金赛道”，则需要讨论它前面抽签的2班的赛道，2班未抽到“黄金赛道”和2班抽到“黄金赛道”的情况， 由题意知,， 所以. 故答案为：. 12．现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一人选择武侯祠的条件下，他们选择的景点不相同的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件为“两位游客中至少有一人选择武侯祠”，事件为“两位游客选择的景点不相同”， 由题意，两位游客从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，故共有(种)不同的选法. 两人都不选择武侯祠的方法有(种)， 故两位游客中至少有一人选择武侯祠的方法共有 (种)， 所以两位游客中至少有一人选择武侯祠的概率. AB表示两位游客中至少有一人选择武侯祠，且两位游客选择的景点不同，即一人选择武侯祠，另一人选择其它景点，共有 (种)选法， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 13．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 14．2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)，或，或，，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设事件“抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语”为 ，则其对立事件为“两名志愿者都不会说日语”， 由题意，志愿者总人数为 36，其中会说日语的人数为 ，故不会说日语的人数为 ， 于是 所以，抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率为 . （2）由题意， 事件 与 相互独立的充要条件是 即， 化简得 又 均为正整数，且 ，同时需满足 ， 当 时，； 当 时，； 当 时，. 因此，符合条件的 的值为： 15．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． (1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率； (2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，设. 则有，解得，故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为 （2）设乙机床加工的零件数为，则甲、丙机床加工的零件数分别为，则一等品的零件数总数为. 则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为. 故从中任意抽取4件检验，一等品不少于3件的概率为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 条件概率、全概率公式及相互独立事件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01 条件概率的计算】 【题型02 条件概率的性质及应用】 【题型03 乘法公式的应用】 【题型04 全概率公式的应用】 【题型05 贝叶斯公式的应用】 【题型06 相互独立事件的判断】 【题型07 相互独立事件的概率问题】 【题型08 利用事件之间的关系求概率】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 知识点2：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 知识点3：贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 知识点4：相互独立事件 1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． 2、判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【题型01 条件概率的计算】 1．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．多重完美数是其所有因数之和是其本身的整数倍.从以下6，9，12，28，45数中随机任取两个数，若取出的两个数中有多重完美数，其中一个不是多重完美数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为 . 6．有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． (1)求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； (2)已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【题型02 条件概率的性质及应用】 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 8．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则的值为 11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 12．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和. 【题型03 乘法公式的应用】 13．已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 14．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 15．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ． 16．电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（    ） A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684 【题型04 全概率公式的应用】 17．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 18．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 19．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 . 20．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 21．据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 22．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【题型05 贝叶斯公式的应用】 23．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（多选）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 25．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 26．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 27．有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 28．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【题型06 相互独立事件的判断】 29．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与可能不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 30．有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 31．考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 32．事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 33．（多选）有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，记事件甲：第一次取球编号数字小于3；乙：第二次取球编号数字为偶数；丙：第三次取球编号为6；丁：前两次取球编号数字和为7；戊：第一、三次取球编号数字至少有一个1．则下列事件与甲事件独立的是：（    ）． A．乙 B．丙 C．丁 D．戊 34．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． 【题型07 相互独立事件的概率问题】 35．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（    ） A． B． C． D． 36．三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是 ． 37．甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 38．某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; (2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 39．某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． (1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率； (2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 40．某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表: 选手 1号 2号 3号 正确率 80% 80% 90% 假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率． (1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？ (2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？ 【题型08 利用事件之间的关系求概率】 41．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 42．（多选）已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若互斥，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 43．甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是 ． 44．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 45．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是. (1)试指出丙最终获胜的概率与的大小关系（不需给出理由）； (2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 46．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 一、单选题 1．已知事件A和事件B满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥 C．事件A和事件B对立 D．事件和事件B互斥 2．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 3．甲､乙､丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者，至多三局结束比赛.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.经抽签，甲､乙首先对战，丙旁观，设甲､乙､丙在三局内成为胜者的概率分别为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知事件A，B为随机事件，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 二、多选题 8．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 9．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 三、填空题 10．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，则甲、乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为 ． 11．某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是 . 12．现有两位游客慕名来成都旅游，他们分别从武侯祠、杜甫草堂、宽窄巷子、春熙路、熊猫基地这5个景点中随机选择1个景点游玩，两位游客至少有一人选择武侯祠的条件下，他们选择的景点不相同的概率为 ． 四、解答题 13．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 14．2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 15．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． (1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率； (2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $