精品解析：河北省石家庄市第二十四中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

石家庄市第二十四中学 2024—2025学年第二学期期中考试高一年级数学试题 命题人：张镜 蔡佳贝 审核人：韩永升 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数的共轭复数为，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 3. 在中，角对应的边分别为， ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为异面直线且，则与中至少一条相交 D 若，则 5. 若非零向量满足，且向量在向量上投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为的重心 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________. 13. 已知三棱锥平面，且，则其外接球的体积为__________. 14. 在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. ，复数在复平面内对应的点. （1）点位于第二象限，求的取值范围； （2）复数是纯虚数，求值. 16. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求边上的高. 17. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点． （1）求证：平面PAB； （2）在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄市第二十四中学 2024—2025学年第二学期期中考试高一年级数学试题 命题人：张镜 蔡佳贝 审核人：韩永升 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数的共轭复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及加法运算计算即可. 【详解】. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 1或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参. 【详解】因为，， 所以. 又，所以， 解得或. 故选：C. 3. 在中，角对应的边分别为， ，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理有，代入已知值有 求出，选A. 4. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为异面直线且，则与中至少一条相交 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，由线面平行的性质判断选项正误；对于C，由反证法结合题意可判断选项正误；对于D，由图及题意可判断选选项正误. 【详解】对于A，当时，可能与平行，也可能相交，异面，故A错误； 对于B，当时，可能包含于平面，则不一定平行于，故B错误； 对于C，假设均不与相交，因，则， 又，均不与相交，则，这与为异面直线相矛盾，则与中至少一条相交，故C正确； 对于D，当时，设，则如图当与不垂直时，不与垂直，故D错误 故选：C 5. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为，则由题意可知，， 因为向量的夹角，所以. 故选：B. 6. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 7. 在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得则，进一步可得，即，由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，利用余弦定理算出，解即可得的最小值. 【详解】因为，，则，故， 故，所以，所以当垂直于时，取得最小值 在中，由余弦定理得， 在中，， 由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值， 此时，即的最小值为. 故选：A. 8. 如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则， 所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为， 则解得 所以． 故选：D． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角，再根据三角形面积公式求出的值，最后结合已知条件和完全平方公式求出的值. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故B错误，A正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为，，，则， 所以，因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 点在所在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为的重心 C. 若，则 D. 若为边长为2的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的定义可判断A；由题意可得(为中点)，再结合重心的定义可判断B；作出图象，结合题意可得的高是的高的，可判断C；建立平面坐标系，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D. 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以为钝角三角形，故A正确； 对于B，因为， 取的中点，连接， 则有， 所以，所以， 所以为的重心，故B正确； 对于C，因为，， 所以点在线段上，如图所示： 取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为， 连接 则有∥且, 所以的高是的高的， 所以，故C错误； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面坐标系，如图所示： 易知直线的方程为， 设， 因为， 所以， 所以， ， 又因为， 所以当时，取最小值，为； 当时，取最大值，为； 所以， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行； C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为长，由勾股定理得到最小值； D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积. 【详解】对于A，因为不在平面内，平面， 所以平面，又， 所以点到平面的距离为， 又为定值， 故定值，A正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面， 同理可知平面， 又，平面， 所以平面平面， 由于平面，故平面，B正确. 对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形， 连接，交于点，此时最小，最小值即为的长， 过点作⊥，交的延长线于点， 其中， 故，又勾股定理得，C正确； 对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面， 四面体的外接球即正方体的外接球， 故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示： 由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 13. 已知三棱锥平面，且，则其外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求得，得中直角三角形，，证明，从而可得就是三棱锥外接球的直径，由此易得球半径得球体积． 【详解】在中，由余弦定理可得， 故, 则,故，即， 又平面,所以, 又,平面, 所以平面,所以, 所以的中点到四个点的距离相等， 即为三棱锥外接球的球心，为外接球直径, ,故, 则外接球的体积. 故答案为： 14. 在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出，结合在梯形中，，和圆内接四边形对角互补，可得梯形为等腰梯形，且中点为梯形的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可. 【详解】 由，得，则， 又在梯形中，，则， 结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形． 又，取中点，可得，， 即为梯形外接圆圆心， 所以，梯形外接圆以为圆心，2为半径的圆. 以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设是角的终边，又因为点在圆上，所以，即 又，， ， 由，则，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形外接圆的圆心所在位置，主要考查了圆内接四边形的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. ，复数在复平面内对应的点. （1）点位于第二象限，求的取值范围； （2）复数是纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解不等式组可求出的取值范围； （2）由题意可得，从而可求出的值 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即， 解得，即的取值范围为 【小问2详解】 因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，复数是纯虚数 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，结合，可得，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理得，即， 又，所以， 所以，故. 【小问2详解】 由的面积为，得，所以. 结合，可得， 设边上的高， 由，解得. 17. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点． （1）求证：平面PAB； （2）在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，E为PC中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【小问1详解】 取AP的中点Q，连接MQ，BQ， 因为M，Q分别为PD，PA中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． 【小问2详解】 存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB． 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论； （2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距. 【小问1详解】 由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； 【小问2详解】 若是的中点，则，故为平行四边形， 所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$