2026年高考数学临考冲刺卷04（全国二卷通用）

2026年高考数学临考冲刺卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】求出，根据第40百分位数定义可得答案. 【详解】由题意可得，解得，将数据按升序排列可得，因为为整数，所以该组数据的第40百分位数为. 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 3．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断. 【详解】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此，成立， 即能推出，必要性成立； 综上，是的必要不充分条件. 4．已知数列满足，则的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】由题意知. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解 【详解】因为， 所以， 所以. 6．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 7．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则，所以， 所以，因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或，或， 因为，所以. 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误；对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 【答案】BD 【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值. 【详解】选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为； 添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变. 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差；当原方差不为0时，原方差， 新方差，方差变小，错误. 选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入，得原. 原10个点总，总；去掉异常点后， 新样本中心点：，，即新中心点为， 回归直线必过样本中心点，正确. 选项C，，正态曲线对称轴为，， 则，由对称性得， 因此：，错误. 选项D，将数据从小到大排序：，共个数据， 计算，不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确. 11．如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为线段中点时，平面 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】以为原点，方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. A选项，可求得，，所以，因此，所以A选项正确； B选项，在中，，，，， 因此，所以B选项错误； C选项，若为线段中点时，则，所以，易得平面的一个法向量为，所以，且平面，所以平面，所以C选项正确；D选项，，，其中，，， 所以点到直线的距离， 且，，， 代入可得：， 当时，有最小值，此时，所以选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则___________． 【答案】 【详解】设，则，， 代入原式得， ，即，解得，． 13．的展开式中的常数项为______． 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下：（1）4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为； （2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为；（3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项为，合并同类项，所以展开式中常数项为. 14．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义，及余弦定理结合基本不等式计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知， 由余弦定理可知， 所以 ，当且仅当时取得等号，即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 16．（15分）如图，已知梯形中，，点是的中点，将三角形ADE沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）通过，即可求证； （2）由等体积法即可求解； （3）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． （2）由（1）知是二面角的平面角，， 在中，， 在和中，， 所以，所以的面积为， 在平面中，作，与的延长线交于点， 则平面，由知， 的面积为， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积得， 所以点到平面的距离． （3）以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17．（15分）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）为定值0；（ii） 【分析】（1）结合题意得，，进而解方程即可求得椭圆方程； （2）（i）由题意知，故根据直线的斜率为0时得；再结合直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理即可求得； （ii）结合（i），根据弦长公式得由题，点到直线的距离为，再结合基本不等式求解面积的最值即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左焦点为，所以， 因为点为上一点，为的右焦点，所以， 因为的周长为12， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）因为直线与轴的交点为，所以． 当直线的斜率为0时，三点共线且在轴上，故，此时； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，化简消去得：， ， 解得或， 所以，由韦达定理得，， 所以 ， 综上，为定值0． （ii）由题． 点到直线的距离为， 所以， 令，则， 所以． 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，此时成立， 所以面积的最大值为 18．（17分）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 19．（17分）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学临考冲刺卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知一组数据：4,6,4,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【分析】求出a,根据第40百分位数定义可得答案 【详解】由题意可得二×(4+6+a+10+12)=8,解得a=8,将数据按升序排列可得4,6,8,10,12，因 为5x0,4=2为整数，所以该组数据的第40百分位数为6+8-7 2 2.已知集合A={nn=4k+1,k∈Z,集合B=1,3,5,7},则() A.BCA B.B∈ZA C.A∩B=B D.AUB≠A 【答案】D 【详解】集合A={mn=4k+1,k∈Z,集合B={1,3,5,7},检验B中元素是否属于A: k=0时，4×0+1=1∈A;k=1时，4×1+1=5∈A; 3,7无法表示为4k+1(k∈Z)的形式，故B中仅有1,5∈A,3,7EA. 选项A:B三A,即B中所有元素都属于A,不成立 选项B:B二A,即B中所有元素都不属于A,不成立. 选项C:A∩B=B,等价于B三A,不成立 选项D:因为B中存在元素3,7EA,故并集不等于A,AUB≠A成立 3.已知a,6为非零向量，命题p:a1乃和命题q:ab=5,则p是9的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断 【详解】若p:ā1b成立，则(a,b)=0(两向量同向)或(a,b)=π（两向量反向）， 当a,b)=π时，cos(a,b)=-1,此时ā.6=-d1≠|1，即q不成立， 因此卫推不出9，充分性不成立： 若q:ā.b=||成立，因为a,b是非零向量，|>0，>0，则cos(ab)=1, 结合(a,b)∈[0，得（ā，6）=0，即两向量同向，因此a1B,p成立， 即q能推出P,必要性成立： 综上，卫是9的必要不充分条件 4.己知数列{an}满足4=1，aH=(21-1)a.n∈N),则a4的值为() A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【详解】由题意知4=4=1,43=3a=3,44=54=15 5.已知sin8+sima+亚 =cos8,则sin20+2cos20=（) 3 cos20 A.√5+1 B.V3-1 C.35-3 D.35+3 【答案】C 【分析】由sin0+sinB+。 】=cos0,利用三角恒等变换得到an0=25,再利用同角三角函数 3 3 商数关系求解 【话解1因为sn9s如g+写引m0:m6cs写 cos sin 32m4 、π3： eos0=cos0 2 所以tano=2-V3 3 所以sin28+2cos20_2sin8cos日+2cos20_2tan0+2_2 c0s28 cos20-sin20 1-tan20 1-tan 0 =353 6.如图，正方体ABCD-ABCD棱长为4，点M是棱CC的中点，点E,F分别是线段AM,BM的 中点，则三棱锥E-ADF的体积为() D B A M A 20 A. B. 16 C.6 D.8 3 3 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解 【详解】以D为原点，建立如图空间直角坐标系. D B M 则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),A(4,0,4) 所以M(0,4,2),E(2,2,3),F(2,4,1) 在△ADF中，AD=4,AF=DF=√21， 所以S号AD-() 2 ×4xV21-2=2 又DE=(2,2,3),DA=(4,0,0),DF=(2,4,1) 设平面ADF的法向量为元=(x,y,),则 iLDA [n.DA=4x=0 取y=1可得元=(0,1，-4) iLDF i.DF=2x+4v+z=0 Di列 10+2-12 10v17 所以点E到平面ADF的距离为：h= 网V0+12+(4) 17 所以grA-2,100 173 .设双自线C号若-a0>0的左，右点色分别为R《e0,R仁0，过疾古R作双线的 一条新近线的垂线，垂足为4，若△RAR的面积为5，且双曲线的离心率e>,则e=() 4 A.2 B.5 C.2√3 D. 2W5 3 【答案】A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出风4-6，再可水Q-a,则Ss0,而 S45=2S45,再结合△RAR的面积为5c,从面可求出离心率 4 b b 【详解】双曲线的渐近线为y=士二x,由双曲线的对称性，不妨取y=二x,即bx-ay=0,则 a a FA= bdb,所以o4=Vor-=-F=a, b2+a 所以Ss助，因为a4的面积为5。，5-299n, 4 所以5e-2x3,得9(e+-0 4 1 4 、a 3+1=0 b_23或2， 3 因为e>√2，所以e=2. x2+2a-1 8.已知函数f(x)= ,x≥1， 在R上单调递增，则实数a的取值范围是() ael,x<1 A. B.(L2] c.[1,2] D.(0,1 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数∫(x)在R上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①h(y)=+20-1在L,+o)上单调递增： ②t(x)=a在(-o,1)上单调递增： ③当x→1时，t(x)→a,因此a≤h(1)=2a 对于0，要使h()=+?a-1在L,+o)上单调递增，则N)=-(2a-山上0在L,+m)上恒成立， 即2a-1≤x2在[1，+o)上恒成立， 所以2a-1≤(r)a因为x2≥1，所以2a-1≤1，解得a≤1： 对于②，因为y=e-1在(-o,1)上单调递增，所以t(x)=a在(-o,1)上单调递增时，a>0: 对于③，a≤2a,所以a≥0. 综上所述，实数a的取值范围是(0,1]，故D正确 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9在三角形ABC中，AC=5,BC=4,cos∠BAC=,则() A.sin∠BAC=3 B.△ABC的面积为6 C.C4-cB=3 D.AC.CB=16 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出AB的长，确定△ABC为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式 即可求解 【详解】由余弦定理得c0S∠BAC=1B2+4C2-BC_AB2+25-163 2·AB·AC 10·AB51 解得5-3，因为AB+BC2=AC,所以&ABC为直角三角形，B-子 对于A,sin∠BAC= C行故A销误：对于B,Sc=BC-34-6,放B正确： BC 4 2 2 对于C,ca-c⑧=cA-c=cci-2 CChcos(c y54-2x5x4手3，放C正确 对于D.CG-ada国o-到-d可(-osC网-54（)-16，故D错误 10.下列命题中，真命题的是() A.一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方 差变小 B.数据(3，)i=1,2,3,,10)组成一个样本，其回归直线方程为y=x-3,其中x=8.2,去除 一个异常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5) C.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，P(X≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07 D.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23： 【答案】BD 【分析】选项A:利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化：选项B:结 合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证 是否为给定的点：选项C:结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出P(X>4)和P(X<2),再 计算P(2≤X≤3)：选项D:将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数 值 【详解】选项A,设原样本有n个数据，原平均数x=3,总和为3： 添加数据3后，新总和为3+3=301+1)，新平均数7_3(0+)=3，平均数不变 n+1 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差g=心+6》-0+00；当原方差不为0时，原方差了2=2(4-3分， n+1n+1 新方差y=心+6-3：”<52，方差变小，错误 n+1n+1 选项B,原回归直线)=x-3必过原样本中心点（不，可），代入x=8.2,得原下=82-3=52 原10个点总x=10×8.2=82,总y=10×5.2=52;去掉异常点1,7)后， 新样本中心点：7=821=9，了=27=5，即新中心点为9， 9 回归直线必过样本中心点，正确。 选项C,X~N(3,σ)，正态曲线对称轴为x=3,P(X≤4)=0.64， 则P(X>4)=1-0.64=0.36,由对称性得P(X<2)=P(X>4)=0.36, 因此：P2≤X≤3)=1-PX<2）-PX>9-1036x2=0.14≠007，错误 2 选项D,将数据从小到大排序：12,14,15,17,19,23,27,30，共n=8个数据， 计算i=8×70%=5.6,i不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第6个数据为第70百分位数，第6个数据23，正确。 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M,N,Q分别为DC,CC,BC的中点，点P为 线段AM上的动点，则下列说法正确的是() D C A B P Di A.AM⊥DN B.Va-AON3 C.当P为线段AM中点时，PQ∥平面ABBA D.点P到直线D”的距离的最小值为25 5 【答案】ACD 【详解】以D为原点，DA,DC,DD方向分别为x,少，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),B(2,2,2),C1(0,2,2),D(0,0,2),M(0,1,0),N(0,2,1), 91,2,0) 2米 C A D A 5 A选项，可求得AM=(-2,1,-2),DN=(0,2,1D,所以AMDN=0+2-2=0,因此4M⊥DN,所 以A选项正确： B选项，在aBNO中，B0=BN=V5.0=V2,cos∠N82-B2+BN-ON4 2BO.BN sin∠WB,2= 气图-8子0aN如0-5v5专- 因 13 -32 2=1,所以B选项错误： C选项，若为线段4M中点时，则P1,所以P0=(0号- 易得平面ABBA的一个法向 量为i=AD=(-1,0,0),所以n.PO=0,且P2文平面ABBA,所以PQ1∥平面ABBA,所以C选 项正确：D选项，AM=（-2,1,-2),AP=(-2,,-2),其中0≤1≤1， DP=DA+AP=(2-2元，1,2-22)，DD=(0,0,2), 所以点P到直线DD的距离d= DP.DD DP DD. 且DP=(2-2n)}2++(2-2)2=9-161+8,Dp.DD=4-42,DD=2, 代入可得：d=92-162+8- 4-4) 2 =V522-81+4, 当1=5时，52-82+4有最小值5x 4_25 所以D选项正确 5 5 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知复数z满足2·三+2：=8+6i,则z= 【答案】-1+3i 【详解】设z=a+bi,a,beR,则三=a-bi,zz=a2+b2, 代入原式得a2+b2+2a+2bi=8+6i, [a2+b2+2a=8 「a2+2a+1=0 a=-1 ,即 b=3 ,解得 2b=6 b=3,2=a+bi=-1+3i. 2)￥ 13 x+1+ 的展开式中的常数项为 【答案】49 【分析】分类讨论利用多项式展开式的通项公式求解即可。 【详解(+小〔+++ 展开式中得到常数项的方法分类如 下：(1)4个因式全取1，相乘得到常数项.常数项为C414=1: 2)4个因式中有1个取x,则再取1个，其余因式1，相乘得到答致项常数项为 2) 1P=24:34个因式中有2个取x,则再取2个2，相乘得到常数项为CaxC 3 =24, 合并同类项，所以展开式中常数项为1+24+24=49 14.己知F是抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点，A,B是抛物线C上不同的两点，且满足∠AF8= 3 d+d 设A,B到抛物线C的准线的距离分别为d,d,则 AB 的最大值为 【答案】2w3 3 【分析】利用抛物线的定义，及余弦定理结合基本不等式计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知d,=AF,d,=BF, 由余弦定理可知AB=VAF+BF-2 AF BF.cos∠AFB=√d+d+dd,, d+d, (d+d4)2 dd 1 所以AB 1+ 1+ d+d+dd d +d+dd 4++1 dd 2W3 d.d4+1 ，当且仅当=4，时取得等号，即4十的最大值为 2d d AB 3 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 知正项数列a}满足4三，2a++3 (1)求{a}的通项公式： 1 (2）i记b,=1og,a,1og,a1 求数列b}的前n项和S 【案10a @8=4 【分析】(1)根据已知式子化简得出a0，即可根据等比数列的定义证明： (2)根据小问一结果得出a,即可得出b.,根据裂项相消法得出答案 【详解】(1)因为2a+1+3a,4+1-2G=0,所以(2a+1-a)(a+1+2a)=0, 又{a}为正项数列，所以20H-a.=0,即41=2.， 又因为a方所以a,是首项为，公比为时的等比数列， 所以a”- 2》由知a=周，所以aas固=g,2,则g,4.-a+. 1 111 所以b= og,4.-l0g2（-m儿-(n+1]n2+1)nn+1' 8=4+6+a--日)+日司1 16.(15分)如图，已知梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E是AB的中 点，将三角形ADE沿DE折起到△PD的位置，使二面角P-DB-C的大小为 (1)证明：DE⊥平面PBE; (2)求点C到平面PBD的距离： (3)求二面角B-PC-D的正弦值， 【答案】()证明见解析 os 6)26 7 【分析】(I)通过DE⊥PE,DE⊥BE,即可求证： (2)由等体积法即可求解： (3)建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解 【详解】(1)证明：因为在梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E是AB的 中点， 所以四边形BCDE是正方形，所以DE L AB, 所以将△ADE沿DE折起到△PDE的位置时，DP⊥PE,DE⊥BE, 又PE∩BE=E,PE,BEC平面PBE,所以DE⊥平面PBE, (2)由(1)知∠PEB是二面角P-DE-C的平面角，∠PEB= 3 在△PEB中，PE=BE=1,PB=√PE2+BE2-2 PE.BEcos.∠PEB=V3, 在APED和△DEB中，PE=BE=DE=1,DE⊥PE,DE⊥BE, 所以PD=BD=V2,所以△PBD的面积为 4 在平面PBE中，作PF⊥BE,与BE的延长线交于点F, 则PFL平面BCDB,由PE=I知BrPP:3 2 △BCD的面积为5， 设点C到平面PBD的距离为d,由三棱锥P-BCD的体积得Sd-}SmP7, 所以点C到平面PBD的距离d=5 (3)以ED,EB为x轴，y轴，过E与PF平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B 则8Qa0.100,a10.d10号c9 设=（化y,)为平面PBC的一个法向量，则 ,35 i.PC=0 z=0 即 22 i.PB=0 3 -z=0 2 取y=1,得x=0,=√3 则n=(01,5), 设i=(a,b,c)为平面PcD的一个法向量，则 i PC=0 a+b- 3 即 202c0 im.PD=0 1. a+-b- -C=0 2 取z=2,得y=0,x=√5 则m=（30,2), 所以cos(m,训 成元 23√21 列 2x√7 7, 所以二面角B-PC-D的正弦值为 √21 2√万 7 > 17.15分）在平面直角坐标系0巾，点(-2.0)为椭圆8话卡1a>b>0的左焦点，点P 为E上一点，F为E的右焦点，且△P耳耳的周长为12. (1)求椭圆E的标准方程： (②若直线x=-工与x轴的交点为r,过点T的直线与E交于4，B两点，设直线A,BR的斜率分 别为k,飞· ()k+飞是否为定值？若是，则求出这个定值：若不是，请说明理由： (ii)求△ABF面积的最大值， 【灯0后 =1 (2)(i)k+k为定值0：(i)35 【分析】(1)结合题意得c=2,2a+2c=12,进而解方程即可求得椭圆方程： (2)()由题意知T(-8,O),故根据直线AB的斜率为0时得k+k=0:再结合直线AB的斜率不 为0时，设直线AB的方程为x=y-8,A(x,),B(:,乃)，进而联立方程，结合韦达定理即可求 得k+k2=0: (iD结合①，根据弦长公式得由题8=24+加·ym-4(㎡>4)：点R到直线AB的距离为 3m+4 十m,再结合基本不等式求解面积的最值即可 6 d= 【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,因为椭圆的左焦点为耳(-2,0)，所以c=2, 因为点P为E上一点，乃为E的右焦点，所以P+P=2a, 因为△P耳乃的周长为12， 所以P+P+E=2a+2c=12, 所以a=4,b2=a2-c2=12 所以路网A的标本方程为后若=1 (2)()因为直线x=-①与x轴的交点为7，所以T(←-8,0). c 当直线AB的斜率为0时，A,B,耳三点共线且在x轴上，故k=k23=0,此时k+k,=0: 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=y-8,A(:,乃)，B(,2), 「x=y-8 联立{+卫-1 化简消去x得：(32+4)y2-48y+144=0, 1612 △=(-48m)-4×(3m2+4)×144=144×16m2-144×43m2+4)=576(m2-4)>0, 解得m<-2或m>2, 487 144 所以，由韦达定理得y+F3m+4:43m+4' 所以k+k=片。+为三乃+当 x1+2X2+2%-6y2-6 2m.14-6.48L 2m%y3-6(y+y) 32+43m2+4 m%为-6(y+)+36m2.144 3m2+46 48m 3m2+4+36 288l 288m 3m2+43m2+4 288m-288m0. 144m2-288m2+3632+4） 364-m2） 3m2+4 综上，k+k为定值0. (i)由题AB到=V1+mVH+5)}-4y5 24+m.nt-4(>: 3m2+4 点(-2,0)到直线AB:x=-8的距离为d=上2-m0+8_,6 V1+2 +m, 所以hd-}24mym4 6 720m2-4 Γ232+4 V1+m2 32+4 令t=√m2-4(t>0),则m2=t2+4, 72t 72 所以5=3买+163+6 因为36+16 16 =83,当且仅当3=16，即f=4W5时等号成立， t t 3 所以S 7272 3+168V =5 当且仅当t=45时等号成立，此时m㎡ 3 28,4成立， 3 所以△AB?面积的最大值为3√3 F x=-8 18.(17分)已知函数f(x)=a血x (aeR且a≠0). (1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值： (2)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标： (3)若函数g(e)= -+x+2-a的图像与y=f(x)的图像相交于相异两点A和B,求a的取值范围. 4 【答案】极大值f(e)=血e- =二，无极小值 ee (2)a=1,切点坐标为(1,0) (3)a的取值范围(2e,+o) 【分析】(1)求导找单调性变化点，进而确定极值： (2)先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方 程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出α和切点坐标： (3)将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数 范围 【详解】1①当a=1时，)-.f()的定义域为(0o). 1.x-()l1-lnx, f(x)= x2 x2 令f'(x)=0,得x=e, 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x>e时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以f()在x=e处取极大值f(e)=血e=, =一，无极小值. ee 2)f(y=a0-ny】 x2 设切点为(，），切线=-1的斜率为1，所以/飞)a0-)-1D。 因为切点同时在曲线和切线上，所以为=血五=。-1②， 由①得a(1-lnx)=③，由②得ah=(6-1)④， ③+④得a=+(6-1)=2-⑤， 将⑤代入②中附2G-)血5：61，即(2西-1)5=5-1©. 设m(o)=2-n-(-,m-2nx1 令n(e)=m(e)=2nx+1-1, 南0，得-是日20，--hx1调磁 1 又n)=mi0)-2h1+1-0. 所以0<x<1时，n(x)=m'(x)<0,(x)单调递减， x>1时，n(x)=(x)>0,(x)单调递增， 又m(1)=(2×1-1)h1-(1-1)=0, 所以x=1是m(x)=(2x-1)nx-（x-1)的唯一零点， 即=1方程⑥的根，代入⑤得a=1,切点坐标为(1,0). (3)令f(d=g(),即anr-+r+2-a,整理得xr+(2-ax+￠-air=0, x 4x 4 问慰转化为x'+2-ax+￠air=0在x>0有2个不同正根， 4 令h)=+(2-ax+年a>0). Nx)=2x+(2-a）a(2x-ac+1 1 若a<0,则H(x)>0,h(x)在(0，+o)单调递增，最多1个零点，不符合题意， 若a>0,令四=0，得-分 当0<x<时，1(x)<0,h(x)单调递减， 当x>时，(y)>0,h()单调递增， 要使h(x)有2个不同零点，需满足极小值小于0（当x→0*和x→+m时，h(x)→+o满足题意）， 所以侣（ +2-axg+-mg<0,解得a>2c, 24 2 所以a的取值范围(2e,+∞). 19.(17分)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动规则如下： 消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为 0.4).闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠 券可叠加使用抵扣支付金额.已知消费者闯过第一关的概率为P,闯过第二关的概率为P.某生产 商将商品定价100元，成本41元：优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若P=0.8,p=0.5,记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)，求X的分布 列和数学期望E(X); (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r(p)=0.2+0.4p+0.2, 记生产商销售一件该商品的期望利润为(p)(单位：元).（期望利润=购买概率×（支付金额的期 望-商品成本)-优惠券成本的期望) (i)求f(p)关于P的函数表达式： (i)证明：f(p)在[0，]内存在唯一极大值点，并求当P为何值时，商家期望利润f(p)最大？最大 期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)X分布列见详解，E(X)=80.8 (2)(i)f(p)=-4p3+p2+4p+4.8 2 (i)证明见详解，p=。时，f(p)最大期望利润为6.7 【分析】(1)分析消费者实际支付金额X的所有可能取值，计算每个X取值对应的概率，得到分 布列，计算E(X): (2)()计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进 阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率r(),代入支付金额期望、商 品成本、优惠券成本期望，得到f(P)的函数表达式： (i)对∫(P)求导，得到导函数(p),分析导函数在[0,1]内的单调性，找到导函数极大值点，代 入∫()计算最大期望利润 【详解】(1)实际支付金额的所有可能取值为60,70,80,90,100， P(X=100)=1-P0=0.2, P(X=90)=P(1-p)0.6=0.8×0.5×0.6=0.24, P(X=80)=0(1-p)0.4=0.8×0.5×0.4=0.16, P(X=70)=pD.0.6=0.8×0.5×0.6=0.24, P(X=60)=pp.0.4=0.8×0.5×0.4=0.16, X的分布列为： X 60 70 80 90 100 P 0.16 0.24 0.16 0.24 0.2 E(X)=60×0.16+70×0.24+80×0.16+90×0.24+100×0.2=80.8 (2)(①求f(P)的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：E(X)=100-(10×0.6+20×0.4+20pF86-20p, E(X)-商品成本=(86-20p)-41=45-20p, 优惠券成本期望：基础券成本=(10×0.6+20×0.4)×30%=4.2， 进阶券成本=20p×50%=10p, 总成本期望=4.2+10p, 购买概率r(p)=0.2+0.4p+0.2, 代入公式：f(p)=r(p)(45-20p)-(4.2+10p)）=0.2+0.4p+0.2p2)45-20p4.2-10p =-4p3+p2+4p+4.80≤p≤) (i)对f(p)求导得："(p)=-12p2+2p+4 令f(P)-0,整理得6p-p-2-0,解得根为p号p=专（合去，不在Q内。 当n0引时.f(p0,)单调港猫。 时，f'(p)<0,f(p)单调递减： 因此f(P)在[0,1]内存在唯一极大值点p= 且该点为最大值点， 计算最大期望利润： +4x2+48≈67.2026年高考数学临考冲刺卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知一组数据：4,6,4,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为() A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知集合A={nn=4k+1,k∈Z,集合B={L,3,5,7},则() A.B∈A B.B∈izA C.A∩B=B D.AUB≠A 3.已知a,6为非零向量，命题p:ā/仍和命题q:a.i=,则p是9的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{a}满足4=1，aH=(21-1)a.∈N),则a4的值为() A.13 B.14 C.15 D.16 5.已知sin0+sim日+） =cos,in20+2cos0=() 3 cos20 A.5+1 B.V5-1 C.35-3 D.35+3 D 6.如图，正方体ABCD-ABCD棱长为4，点M是棱CC1的中点，点E,F分 B A 别是线段AM,BM的中点，则三棱锥E-ADF的体积为() E A.20 3 B.16 3 C.6 D.8 段双重线C号芳aQb~0的左有俄点分别为(e0.e0,过信点尽作双曲钱的 一条新近线的垂线，垂足为A,若△RAR的面积为5，且双曲线的离心率e>2,则e=() 4 A.2 B.5 C.23 D.2V5 3 x2+2a-1 x≥1， 8.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是() ae-1,x<1 B.(L2] c.[h,2] D.(0,1] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在三角形ABC中，AC5,BC=4,cos∠BAC=,则() A.sin∠BAC=3 B.△ABC的面积为6 4 C.C4-CB =3 D.AC.CB=16 10.下列命题中，真命题的是() A.一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方 差变小 B.数据(3，y)i=1,2,3,,10)组成一个样本，其回归直线方程为y=x-3,其中x=8.2,去除 一个异常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5) C.若随机变量X服从正态分布N(3,o2),P(X≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07 D.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23： D C 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点M,N,Q分别为 B DC,CC,BC的中点，点P为线段AM上的动点，则下列说法正确的是() A.AM⊥DN 4 B.VB-AON= 3 C.当P为线段AM中点时，PQ/平面ABBA D.点P到直线DD的距离的最小值为25 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足：·三+2z=8+6i,则z= 13. 的展开式中的常数项为 14.已知F是抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点，A,B是抛物线C上不同的两点，且满足∠AFB=2π 31 殴B到抛物线C的雅线的距离分别为4，d,则“B的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知正项数列a}满足a-号22+5a2g-0 (1)求{an}的通项公式： (2)=log d -,求数列bn}的前n项和S. 16.(15分)如图，已知梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E是AB的中 点，将三角形ADE沿DE折起到△PDB的位置，使二面角P-DE-C的大小为亚 3 B -=B D (I)证明：DE⊥平面PBE: (2)求点C到平面PBD的距离： (3)求二面角B-PC-D的正弦值. 1715分)在平国直角坐标系0中，点-20为解园号+卡1a>b~0的焦点，点： 为E上一点，F为E的右焦点，且△P耳的周长为12. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线x=-￠与x轴的交点为T,过点T的直线与B交于4，B两点，设直线A奶，BR的斜率分 别为k1k2. ()k,+,是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由： (ii)求△ABE面积的最大值. 18.(17分)已知函数f(x)=alnx(aeR且a≠0). (1)当a=1时，求函数y=f(x)的极值： (2)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标； 3)若函数g(田)=C+r+2-a的图像与y=f(x)的图像相交于相异两点A和B,求a的取值范围. 4x 19.(17分)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关活动.活动规则如下： 消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为 0.4).闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠 券可叠加使用抵扣支付金额.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为P.某生产 商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. (1)若=0.8，p=0.5,记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)，求X的分布 列和数学期望E(): (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为r(p)=0.2+0.4p+0.2p, 记生产商销售一件该商品的期望利润为f(p)(单位：元).（期望利润=购买概率×（支付金额的期 望-商品成本)-优惠券成本的期望) (i)求f(p)关于P的函数表达式： (i)证明：f(p)在[0，山内存在唯一极大值点，并求当P为何值时，商家期望利润f(p)最大？最大 期望利润是多少？（结果保留1位小数） 2026年高考数学临考冲刺卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列满足，则的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 7．设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 10．下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 11．如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为线段中点时，平面 D．点到直线的距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则___________． 13．的展开式中的常数项为______． 14．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．（15分）如图，已知梯形中，，点是的中点，将三角形ADE沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 17．（15分）在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为． （i）是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 18．（17分）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 19．（17分）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $