2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷通用）

2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.己知复数z=2+i,则 2+ z-i A.√5 B.√2 C.1 D.2 【答案】B 【详解1因为2生产-1+i,+i反所以-5 z-i 2 2.已知集合A={y=V-x2+2x,集合B={yy=e},则AnB=() A.(0,2] B.(0,] C.☑ D.R 【答案】A 【详解】由-x2+2x≥0，得0≤x≤2，故A={x0≤x≤2}，B=y|y>0},故A∩B=(0,2]. 3.已知平面向量a,万满足=2，=3，且ā-6=-6，则a-=() A.1 B.5 C.3 D.5 【答案】B 【详解】由a-引=a-2a.6+6=2-2×(-6)+32=25,则a-=5. 4.己知Sn为等比数列{an}的前n项和，S。=728,S3=26,则a=（) A.152 B.162 C.165 D.172 【答案】B S3=a(1+q+g2)=26 【详解】设等比数列{an}的公比为9，则 S。-S,=a93(1+9+g2)）=702 解得a1=2,9=3,所以a=ag=162 5.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2sin4=3sinB,b=2,cosC= 则c=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理a,=b sin A sin B -可得asin B=bsinA. 3 已知2sinA=3sinB,变形得sinA=。sinB,且b=2, 2 将其代入正弦定理公式得：a=bsind_2×)加B 3 sin B sin B 由余孩定理c=+6-2bcC,代入a=3,b=2,csC=得：=子+2-2X30心9449 因为边长c>0,所以c=√9=3 6.给某班级星期一上午排课，一共5节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同）， 要求两节体育课必须相邻，则不同的排课种数有() A.48 B.60 C.24 D.12 【答案】C 【详解】采用捆绑法，将两节相邻的体育课视为一个整体 此时需排列的元素为语文、数学、外语、体育整体，共4个元素 4个元素的全排列数为A=4!=24.由于两节体育课为相同课程，内部无需再排列. 因此，不同的排课种数为24. 7已如双制线C羊。=a>Q6>0)的左、右能点分别为5，，气为质点华标园 点，焦点为F,的抛物线，过F作C,的一条渐近线的垂线交C,于点P,且OP=|OF引，设双 曲线C的离心率为e,则e2=() A. 3v15 B.2 3+V5 C D.3 2 2 【答案】C 【分析】根据双曲线及其渐近线的几何性质，结合己知条件求出点P,再利用抛物线的性质 构造方程，进而求出e2. 【详解】 设PF与渐近线交于点Q,由OF=|OP,可知Q是FP的中点， V= (x+C) 不妨设FP所在直线的方程为y= （x+c),联立 b a2 ab 可得Q b b y=-一x a 2a 2ab 由F(-c,0)及中点坐标公式得， c'c 由题意得抛物线C2的方程为y2=4Cx, 将P点坐标代入可得 2ab 2a2 =4c c- 整理得e-3e2+1=0,解得e2-3+5 2 「ax+L,x≤2 8.已知函数f(x)= 1 在R上单调递增，则实数a的取值范围为() -,x>2 A. c. 【答案】D 【详解】当x>2时，f)=x-,求导得/(=1+是>0， .f(x)在(2，+∞)上单调递增； 当x≤2时，f(x)=ax+1,函数单调递增，则a>0, 当xs2时.f=2+1,当x2时.▣f)-2} 1 则2a+1≤，解得a 。1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为5000个与3000 个现按比例分层抽样，共抽取160个任务进行延迟测试（单位：s)经计算，代码 生成样本均值为212ms,方差为80ms2;数学证明样本均值为180ms,方差为50ms2, 下列说法中正确的有() 正明任务被抽中的概率为是B.代码生成任多 C.总样本的均值为200ms D.总样本的方差为65ms2 【答案】BC 3000 【详解】对于A选项，数学证明的样本容量为160× =60, 5000+3000 所以每个数学证明任务拔抽中的概率为，08.0·故A法项错。 对于B选项，代码生成任务的样本容量为160×。5000 =100,故B选项对： 5000+3000 对于C选项，因为样本容量是160， 且100个代码生成样本均值为212ms,60个数学证明样本均值为180ms, 所以总样本的均值是212×10+180×60 =200ms,故C选项对： 160 对于D选项，因为代码生成样本均值为212ms,方差为80ms2; 数学证明样本均值为180ms,方差为50ms2; 总样本的均值是200ms,所以总样本的方差为 -101s0+212-20r门+7侧[0+080-20y]=30875nms,傲D走项锦 160 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD的中点， 点P在线段CM上运动，下列选项正确的是() M A A.M,D,D,C四点共面 B.存在点P,使得∠B,PD=90° C.平面CMN截正方体ABCD-ABCD所得的截面图形是五边形 D.点B到平面CMN的距离是Y5 【答案】BC 【分析】对于A:可知MD,与CD为异面直线，进而分析判断：对于B:建系并标点，根据 空间向量垂直的坐标表示运算求解；对于C:作辅助线，进而分析截面；对于D:利用等体 积法求点到面的距离 【详解】对于选项A:因为MD,与CD为异面直线，所以M,D,D,C四点不共面，故A 错误； 对于选项B:建立如图所示空间直角坐标系， Z孙 A M B D 则B(2,0,2),D(0,2,2),C(2,2,0),M(1,0,2) 设PC=MC,0≤≤1，可得PC=MC=元(1,2，-2)， 又因为B(2,0,2),D(0,2,2),C(2,2,0),M(1,0,2),则P(2-,2-22,2), 可得PB,=(2,2元-2,2-2)，PD=（2-2,22,2-22), 假设存在点P使得∠BPD=90°，则PB·PD=1(2-2)+2元(21-2)+(2-2)2=0， 整理得92-14以+4=0，解得2=7+西>1（合去），或元=7-3 9 所以存在点P,使得∠B,PD,=90°，故B正确： 对于选项C:如图，直线MN与C,B,CD的延长线分别交于M1,N, A M M M B 连接CM,CN1分别交BB,DD,于M2,N2,连接MM2,NN, 则五边形MM,CV2N即为所求的截面图形，故C正确. 对于选项D:设点B,到平面CMN的距离为h, A M B 由正方体ABCD-ABCD的棱长为2可得CM=CN=3,MN=√2， 3 2 6 11 VC-BMN 2 S.BMNCC1=2××2= 3 32 号，由aw=化w,即万A=号，可得h 6 3 17 所以点B到平面CMN的距离是h=2 ,故D错误 17 11.己知函数f(x)=x3+3x2+ax+b,b∈R,使得f(x)有三个零点x,x2,x,且x<x2<x, 则下列说法正确的是() A.a的取值范围为(-o,3) B.x2x3-2<0 C.若f(2-x)+f(x-4)>4,则b>a D.函数f(x)在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 【答案】AC 【分析】对于A,根据题意可知函数f(x)至少有两个极值点，则∫'(x)=0有两个不相等的 实数根，再求导结合根的判别式即可判断；对于B,举例说明即可：对于C,代入解不等式 即可得到b>a;对于D,由题得f(x)=x3+3x2+ax+b=(x-x)(x-x)(x-x),再求导， 利用导数的几何意义，计算石)十于（巧）十云的值， 【详解】解：对于A,因为f(x)有三个零点，得函数(x)至少有两个极值点， 因为f'(x)=3x2+6x+a,所以f'(x)=0有两个不相等的实数根， 所以△=36-12a>0,解得a<3,故A正确： 对于B,a=-16,b=12时，f(x)=x3+3x2-16x+12=(x+6)(x-1)(x-2), ∴f(x)=0的解为x=-6,x=1,x3=2,此时x2x3-2=0,故B错误： 对于C, f(2-x)+f(x-4)=(2-x)+32-x)+a-x+b+k-4j+3-4)+a-4}b =-2a+2b+4>4,所以2b>2a,所以b>a,故C正确： 对于D,由题得f(x)=x3+3x2+ax+b=(x-x)(x-x2)(x-x),其简图如下： 0→f()-(-x-x片e-x)[k,)x】, 所以f'(x)=(x-x2)(x-x),同理f'(x2)=(x2-x)x2-x),f'(x)=(x-x)x3-x2), 1 1 1 1 1 故r))f(G--x)(G--)(G-西为】 ,-)+(s-)+伍-=0，故D错误。 (x-x2)(x-x3)(x2-x) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=asinx-V5cosx的一个零点是买，则函数y=f()的最大值为 【答案】2 【分析】根据) 元 =0求得a=1,再用辅助角公式化简f(x),从而得到f(x)的最大值 【详解】由题意f -asn号5cos-0，所以a=1, 所以f(x)=sinx-V3cosx=2 √3 -sinx- cos*-2sin) 又smx-到引e-:所以f)-2,2,故/()的最大值为2 故答案为：2. 13.已知函数f(x)=2-2,若f 2ax2- 8 +f(ax)<0恒成立，则a的取值范围是 【答案】-3<a≤0 【分折】先判断f()的奇偶性，再判断)单调性，根据/2r-}八<0恒成立， 则即求2a2-】<-ax恒成立，讨论a=0,a≠0两种情况，即可求解， 8 【详解】根据题意知x∈R,f(-x)=2x-2”=-f(x),所以可知f(x)为奇函数， 而y=2单调递增，y=2单调递减，即y=-2单调递增，所以f(x)=2”-2单调递增， 面/小ar-引<0恒成立，则即2ax-引-ac)/(r)恒成立， 所以可得2ax2_3 <-ax恒成立， 当a=0, 8<0恒成立，所以符合条件： 当a≠0,2ar+x<0恒成立，则需要a<0且A=a+3a<0 化简可得-3<a<0,综上所述-3<a≤0. 故答案为：-3<a≤0 14.在△OAB中，O为坐标原点，点A为抛物线y=- 2r的准线与坐标轴的交点，点B在 1 x轴上，其横坐标为直线x-2y+4=0在x轴上的截距，则△OAB内切圆的标准方程为 【答案】(x+1)2+(y-1)=1 【分析】利用抛物线方程可得其准线方程，即可得点A,再求出点B后即可得△OAB各点 坐标，结合等面积法可求出△OAB内切圆的半径，即可得其圆心坐标，即可得解， 【详解】兆物线y=方的准线方程为)=3，则4Q), 直线x-2y+4=0在x轴上的截距为-4，故B(-4,0), 设△OAB内切圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r2, 则分×34非+4+6+)，解得r=1,该圆与x轴、y轴相切，故回=6=r=, 由△OAB内切圆圆心在△OAB内部，故圆心坐标为(-1,1)， 即△OAB内切圆的标准方程为(x+1)+(y-1)=1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知f(x)=V5cos2x+2sinx- sin(x)R (1)求y=f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,钝角A满足f(A)=-V3,b=3,c=2, 点D为线段BC上一点，且∠CAD=3∠BAD,求AD的长 【答案】（山）最小正周期为元，增区间为a-江 kez ②36 4 【分析】(1)整理得/()=2sn2x+写引，可求得其最小正周期及单调递增区间： 2)由题意可求得4=径，结合已知可得∠C4AD=∠BD-名利用Sx=S+Sm 6 可求得AD的长. 【详解】(1)由f(x)=V3cos2x+2simx-刀sin(π+x) 2 =6cos2x+2osinx=6co2x+sm2x=2snx+f} 则问的最小正周期T:受-x。 令2k-Is2x+Ts2m+元，k∈Z时，解得km-Sπsx≤k+工k∈Z, 12 12 故函数y=f(x)的增区间为k标-亚，a+ ,k eZ: 121 12 2圆为ya=.则m24引-9. 由于4后列则2写）所以24解得4 3 又∠CD=3480.则<CD-受<BD-若 又由于Se=So+Sm,符besin∠B4C=Dsin.∠B4D+Dsin∠C4D, )×3x2x5工x2Dx+x3D,解附033 11 、221 22 4 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2, AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点. B (1)求证：CM/平面PAB; (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： (i)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出职的 BD 值：若不存在，请说明理由， 【答案】()证明见解析 (2)(i)V6 (i)存在， BO =-3+25 3 BD 【分析】(1)取PA中点N,连接BN,MW,根据线线平行证明线面平行： (2)()建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角 余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值： (i)设BQ=入BD(O≤入≤1)，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】(1)取PA中点N,连接BN,MW, B 因为M为PD中点，所以MN1IAD,且MN=AD=1, 又BC=L,BC/IAD,所以BC/IMN,BC=MN, 所以四边形BCMN为平行四边形，即CMI/BN, 又BNc平面PAB,CME平面PAB,所以CMII平面PAB: (2)(i)因为PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系： ZA 卡B 则4(0,0,0)，B(1,0,0),C11,0),D0,2,0),P(0,0,2), 所以AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0), 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADc平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为AD=(O,2,0), PD.ii=2b-2c=0 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 CD.n=-a+b=0 25 不妨取a=1,则n=(L,L,1),则cos AD,i- 21+1+13 所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为， 3 (i)存在点Q满足题意，易知BD=(-1,2,0), 假设存在点Q满足题意，设BQ=入BD=(-1,2),0)(0≤入≤1)， 所以Q1-入，2,0)，AQ=(1-1,21,0), AP.m=2z=0 设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z),则 AQ-m=(1-)x+2y=0 令x=22,则m=(22,入-1,0)， AD.m 所以点D到平面PAQ的距离d= 2(2-1 =1,化简可得12+61-3=0， V(22)2+(2-1)2 解得元=-3+2V5或元=-3-25（合去），即吧-3+25 BD 17.(15分)已奥双自线C手茶=(a>b>0)的离心率为E,右焦为，M是双 曲线上一点，MF⊥x轴，MF=√2 (1)求双曲线C的标准方程. (2)过点F作斜率为√万的直线交该双曲线于A,B两点，且AF=FB(2>1): (i)求的值； (i)若点P不在直线AB上，且点P满足：PF平分∠APB,求PAB面积的最大值. 【答案】)广-1 22 2)(i)3;()8 3 【分析】(1)将x=c代入双曲线方程，可得y=士女，得到女反，再由二=反，联立求 得a,b的值，即可求解： (2)(i)求得AB方程为y=V万(x-2),联立方程组，求得交点A,B坐标，再由AF=FB, 转化为-y=九y2,即可求解： (i)设P(x,),得到PA=9PB,化简得到点P的轨迹是一个圆，且圆心满足AB的方 程，进而求得△PAB面积最大值. 【详解)D解：设双曲线。1的右焦点为F(G0),将=©代入双曲线方程，可得 y=±公，因为M是双曲线上一点，Mr⊥x轴，且MF=5,所以=2， a 又因为双曲线C的离心率为√2，所以e=C=2,即c=√2a, 因为=c2-a2,可得a=b=√，所以双曲线的标准方程为父 =1 22 (2)解：(i)由(1)知c=√2a=2,所以F(2,0),且k=7, 可得直线4B方程为y=万(：-2)，即=方*2， y X= +2 7 联立方程组 x22 整理得6y2-4W万y-14=0,即(2y-2万)3y+万)=0， 2 =1 2 因为AF=元FB,可得-y=y,即-V万=元 解得入=3. PA_F4=3,即PA=9PB, (i)设P(,y),由三角形内角平分线的性质，可得P8FB 旷可-区-引++引化满引92， 所以点P的轨迹是一个圆，其圆心为 3 满足AB的方程y=V7(x-2), 当△PAB面积最大时，高为半径√2， 又5，-8，故8积的量大植为5-§ 23 3 18.(17分)第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上 海)举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该 公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同 的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过 程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败， 然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功. (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关） ()记该人闯关的轮数为X,求X的分布列和数学期望： (i)在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率. 1 (2)记闯关者前n(n∈N)轮闯关成功的概率之和为pn,证明： .1 31 【答案】（①）()分布列见解析， m 49 (2)证明见解析 【分析】(1)()分别计算出X取1,2,3对应的概率，列出分布列，求出期望： (i)用条件概率公式进行求解； 12 2)法一：根据裂项相消发化简得卫，-号3m+2)结合n之1证不等式： 12 法二：计算1-P.,用平方差公式展开约分，得D,=33m+2 ,结合n≥1证不等式： 【详解】(1)()由题意知X的所有可能取值为1,2,3， x-----周召s-1-1-母 所以X的分布列为 2 1 1 P 6 9 18 则X的数学期望E(X)=1x+2x1+3×3=49 9 18 618 (i)设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，S,(i=1,2,3)表示该 人第i轮闯关成功， 则Ps)-gPs)-8P(s)（-gGG=0 PB)=P(S)+P(S,)+P(S,)=g+18+305 1111 Aa)=Ps)+Ps)G05 4 由条件概率的计算公式可得PF1B)=PBD_45=4, P(B)19 5 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为 2)法：由题意知a宝动》++-》 cai 所以 后品小6a 2 1121 因为n≥1，所以0<3n+2)g,所g33+2引3 所以)p.<行 1 法二：由题意知 以》〔-沙可*+a 则 -》n -分w -计 * -+-+》+42+42 2435 3344 n+1n+1n+2n+2(34 n+234 n+2 2、n+3_2 2 (1,1）12 1+ Bm+2.3×+n+2所以p,=13m+2330n+27 2 2 1121 因为n≥1，所以0<+2g所以g33+2行所以。< 19.(17分)已知函数f(x)=x2-1+aln(1+x), (1)当a=-4时，讨论函数单调性： (2)当a=2时，若对任意x∈(-1，+o),不等式f(x)+x+2≤be+lnb恒成立，求b的最小值； (3)若f(x)存在两个不同的极值点x,x2,x<x2,且f(x)<x2,求实数m取值范围. 【答案】(1)函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减： a 3 3)-o,2+n2 【分析】(1)利用导数与单调性的关系即可求解： (2)利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； (3)先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解 【详解)0D由=-140+)得/)=2x-4-2+2-e>-1)。 1+x 1+x 令f'(x)>0,得x>1,故函数f(x)在区间(1，+o)上单调递增， 令∫'(x)<0,得-1<x<1,故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减， 综上，函数f(x)在区间(1，+o)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减： (2)当a=2时，不等式可化为x2-1+2ln(1+x)+x+2≤be+lnb, 变形为x2+2x+1+2ln(1+x)≤be+lnb+x即(x+1)}'+ln(1+x)}≤be*+n(be） 同构函数g()=t+lnt,求导得g(t)=1+>0, 所以g(t)=t+nt在(0，+oo)上是增函数 所以原不等式可化为g(x+1))sg(be)）, 根据单调性可得：(x+1）≤bc台b≥+ exe（l,+o) 再构造()=红+少，则()=2x+少e-(x+e二+1 (e) ) 当x(1,)时，x)=-+>0,则A)=+在x∈（←1）上单调递增。 er 当xe(化+o)时，()-<0，则)-（任+少在xeL+o)上单调递减. 所以h(=0=+4,即满足不等式成立的b≥手， e e 所以b的最小值为 (3)因为f(x)存在两个不同的极值点x,x2,x<x2, 所以由f()=2x+,a=2+2x+a=0可得： 1+xx+1 1 △=4-8a>0→a< +6=号 因为>-1，而y=2+2x+u的对称轴是x=分所以可得-1<5<》 根据对称性可得另一个零点方名<0，此时有无号>0→a>0, 2 故0<a<2又由f()长m且无<0可得m<f, 而）.-1+ah+=1-+241-x)h1+）-1-5+2xn1+） X2 -1- -1-x 令()=1-+2xh+xxe（l-》 则o-12动小22h0+1 x+1 +2n(1+x), 因为x-》所以+1c0》即wn(+小o, 则0'(x)=1- 2+2n(1+x)<0, x+ 即o=1x+2xh0-在区间- 上单调递减， 所以有p()=1-x+2x血(1+)>02)厂2 13 13 = -ln=。+ln2, 22 画f1-写+2x1+)号+h2, 3 所以实数m取值范围mm≤2+2 2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，且，则（    ） A．1 B．5 C． D． 4．已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 5．在三角形ABC中，内角所对的边分别为.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 10．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．存在点，使得 C．平面截正方体所得的截面图形是五边形 D．点到平面的距离是 11．已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 14．在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 18．（17分）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 19．（17分）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=2+i,则 2+i z-i A.3 B.√2 C.1 D.2 2.已知集合A={y=Vx2+2x,集合B={yly=e},则AnB=() A.(0,2] B.(0,1] c.☑ D.R 3.已知平面向量ā，万满足d=2,=3,且a-6=-6,则a-=() A.1 B.5 C.√13 D.5 4.己知Sn为等比数列{an}的前n项和，S6=728,S3=26,则a,=() A.152 B.162 C.165 D.172 5.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2sinA=3sinB,b=2,cosC=} 则c=() A.1 B.2 C.3 D.4 6.给某班级星期一上午排课，一共5节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同）， 要求两节体育课必须相邻，则不同的排课种数有() A.48 B.60 C.24 D.12 7.已知双由线C兰名=0>0>0的左、石焦分别为，5.G为顺点在坐标模 点，焦点为F的抛物线，过E作C的一条渐近线的垂线交C,于点P,且IOP上=OE,设双 曲线C的离心率为e,则e2=() A.3v15 B.2 C.3+5 D.3 ax+l,x≤2 8.已知函数f(x)= 1 x- >2在R上单调递增，则实数a的取值范围为(） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为5000个与3000 个现按比例分层抽样，共抽取160个任务进行延迟测试（单位：s).经计算，代码 生成样本均值为212ms,方差为80ms2;数学证明样本均值为180ms,方差为50ms2, 下列说法中正确的有() A.每个数学证明任务被抽中的凝率为B.代码生成征务应拍取100个 C.总样本的均值为200ms D.总样本的方差为65ms2 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD的中点， 点P在线段CM上运动，下列选项正确的是() A M A.M,D,D,C四点共面 B.存在点P,使得∠BPD,=90° C.平面CMN截正方体ABCD-AB,CD所得的截面图形是五边形 D.点B到平面CMN的距离是 2 11.已知函数f(x)=x3+3x2+ax+b,3b∈R,使得f(x)有三个零点x,x2,x,且x<x2<x3, 则下列说法正确的是() A.a的取值范围为(-oo,3) B.x2x3-2<0 C.若f(2-x)+f(x-4)>4,则b>a D.函数f(x)在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=asinx--5cosx的一个零点是？，则函数y=f(x)的最大值为 3.已知碳数f)=2-2,若/2a-引几a叫0恒成立，则a的重值花国是 在△0AB中，0为坐标原点，点A为抛物线y=-。2的准线与坐标轴的交点，点B x轴上，其横坐标为直线x-2y+4=0在x轴上的截距，则△OAB内切圆的标准方程为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知f)=V5cos2x+2sin-2} sin(x)xeR. (1)求y=f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,钝角A满足f(A)=-√3，b=3,c=2, 点D为线段BC上一点，且∠CAD=3∠BAD,求AD的长. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2, AB=BC=1,AD=2,M是PD的中点. (I)求证：CM/平面PAB: (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ()在线段D上是否存在点0，使得点D到Y面PA0的距离为1？若存在，求出器的 值；若不存在，请说明理由， 以15分)且知以线C兰兰-a>0b>0的高率为，有质点为，是双 曲线上一点，MF⊥x轴，MF=√2 (1)求双曲线C的标准方程. (2)过点F作斜率为√7的直线交该双曲线于A,B两点，且AF=FB(>1). (i)求的值： (i)若点P不在直线AB上，且点P满足：PF平分∠APB,求△PAB面积的最大值. 18.(17分)第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上 海)举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该 公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同 的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过 程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败， 然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功 (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）. ()记该人闯关的轮数为X,求X的分布列和数学期望： (ⅱ)在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率. ②记闯关省前a(eN)轮闻关成功的概率之和为A,证明：)A<兮 19.(17分)已知函数f(x)=x2-1+aln(1+x), (1)当a=-4时，讨论函数单调性： (2)当a=2时，若对任意x∈(-1，+o),不等式f(x)+x+2≤be+lnb恒成立，求b的最小值； (3)若f(x)存在两个不同的极值点x,x2,x<x2,且f(x)<x2,求实数m取值范围. 2026年高考数学临考冲刺卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为，.所以. 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，故，，故. 3．已知平面向量，满足，，且，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 4．已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 5．在三角形ABC中，内角所对的边分别为.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理可得. 已知，变形得，且， 将其代入正弦定理公式得：. 由余弦定理，代入，，得：. 因为边长，所以. 6．给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【答案】C 【详解】采用捆绑法，将两节相邻的体育课视为一个整体. 此时需排列的元素为语文、数学、外语、体育整体，共4个元素. 4个元素的全排列数为.由于两节体育课为相同课程，内部无需再排列. 因此，不同的排课种数为24. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线及其渐近线的几何性质，结合已知条件求出点，再利用抛物线的性质构造方程，进而求出． 【详解】 设与渐近线交于点Q，由，可知Q是的中点， 不妨设所在直线的方程为，联立可得， 由及中点坐标公式得，，由题意得抛物线的方程为， 将P点坐标代入可得，整理得，解得． 8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 【答案】BC 【详解】对于A选项，数学证明的样本容量为 ， 所以每个数学证明任务被抽中的概率为 ，故A选项错； 对于B选项，代码生成任务的样本容量为，故B选项对； 对于C选项，因为样本容量是 160 ， 且100个代码生成样本均值为 212ms，60个数学证明样本均值为 ， 所以总样本的均值是，故C选项对； 对于D选项，因为代码生成样本均值为 212ms，方差为 ； 数学证明样本均值为 ，方差为 ； 总样本的均值是200，所以总样本的方差为 ，故D选项错. 10．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．存在点，使得 C．平面截正方体所得的截面图形是五边形 D．点到平面的距离是 【答案】BC 【分析】对于A：可知与为异面直线，进而分析判断；对于B：建系并标点，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解；对于C：作辅助线，进而分析截面；对于D：利用等体积法求点到面的距离. 【详解】对于选项A：因为与为异面直线，所以，，，四点不共面，故A错误； 对于选项B：建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，，可得， 又因为，，，，则， 可得，， 假设存在点使得，则， 整理得，解得（舍去），或， 所以存在点，使得，故B正确； 对于选项C：如图，直线与，的延长线分别交于，， 连接，分别交，于，，连接，， 则五边形即为所求的截面图形，故C正确． 对于选项D：设点到平面的距离为， 由正方体的棱长为2可得，， 且，可得，，由，即，可得， 所以点到平面的距离是，故错误． 11．已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 【答案】AC 【分析】对于A，根据题意可知函数至少有两个极值点，则有两个不相等的实数根，再求导结合根的判别式即可判断；对于B，举例说明即可；对于C，代入解不等式即可得到；对于D，由题得，再求导，利用导数的几何意义，计算的值． 【详解】解：对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点， 因为，所以有两个不相等的实数根， 所以，解得，故A正确； 对于B，时，， 的解为，此时，故B错误； 对于C， ，所以，所以，故C正确； 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以，同理， 故 ，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 【答案】2 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【详解】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. 13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断的奇偶性，再判断单调性，根据恒成立，则即求恒成立，讨论，两种情况，即可求解. 【详解】根据题意知，，所以可知为奇函数， 而单调递增，单调递减，即单调递增，所以单调递增， 而恒成立，则即恒成立， 所以可得恒成立， 当，恒成立，所以符合条件； 当，恒成立，则需要且， 化简可得，综上所述. 故答案为： 14．在中，O为坐标原点，点A为抛物线的准线与坐标轴的交点，点B在x轴上，其横坐标为直线在x轴上的截距，则内切圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】利用抛物线方程可得其准线方程，即可得点，再求出点后即可得各点坐标，结合等面积法可求出内切圆的半径，即可得其圆心坐标，即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，则， 直线在轴上的截距为，故， 设内切圆的标准方程为， 则，解得，该圆与轴、轴相切，故， 由内切圆圆心在内部，故圆心坐标为， 即内切圆的标准方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【详解】（1）由 ，则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； （2）因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意，易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 17．（15分）已知双曲线的离心率为，右焦点为，是双曲线上一点，轴，． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点作斜率为的直线交该双曲线于两点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点不在直线上，且点满足：平分，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）将代入双曲线方程，可得，得到，再由，联立求得的值，即可求解； (2)（ⅰ）求得方程为，联立方程组，求得交点坐标，再由，转化为，即可求解； （ⅱ）设，得到，化简得到点的轨迹是一个圆，且圆心满足的方程，进而求得面积最大值. 【详解】（1）解：设双曲线的右焦点为，将代入双曲线方程，可得，因为是双曲线上一点，轴，且，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，即， 因为，可得，所以双曲线的标准方程为． （2）解：（ⅰ）由（1）知，所以，且, 可得直线方程为，即， 联立方程组，整理得，即， 解得，，所以，， 因为，可得，即，解得． （ⅱ）设，由三角形内角平分线的性质，可得，即， 即，化简得， 所以点的轨迹是一个圆，其圆心为，满足的方程， 当面积最大时，高为半径， 又由，故面积的最大值为． 18．（17分）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）分别计算出取1，2，3对应的概率，列出分布列，求出期望； （ii）用条件概率公式进行求解； （2）法一：根据裂项相消发化简得，结合证不等式； 法二：计算，用平方差公式展开约分，得，结合证不等式； 【详解】（1）（i）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望. （ii）设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，（，2，3）表示该人第i轮闯关成功， 则，，， ， ， 由条件概率的计算公式可得， 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为. （2）法一：由题意知 ， 令， 则， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 法二：由题意知， 则 ，所以. 因为，所以，所以，所以. 19．（17分）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; (2) (3) 【分析】（1）利用导数与单调性的关系即可求解； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【详解】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得: 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为; （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $