第五章 分式与分式方程 （14知识详解+41典例分析）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第五章 分式与分式方程 （14知识详解+41典例分析） 【知识点01】分式的概念 1.定义 一般地，用A， B表示两个整式，A÷ B 可以表示成 的形式 . 如果B 中含有字母，那么称 为分式，其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 。 分式的“三要素”：(1)形如的式子； (2) A， B为整式； (3)分母B 中含有字母。 注意：分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母。特别注意π表示圆周率，是常数。 2. 分式与分数的关系 类别 分数 分式 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 联系 都是形如      的式子 【知识点02】分式有意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 注意: 1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关。 2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0。 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值 分式的值就是把分式中的字母用具体数值代入后，通过计算得出的结果。 2. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A， B 同号 . (2)若的值为负数，则A， B 异号 . (3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A=－ B ，且B≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 . 字母表示： ，(m≠0)。 用途：进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为：(1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【知识点06】分式的乘除法 1.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 . 用字母表示为 . 说明： (1)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算； (2) 若分式乘整式，可以将整式看成分母为1 的“分式”进行运算。 2. 分式的除法法则： 两个分式相除，将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 . 用字母表示为 . 说明：当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算。 【知识点07】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用式子表示为 (n 为正整数). 说明: (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 【知识点08】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 ： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用字母表示为 . 【知识点09】分式的通分 1. 分式的通分 ：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2. 最简公分母: 通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 。 3. 确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 各分母为5 与2 的最小公倍数 单独出现的字母及其指数 相同字母的最高次幂 单项式  与  的最简公分母为10 a² b²c  类别 示例 各分母中 有多项式3 与1 的最小公倍数 相同因式的最高次幂 单独出现的因式 与 的最简公分母为3 (x-y) (x+y) 方法总结： 各分母能因式分解的先因式分解，然后将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母 【知识点10】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用式子表示为 = = . 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 【知识点11】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 【知识点12】分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 . 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点13】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 （1） 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2） 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为 0，则这个解叫做原分式方程的增根. 【知识点14】分式方程的应用 1. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1） 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系； （2） 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量； （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程； （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值； （5） 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否为所列分式方程的解，还要检验此解是否符合实际意义； （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整。 2. 列分式方程常用的等量关系 （1）行程问题：速度× 时间= 路程。 （2） 利润问题：利润= 售价- 进价； 利润率= 利润÷ 进价×100%。 （3） 工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率； 总工作量= 各个分工作量之和。 （4）储蓄问题：本息和= 本金+ 利息。 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，，都是单项式，都属于整式，的分母是含字母的整式，所以它是分式． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在下列各式中：、、、、，分式有_____个． 【答案】2 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：下列各式中：、、、、，是分式的有、，共2个． 故答案为：2． 【题型二】分式的规律性问题 3．（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为． 【题型三】按要求构造分式 5．（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】按要求构造分式 【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解． 【详解】解：这种图书的库存量是：（册）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【知识点】按要求构造分式 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 【题型四】分式无意义的条件 7．（24-25八年级下·吉林长春·月考）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如果分式 无意义，那么的值为_________ 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时分母为零，进而解绝对值方程． 根据分式无意义的条件，令分母，解此绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故答案为：． 【题型五】分式有意义的条件 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】∵分式有意义的条件是分母不等于0，分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【答案】，过程见解析 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，则可推出，根据平方的非负性可得当，即时，的值不可能为0，据此可得答案． 【详解】解：，且分式总有意义， ∴ ， 当，即时，的值不可能为0， 当时，不论取何实数，分式总有意义． 【题型六】分式值为零的条件 11．（25-26八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【详解】解：∵的值为0， ∴且， 解得． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)任何实数， (2)， (3)， 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． （1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】（1）解：∵，∴ ∴当x为任何实数时，分式有意义． 当时，分式的值等于0． （2）解：当时，即时，分式有意义． 当时，即时，分式的值等于0． （3）解：当，即，分式有意义． 当时，解得：，当时，分式无意义， 故当时，分式的值为0． 【题型七】分式的求值 13．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的求值 【详解】解：． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）当，1，时，分别求分式的值． 【答案】当时，分式的值为；当时，分式的值为；当时，分式的值为． 【知识点】分式的求值 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 15．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 16．（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 18．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 【题型十】判断分式变形是否正确 19．（25-26八年级下·山东济南·期中）下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，且， ∴． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 21．（22-23八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 22．（23-24八年级下·山西朔州·月考）若成立，则的取值范围是______________． 【答案】 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 23．（25-26八年级下·四川资阳·期中）把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【详解】解：∵将都扩大3倍后，得到的新分式为 ∴新分式的值与原分式的值相等，即分式的值不变． 24．（2024八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】根据分式的基本性质判断即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键． 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．（22-23八年级下·河南新乡·月考）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 27．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【题型十五】约分 29．（25-26八年级下·福建泉州·期中）将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 30．（25-26八年级下·全国·周测）将下列分式约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】约分 【分析】此题考查了约分，用到的知识点是因式分解、分式的基本性质，在约分时要注意符号的变化，正确计算是解题的关键． （1）（2）根据约分的定义，把分子分母同时约去它们的公因式，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型十六】最简分式 31．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 32．（24-25八年级下·河南南阳·期末）若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是__________．（写出1个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式的特点（分式的分子与分母均为整式且分子和分母中不含1以外的公因数或公因式）是解题关键．根据最简分式的概念进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型十七】分式乘法 33．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 34．（24-25八年级下·吉林长春·月考）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，先根据完全平方公式以及平方差公式进行整理，再化简，即可作答． 【详解】解： ． 【题型十八】分式除法 35．（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 36．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 【题型十九】分式乘除混合运算 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知（其中，），则表示的分式是__________． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】利用等式的性质表示，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到的表达式． 【详解】解：由， 根据等式的性质，得， ∴， 解得． 【题型二十】分式乘方 39．（24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是______． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 40．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】分式乘方 【分析】分式乘方的法则是：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查分式的乘方运算．掌握相关运算法则是解题关键． 【题型二十一】含乘方的分式乘除混合运算 41．（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 【详解】 ； 故选：D． 42．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 【题型二十二】同分母分式加减法 43．（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【详解】解： 44．（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是________． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【详解】解： ． 【题型二十三】最简公分母 45．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 46．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）分式和的最简公分母为______． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 【题型二十四】通分 47．（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 【题型二十五】异分母分式加减法 49．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】先通分，再根据同分母分式加减法则化简计算即可． 【详解】解： 原式． 50．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【答案】(1)与互为“和定分式”， “和定值” (2)， (3)， 【知识点】异分母分式加减法 【分析】（1）求出，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 是分母的倍，即，推出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“和定分式”，“和定值”； （2）解：，， ， 与互为“和定分式”， 且分式为真分式， 是的倍数， 又中，的系数为，中的系数为， ，， ； （3）解：，， ， 与互为“和定分式”，分子 中，的系数为，中的系数为， 分子 是分母的倍，即， 即， ， 解得，． 【题型二十六】整式与分式相加减 51．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式中为、、、、；；循环操作下去．下列说法：第次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；；；．其中，正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式与分式相加减、数字类规律探索 【分析】根据定义规定的规律依次判断即可． 【详解】由题中规律可得：， 第次操作后得到的代数式串为、、、、、， ， 第次操作后得到的代数式串为、、、、、， ， 故第次操作后得到的代数式串为：、、，，、、、，故正确； 由上规律得： ， ， ， ， ， ， 即有：， 由上规律：， ∴ 则：(1)或， 解得：(舍去)或， ∴， ∴, (2)或， 解得：(舍去)或， ∴， ∴， 故不正确； 依规律推算得： ∴，故正确； 由上规律可得： ， ， ， ， ， ， 则有：， ∴，， 则， ， ，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了数字规律的探究，新定义的理解并应用是解题的关键． 52．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】(1)①③ (2) 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题主要查了分式的化简：     （1）根据“和谐分式”的定义，即可求解； （2）根据题意化简分式，即可． 【详解】（1）解：①是“和谐分式”； ②不是“和谐分式”；     ③是“和谐分式”；     ④不是“和谐分式”； 故答案为：①③ （2）解： ． 【题型二十七】已知分式恒等式，确定分子或分母 53．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则__，__． 【答案】 2 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 54．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 【题型二十八】分式加减混合运算 55．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如果记yf（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）；f（）表示当x时y的值，即f（），……，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+……+f（2021）+f（）＝_____． 【答案】2020.5 【知识点】分式加减混合运算 【分析】通过计算f（2），f（3），f（）的值得到f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，从而得到规律f（x）+f（）=1，然后利用此规律得到f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2021）+f（）的值． 【详解】解：∵f（2）==，f（）==， ∴f（2）+f（）=1， ∵f（3）==，f（）==， ∴f（3）+f（）=1， 同理可得f（2021）+f（）=1， ∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2021）+f（） =+1+1+…+1=+1×2020=2020.5． 故答案为：2020.5． 【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 56．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1)1 (2)，， (3)或 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出关于k的表达式，再将代入的表达式，得出k的值． （2）先求得的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到，最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出k的值． 【详解】（1）解：由已知得，， 将代入可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：1； （2）解：， ， ， ⋯⋯， ； ∴， ∵， ∴， 将代入得， ， 故答案为：，，； （3）解：由（2）知，， ， ∴， ∵为整数，且， ∴或， ∴或． 【题型二十九】分式加减的实际应用 57．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛），，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】此题考查了分式加减的应用．根据分式的加减求出是解题的关键；设为真分数，，通过计算可得，据此即可得到答案． 【详解】解：设为真分数，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 58．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【题型三十】分式加减乘除混合运算 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握处理符号统一分母，合并后因式分解约分，再进行乘法运算是解题的关键． 先观察括号内的表达式，利用进行化简，合并分数后约分，再与前面的分数相乘，最后化简得到结果． 【详解】解：原式为，其中， 所以括号内化为（其中）， 然后与前面相乘：， 故答案为：． 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【题型三十一】分式化简求值 61．（2026·河南周口·一模）如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】分式化简求值 【分析】先通过分式运算法则化简所求代数式，再利用已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵ ∴ ． 62．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）化简下列分式：下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，0，1三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】(1)二；括号前是“”号，去括号时未变号 (2)； 【知识点】分式化简求值 【分析】（1）观察题干过程，根据分式化简的性质进行分析，得出第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“－”号，去括号时未变号，即可作答． （2）先通分，再把除法化为乘法，最后化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，任务一：以上化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解： ． ∵， ∴当时，原式． 【题型三十二】分式方程的定义 63．（25-26八年级下·全国·周测）有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 64．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 65．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】先将互为相反数的分母变形，再将方程两边同乘最简公分母，即可得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为可变形为， ∵方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘以，去分母得． 66．（25-26八年级下·广东深圳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解． （2）解：原方程变形为 方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并得 解得 检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 【题型三十四】根据分式方程解的情况求值 67．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 68．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 【题型三十五】分式方程无解问题 69．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程无解问题 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 70．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 【题型三十六】列分式方程 71．（25-26八年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，利用无人机比快艇配送时间少分钟的等量关系列方程即可． 【详解】解：设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，快艇的配送时间为小时，无人机的配送时间为小时， 根据题意得：． 72．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握根据题干找出等量关系是解题的关键； （1）根据题干设出的未知数，列式子表示出表格中的量； （2）根据（1）中的信息列出方程． 【详解】（1）解：已知甲队单独做这项工程需要x天， 则甲队的工程效率为总量与时间的比值：， 由信息②可知，乙队所用时间为：天， 乙队工程效率为：； ∴表格为： 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 x 乙队 1 （2）解：根据题干中的条件③可得:合作3天的工作量再加上乙队单独完成的工作量等于整个工作量“1”， ∴方程为： 【题型三十七】分式方程的行程问题 73．（23-24八年级下·重庆·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 74．（25-26八年级下·重庆·月考）“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【答案】(1)游船的速度为，大巴车的速度为 (2)最多购买32张一等票 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题 【分析】（1）设游船的速度为，则大巴车的速度为，然后根据等量关系“乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达”列分式方程求解即可； （2）设购买a张一等票，则可购买张二等票，再根据不等关系“所有学生的票价总和不超过3980元”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设游船的速度为，则大巴车的速度为 根据题意，，解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ，． 答：游船的速度为，大巴车的速度为． （2）解：设购买a张一等票，则可购买张二等票， 由题意可得：，解得：． 为整数 的最大值为32． 答：最多购买32张一等票． 【题型三十八】分式方程的工程问题 75．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 76．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【题型三十九】分式方程的经济问题 77．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 78．（25-26八年级下·陕西西安·期中）米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 【题型四十】分式方程和差倍分问题 79．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树______棵． 【答案】22 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题关键． 设乙班每小时种x棵树，根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：设乙班每小时种x棵树，甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 解得， 经检验符合题意， 故答案为：22． 80．（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 【答案】第一批绿植单价为40元/盆 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆，根据第二批购买数量比第一批多5盆，列出分式方程，解方程并检验即可得解． 【详解】解：设第一批绿植单价为元/盆，则第二批绿植单价为元/盆， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：第一批绿植单价为40元/盆． 【题型四十一】分式方程的其它实际问题 81．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考要了分式方程的应用，根据压强公式，结合题目中压强之比为的条件，建立分式方程求解． 【详解】解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 故选：D． 82．（24-25八年级下·山西晋城·期末）山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”．山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量比原来增加了，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 【答案】该县原来谷子的亩产量斤 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．等量关系式：原来产出6000斤谷子所需的种植面积现在产出6000斤谷子所需的种植面积亩，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设该县原来谷子的亩产量斤，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， 答：该县原来谷子的亩产量斤. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程 （14知识详解+41典例分析） 【知识点01】分式的概念 1.定义 一般地，用A， B表示两个整式，A÷ B 可以表示成 的形式 . 如果B 中含有字母，那么称 为分式，其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 。 分式的“三要素”：(1)形如的式子； (2) A， B为整式； (3)分母B 中含有字母。 注意：分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母。特别注意π表示圆周率，是常数。 2. 分式与分数的关系 类别 分数 分式 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 联系 都是形如      的式子 【知识点02】分式有意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 注意: 1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关。 2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0。 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值 分式的值就是把分式中的字母用具体数值代入后，通过计算得出的结果。 2. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A， B 同号 . (2)若的值为负数，则A， B 异号 . (3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A=－ B ，且B≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 . 字母表示： ，(m≠0)。 用途：进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为：(1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【知识点06】分式的乘除法 1.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 . 用字母表示为 . 说明： (1)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算； (2) 若分式乘整式，可以将整式看成分母为1 的“分式”进行运算。 2. 分式的除法法则： 两个分式相除，将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 . 用字母表示为 . 说明：当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算。 【知识点07】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用式子表示为 (n 为正整数). 说明: (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 【知识点08】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 ： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用字母表示为 . 【知识点09】分式的通分 1. 分式的通分 ：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2. 最简公分母: 通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 。 3. 确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 各分母为5 与2 的最小公倍数 单独出现的字母及其指数 相同字母的最高次幂 单项式  与  的最简公分母为10 a² b²c  类别 示例 各分母中 有多项式3 与1 的最小公倍数 相同因式的最高次幂 单独出现的因式 与 的最简公分母为3 (x-y) (x+y) 方法总结： 各分母能因式分解的先因式分解，然后将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母 【知识点10】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用式子表示为 = = . 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 【知识点11】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 【知识点12】分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 . 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点13】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 （1） 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2） 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为 0，则这个解叫做原分式方程的增根. 【知识点14】分式方程的应用 1. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1） 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系； （2） 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量； （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程； （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值； （5） 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否为所列分式方程的解，还要检验此解是否符合实际意义； （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整。 2. 列分式方程常用的等量关系 （1）行程问题：速度× 时间= 路程。 （2） 利润问题：利润= 售价- 进价； 利润率= 利润÷ 进价×100%。 （3） 工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率； 总工作量= 各个分工作量之和。 （4）储蓄问题：本息和= 本金+ 利息。 【题型一】分式的判断 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在下列各式中：、、、、，分式有_____个． 【题型二】分式的规律性问题 3．（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【题型三】按要求构造分式 5．（23-24八年级下·山东青岛·期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【题型四】分式无意义的条件 7．（24-25八年级下·吉林长春·月考）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如果分式 无意义，那么的值为_________ 【题型五】分式有意义的条件 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【题型六】分式值为零的条件 11．（25-26八年级下·四川资阳·期中）若分式的值为0，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 【题型七】分式的求值 13．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）当，1，时，分别求分式的值． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 15．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 16．（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【题型十】判断分式变形是否正确 19．（25-26八年级下·山东济南·期中）下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 21．（22-23八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·山西朔州·月考）若成立，则的取值范围是______________． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 23．（25-26八年级下·四川资阳·期中）把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小 D．缩小3倍 24．（2024八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 25．（22-23八年级下·河南新乡·月考）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 27．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【题型十五】约分 29．（25-26八年级下·福建泉州·期中）将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级下·全国·周测）将下列分式约分： (1)． (2)． 【题型十六】最简分式 31．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·河南南阳·期末）若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是__________．（写出1个即可） 【题型十七】分式乘法 33．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·吉林长春·月考）计算：． 【题型十八】分式除法 35．（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 36．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【题型十九】分式乘除混合运算 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知（其中，），则表示的分式是__________． 【题型二十】分式乘方 39．（24-25八年级下·山西临汾·期末）计算：的结果是______． 40．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二十一】含乘方的分式乘除混合运算 41．（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【题型二十二】同分母分式加减法 43．（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 44．（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是________． 【题型二十三】最简公分母 45．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 46．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）分式和的最简公分母为______． 【题型二十四】通分 47．（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【题型二十五】异分母分式加减法 49．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D． 50．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【题型二十六】整式与分式相加减 51．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）有依次排列的两个不为零的代数式、，用后一项与前一项作和，可以得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式串为、、、；用第次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式，记作第次操作，并得到代数式中为、、、、；；循环操作下去．下列说法：第次操作后得到的代数式串为、、、、、、、；；；．其中，正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 52．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【题型二十七】已知分式恒等式，确定分子或分母 53．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则__，__． 54．（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知，求，的值． 【题型二十八】分式加减混合运算 55．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如果记yf（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）；f（）表示当x时y的值，即f（），……，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+……+f（2021）+f（）＝_____． 56．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【题型二十九】分式加减的实际应用 57．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛），，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【题型三十】分式加减乘除混合运算 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是______． 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型三十一】分式化简求值 61．（2026·河南周口·一模）如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 62．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）化简下列分式：下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，0，1三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【题型三十二】分式方程的定义 63．（25-26八年级下·全国·周测）有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 64．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 65．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 66．（25-26八年级下·广东深圳·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型三十四】根据分式方程解的情况求值 67．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 68．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【题型三十五】分式方程无解问题 69．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 70．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【题型三十六】列分式方程 71．（25-26八年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 72．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【题型三十七】分式方程的行程问题 73．（23-24八年级下·重庆·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 74．（25-26八年级下·重庆·月考）“五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 (1)求游船和大巴车的速度（单位：）； (2)该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【题型三十八】分式方程的工程问题 75．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 76．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【题型三十九】分式方程的经济问题 77．（2025·广东广州·三模）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 78．（25-26八年级下·陕西西安·期中）米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【题型四十】分式方程和差倍分问题 79．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树______棵． 80．（25-26八年级下·河南周口·期中）为美化校园，学校购进一批绿植，第一批花费800元，第二批花费1200元，第二批绿植单价是第一批的1.2倍，购买数量比第一批多5盆．求第一批绿植的单价． 【题型四十一】分式方程的其它实际问题 81．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 82．（24-25八年级下·山西晋城·期末）山西素有“杂粮王国”之称，不仅种类繁多，而且产量也是位居全国前列，山西谷子更被誉为“杂粮中的金珠子”．山西某县采用生物降解渗水膜旱作技术种植谷子，现在的亩产量比原来增加了，现在产出6000斤谷子所需的种植面积比原来少了2亩，求该县原来谷子的亩产量？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $