期末专题05 分式与分式方程（知识梳理+14大题型+3种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年下学期八年级数学期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题05 分式与分式方程 分式有意义和无意义的条件 1．分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为 ，所以分式的分母不能为 0 ，即当 时，分式 才有意义． 2．分式无意义的条件分式的分母为 0 ，即当 时，分式 无意义． 特别提醒 分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，与分式的分子是否为0无关。 分式的值为0的条件 1．分式的值为 0 的条件 当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0 ． 即：对于分式 ，当 且 时， ． 2．对常见的几种特殊分式值的讨论 （1）若 的值为正数，则A, B同号． （2）若 的值为负数，则A, B异号． （3）若 的值为 1 ，则 ，且 ． （4）若 的值为 -1 ，则 ，且 ． 特别提醒 1．分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的．所以分式 的值为 0 的条件： 且 ，二者缺一不可。 2．对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母． 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同个不等于0的整式，分式的值不变 2. 用字母表示为 ，其中 ， $B, C$ 是整式．分式的基本性质是分式变形的理论依据． 特别解读 应用此性质时，要理解“同”的含义:一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算;二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式,运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形它不改变分式值的大小，只改变其形式 2.分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，司时改变其中两个，分式的值不变用字母表示为: (1) ; (2) . 同分母分式的加减法 1．同分母分式的加减法法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为 。 2.同分母分式相加减的一般步骤(1)分母不变，把分子相加减 (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项(3)结果应化成最简分武或整式 特别解读 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，若分子是多项式，必须带上括号然后再运算 分式的通分 1.分式的通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2.最简公分母通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 3.通分的一般步骤 (1)确定最简公分母; (2)用最简公分母分别除以各分母求商:(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 特别解读 约分与通分的联系与区别:1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变。2.约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式。 异分母分式的加减法 1．异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 用字母表示为 ． 2.异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分!将异分母分式转化为同分母分式;(2)加减:按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算注意异分母分式加减运算的关键是通分 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积。 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减,有括号时:先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行 2.分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算(2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单(3)运算结果是最简分式或整式 特别提醒1.分式混合运算要注意运算顺序和解题步骤把好符号关。 2.分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法分 配律进行计算 分式方程的概念 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 2.判断一个方程是分式方程的条件(1)是方程;(2)含有分母;(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可 特别解读 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能运用等式的性质进行变形 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程 2.增根在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫做原分式方程的增根 特别解读 1.解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去 3.对增根的理解: (1)增根一定是分式方程化为的整式方程的解:(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为 0时未知数的值. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题:速度x时间=路程 (2)利润问题:利润=售价- 进价;利润率=利润÷进价X100%. (3)工程问题:工作量=工作时间x工作效率;总工作量=各个分工作量之和.(4)储蓄问题:本息和=本金+利息 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找 出等量关系。 (2)设:即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量。 (3)列:即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解:即解所列的分式方程，求出未知数的值 (5)验:即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义 (6)答:即写出答案，注意单位和答案要完整 特别解读 审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分数量的等量关系列方程。 设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数:若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数;有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数即设辅助未知数. 应用题中解分式方程同样要验根 题型一、分式的判断 1．（23-24八年级下·山西晋城·期末）下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式，分母中含有字母的式子是分式，据此即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、最简分式、分式的判断 【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意， 故选：D． 3．（21-22八年级下·山西临汾·期末）在学习整式的加、减、乘及除法运算时，我们是回忆小学学习整数的加、减、乘及除法运算的方法来研究的．由整数的除法可得到分数，由两个整式相除可得到分式．学习分式的相关运算时，我们同样是回忆和对比分数的有关知识来探索和发现分式的运算方式，这种研究分式的方法是（    ） A．转化 B．类比 C．数形结合 D．公理化 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算、分式的判断 【分析】利用类比的数学思想，即可解答． 【详解】解：在学习整式的加、减、乘及除法运算时，我们是回忆小学学习整数的加、减、乘及除法运算的方法来研究的．由整数的除法可得到分数，由两个整式相除可得到分式．学习分式的相关运算时，我们同样是回忆和对比分数的有关知识来探索和发现分式的运算方式，这种研究分式的方法是类比，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，整式的除法，熟练掌握类比的数学思想是解题的关键． 题型二、分式有意义的条件 4．（23-24八年级下·山西太原·期末）若分式有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故选：C． 5．（22-23八年级下·山西晋城·期末）若分式有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分母不为零，分式有意义分析得出答案． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得，， 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 6．（22-23八年级下·山西太原·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得 故选：B 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件得到分母不为0． 7．（22-23八年级下·山西运城·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式的分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键． 8．（22-23八年级下·山西太原·期末）分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 题型三、分式值为零的条件 9．（23-24八年级下·山西长治·期末）使得分式值为0的条件是 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为： 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】根据分式的值为零的条件是：分子为零而分母不为零，然后进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，属于基础知识的考查，比较简单． 11．（22-23八年级下·山西晋城·期末）取何值时，分式的值为0（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据分式值为零即分子为零且分母不为零进行解答即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则x+2=0且2x-3≠0， 解得：x=-2, 故选B． 【点睛】本题考查的是分式为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 题型四、判断分式变形是否正确 12．（22-23八年级下·山西运城·期末）下列分式的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式、约分、判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质依次判断即可． 【详解】A. ，故此选项不符合题意； B.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题； C.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D.，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， A、，正确； B、，原式错误； C、，原式错误； D、，原式错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变”是解题的关键． 14．（22-23八年级下·山西晋中·期末）下列式子从左到右变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质逐项判定即可． 【详解】解：A、错误，故此选项符合题意； B、正确，故此选项不符合题意； C、正确，故此选项不符合题意； D、正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质“分式分子分母同乘以或除以同一个不为零的数，他式值不变”是银题的关键． 题型五、利用分式的基本性质判断分式值的变化 15．（23-24八年级下·山西临汾·期末）若把分式中的x，y都缩小为原来的，则分式的值（  ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：由于的值都缩小为原来的， ， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：A． 16．（23-24八年级下·山西运城·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 17．（22-23八年级下·山西运城·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】利用分式的基本性质判断A，B，C，利用分式减法运算法则判断D． 【详解】解：由分式的性质可知： ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变）是解此题的关键． 题型六、最简分式 18．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要查了分式的化简，最简分式．根据分式的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查最简分式的识别．根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：A． 20．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公因式、最简分式 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 题型七、约分 21．（22-23八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】公因式：取分子、分母的系数的最大公约数及相同字母（或因式）的低次幂作为公因式的因式，即可求解． 【详解】解：与的公因式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式约分中公因式的求法，掌握求法是解题的关键． 22．（22-23八年级下·山西晋中·期末）下列分式是最简分式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式、约分 【分析】通过提公因式、平方差公式依次化简即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，该分式已经是最简分式，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简及最简分式的定义，正确化简是关键． 23．（22-23八年级下·山西太原·期末）将分式化成最简分式的结果为 ． 【答案】 【知识点】最简分式、约分 【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 题型八、分式除法 24．（23-24八年级下·山西临汾·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查的是分式的乘除法．根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．将分式除法转化为乘法，能因式分解的多项式进行因式分解，再化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 26．（22-23八年级下·山西晋中·期末）化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】分式除法 【分析】根据分式的运算法则化简原式即可求出答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的运算法则，熟练运用分式的运算法则是解本题的关键． 题型九、异分母分式加减法 27．（23-24八年级下·山西临汾·期末）化简：． 【答案】 【知识点】分式乘法、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 28．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式加法运算，根据异分母分式加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 29．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式                               第一步                                  第二步                          第三步                                         第四步                                        第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．函数思想      B．数形结合思想     C．转化思想     D．统计思想 (2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； (3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 【答案】(1)C (2)三；分式的基本性质 (3)四； 【知识点】通分、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据分式加减运算进行解答即可； （2）根据通分的定义进行解答即可； （3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 【详解】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C． （2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； （3）解：从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 故答案为：四；． 题型十、分式加减乘除混合运算 30．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）2；（2）任务一：①分式的基本性质；②第五步；去括号时符号错误；任务二：；任务三：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算． （1）先将绝对值，负整数幂，0次幂化简，再进行计算即可； （2）先将各个分子分母因式分解，再通分即分进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是分式的基本性质； ②第五步开始出现错误，这一步出错的原因是去括号时符号错误； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：建议为：分式化简时要注意分子、分母的因式分解要彻底，约分要准确等． 故答案为：分式的基本性质；第五步；去括号时符号错误；． 31．（23-24八年级下·山西晋城·期末）化简的结果是 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的四则混合运算，原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法计算即可 【详解】解： 故答案为： 32．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 ……………………第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于______；（填“整式乘法”或“因式分解”） ②以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______； ③第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是____________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______． 【答案】任务一：①因式分解；②三，分式的基本性质；③四，括号前面是负号，去括号时，后两项没变号；任务二： 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】任务一： ①根据变形的结果可得答案； ②由通分的依据是分式的基本性质可得答案； ③由去括号的法则可得答案； 任务二：先计算括号内的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果． 【详解】解：任务一： ①化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于因式分解， 故答案为：因式分解； ②化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质； 故答案为：三，分式的基本性质； ③第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：括号前面是负号，去括号时，后两项没变号； 故答案为：四，括号前面是负号，去括号时，后两项没变号； 任务二： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟记运算法则并灵活应用是解本题的关键． 题型十一、分式化简求值 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中． 请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务： 原式          第一步             第二步            第三步               第四步            第五步 当时，原式      第六步 任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______； 任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______． 【答案】任务一：乘法分配律，分数的性质 任务二：三，；正确的计算过程见详解 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求证，掌握乘法公式，乘法分配律，代入求值的计算是解题的关键． 任务一：根据解析过程分析即可求解； 任务二：根据分数的加减运算即可得出第三步出错，根据分式的性质化简求值即可． 【详解】解：任务一：根据材料可得，第二步变形运用的运算律是乘法分配律；第五步变形的依据是根据分数的性质约分， 故答案为：乘法分配律，分数的性质； 任务二：第三步分子相减时出错，正确的解题过程如下， ， 当时，原式． 34．（23-24八年级下·山西朔州·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，分式的加减运算，关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． （1）原式根据二次根式的运算法则进行化简，再合并即可得到结果； （2）原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ． （2） 当时，原式． 35．（23-24八年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 36．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及零指数幂，负整数指数幂，平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂计算各项，再计算即可； （2）先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分计算，再将代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 37．（22-23八年级下·山西大同·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）6（2）；2 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据零指数幂、完全平方公式、二次根式的乘法分别计算后，再进行加减混合运算即可； （2）先利用分式加法法则和除法法则化简得到最简结果，再代入字母的值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了实数的混合运算、分式化简求值、二次根式的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型十二、解分式方程（化为一元一次） 38．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了负整数幂和零指数幂、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解题的关键． （1）先计算负整数幂和零指数幂，再进行加减法运算即可； （2）去分母把分式方程化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边都乘，得 ， 解得． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 39．（23-24八年级下·山西晋城·期末）（1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（1）（2） 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握算术平方根、负整数指数幂，有理数的乘方、零指数幂以及解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据算术平方根、负整数指数幂，有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算即可； （2）把分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为： 40．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：． （2）下面是小华解分式方程的过程，请你认其阅读并完成相应的任务． 解：原方程可变形为，………………第1步 去分母，得，…………………………第2步 解，得，…………………………………………第3步 检验：将代入，， 所以，是原方程的解．…………………………第4步 任务： ①上述解答过程中第1步变形逆用了______（填运算律）； ②上述解答过程中，从第______步开始出错，请你将这步改正为________________； ③写出解原方程的正确结果：______． 【答案】（1）；（2）①乘法分配律；②2，；③ 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（）根据立方根，化简绝对值，负整数次幂的运算法则计算即可； （）根据解分式方程的步骤，读懂每一步的解答，然后正确解出分式方程即可完成； 本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握知识点的应用，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（1）计算： ； （）根据运算第步变形逆用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； 上述解答过程中，从第步开始出错，请你将这步改正为， 故答案为：，； ， ， 检验：将代入，， 所以是原分式方程的解， 故答案为：． 题型十三、列分式方程 41．（23-24八年级下·山西运城·期末）为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天，根据题意列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， 由题意得：或 由，得到即， 故选：D． 42．（23-24八年级下·山西临汾·期末）天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了列分式方程，设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可． 【详解】解：设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据题意得： ， 故选：D． 43．（22-23八年级下·山西太原·期末）随着太原西山封山防火期结束，6月1日，天龙山景区向游客恢复自驾游．天龙山公路全长30千米，起点与终点的高低落差达350米，被誉为“云端上的公路”．李老师驾车游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去程慢6千米/时，结果返程比去程多用了15分钟．根据情境小颖列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（　　）    A．去程的平均速度 B．返程的平均速度 C．去程所用的时间 D．返程所用的时间 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】由题意可知，设去时的速度为xkm/h，则返程的速度为km/h，去时所用的时间为h，返程所用的时间为h，由于返程比去程多用了15分钟，所以可列方程． 【详解】解：由所列方程可知，x是去程的平均速度． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是关键． 题型十四、分式方程的实际问题 44．（22-23八年级下·山西临汾·期末）某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校的山西博物院开展“研学之旅”，大巴车从学校出发时，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往山西博物院，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 【答案】大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，然后根据时间路程时间列出方程求解即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 45．（23-24八年级下·山西临汾·期末）为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，某山区积极推进增绿、补绿、复绿工程，计划对面积为的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队每天完成绿化的面积是甲工程队每天完成绿化面积的1.5倍．已知完成面积为的绿化工程时，甲工程队比乙工程队多用3天．求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积． 【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队每天能完成绿化的面积为，则乙工程队每天能完成绿化的面积为，得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论． 【详解】解：设甲工程队每天能完成绿化的面积为，则乙工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为． 46．（23-24八年级下·山西长治·期末）长治市漳泽湖国家湿地公园是长治的城市后花园,也是三晋大地独一无二的城市湿地，更是山西省乃至华北地区湖泊、河流湿地的典型代表．春日的漳泽湖国家城市湿地公园．就像一幅充满生机与活力的画卷．为了让游客有更好的游览体验，公园管理人员计划购进白色和粉色两种郁金香装饰景点．已知白色郁金香的单价比粉色郁金香的单价高，用600元购买粉色郁金香的朵数比用864元购买白色郁金香的朵数少20朵，求白色郁金香和粉色郁金香两种花的单价各是多少元？ 【答案】白色郁金香的单价为元，粉色郁金香的单价为6元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设粉色郁金香的单价为x元，则白色郁金香的单价为元，根据所给等量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设粉色郁金香的单价为x元，则白色郁金香的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：白色郁金香的单价为元，粉色郁金香的单价为6元． 47．（23-24八年级下·山西临汾·期末）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 【答案】60亩 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键． 【例1】先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键是需要检验方程的根是否使得分式有意义，再进行代值计算． 首先化简分式，然后解一元二次方程求出的值，然后选取使分式有意义的值代入求解即可． 【详解】解： ， 解得：， ， ， 当时，原式． 【例2】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得出两种情况：当时，方程无解；当时，方程的解为，根据分式方程的分母为得出，此时分式方程无解；分别求出的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 整理，得， 当时，方程无解，此时； 当时，方程的解为， 关于的分式方程无解， ，即， ， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 【例3】学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 【答案】(1)③，直接去掉了分母 (2)过程见解析，， 【知识点】分式化简求值、分式加减混合运算 【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：小明的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是漏掉了分母； （2）正确的解答过程如下： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 检验分式方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则:这个解不是原分式方程的解.(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式; (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式再找公因式. 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式乘法 【分析】计算分式乘法，即可求解． 【详解】解：=， 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的乘法运算，掌握分式的约分，是解题的关键． 2．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查的是最简分式的定义．分子分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A．不是最简分式，不符合题意； B．不是最简分式，不符合题意； C．不是最简分式，不符合题意； D．是最简分式，符合题意； 故选：D． 3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 4．已知，则分式为 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的加减和分式的值，解题的关键是掌握分式的性质和整体代入求值．利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值． 【详解】解：∵， ，即， ， 故答案为：． 5．化简，结果是 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握分式的除法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 6．化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】先通分再约分化简即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式化简运算，掌握运算法则是关键． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．     第一步     第二步         第三步         第四步         第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 【答案】任务一： ①二；分式的基本性质 ②三；减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号 任务二：     任务三：最后要化为最简分式或最简整式 【知识点】通分、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：①根据计算过程即可得出答案；②根据计算过程即可得出答案； 任务二：根据分式混合运算法则计算即可得出答案； 任务三：根据分式的混合运算过程提出建议即可． 【详解】解：任务一： 由计算过程可得：在以上化简过程中，第二步对分式进行了通分，通分的依据是分式的基本性质； ②由计算过程可得：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是减去整体要带括号或者去掉括号括号里各项要变号； 任务二： ； 任务三：建议为：最后要化为最简分式或最简整式． 9．某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 【答案】(1)甲施工队每天完成的绿化面积为； (2)甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验． （1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为，利用等量关系列出分式方程求解即可； （2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解． 【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 答：甲施工队每天完成的绿化面积为； （2）解：∵， ∴，， ∴甲施工队完成了任务， 乙施工队完成了任务， ∴甲施工队可得工程款（元）， 乙施工队可得工程款（元）， 答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 10．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子进行销售．经了解，每个鲜肉粽的进价是每个蜜枣粽进价的，用2000元购进鲜肉粽的个数比用900元购进蜜枣粽的个数多50个． (1)鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共300个（两种都有），若鲜肉粽、蜜枣粽的售价分别为14元/个、8元/个，若要使两种粽子全部售完时获得的利润不少于1000元，则该超市至少应购进鲜肉粽多少个？ 【答案】(1)鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是10元和6元 (2)该超市至少应购进鲜肉粽200个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设蜜枣粽每个的进价是x元，每个鲜肉粽的进价为元，根据用2000元购进鲜肉粽的个数比用900元购进蜜枣粽的个数多50个，列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设该超市应购进鲜肉粽a个，根据两种粽子全部售完时获得的利润不少于1000元，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设蜜枣粽每个的进价是x元，每个鲜肉粽的进价为元， 由题意得：， 解得：， ， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是10元和6元． （2）解：设该超市应购进鲜肉粽a个， 则， 解得：， 答：该超市至少应购进鲜肉粽200个． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题05 分式与分式方程 分式有意义和无意义的条件 1．分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为 ，所以分式的分母不能为 0 ，即当 时，分式 才有意义． 2．分式无意义的条件分式的分母为 0 ，即当 时，分式 无意义． 特别提醒 分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，与分式的分子是否为0无关。 分式的值为0的条件 1．分式的值为 0 的条件 当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0 ． 即：对于分式 ，当 且 时， ． 2．对常见的几种特殊分式值的讨论 （1）若 的值为正数，则A, B同号． （2）若 的值为负数，则A, B异号． （3）若 的值为 1 ，则 ，且 ． （4）若 的值为 -1 ，则 ，且 ． 特别提醒 1．分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的．所以分式 的值为 0 的条件： 且 ，二者缺一不可。 2．对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母． 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同个不等于0的整式，分式的值不变 2. 用字母表示为 ，其中 ， $B, C$ 是整式．分式的基本性质是分式变形的理论依据． 特别解读 应用此性质时，要理解“同”的含义:一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算;二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式,运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形它不改变分式值的大小，只改变其形式 2.分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，司时改变其中两个，分式的值不变用字母表示为: (1) ; (2) . 同分母分式的加减法 1．同分母分式的加减法法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用字母表示为 。 2.同分母分式相加减的一般步骤(1)分母不变，把分子相加减 (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项(3)结果应化成最简分武或整式 特别解读 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，若分子是多项式，必须带上括号然后再运算 分式的通分 1.分式的通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2.最简公分母通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 3.通分的一般步骤 (1)确定最简公分母; (2)用最简公分母分别除以各分母求商:(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 特别解读 约分与通分的联系与区别:1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变。2.约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式。 异分母分式的加减法 1．异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 用字母表示为 ． 2.异分母分式相加减的一般步骤 (1)通分!将异分母分式转化为同分母分式;(2)加减:按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算注意异分母分式加减运算的关键是通分 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积。 分式的混合运算 1.分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减,有括号时:先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行 2.分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算(2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单(3)运算结果是最简分式或整式 特别提醒1.分式混合运算要注意运算顺序和解题步骤把好符号关。 2.分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法分 配律进行计算 分式方程的概念 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 2.判断一个方程是分式方程的条件(1)是方程;(2)含有分母;(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可 特别解读 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能运用等式的性质进行变形 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程 2.增根在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0，则这个解叫做原分式方程的增根 特别解读 1.解分式方程的关键是去分母，去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去 3.对增根的理解: (1)增根一定是分式方程化为的整式方程的解:(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为 0时未知数的值. 分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题:速度x时间=路程 (2)利润问题:利润=售价- 进价;利润率=利润÷进价X100%. (3)工程问题:工作量=工作时间x工作效率;总工作量=各个分工作量之和.(4)储蓄问题:本息和=本金+利息 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找 出等量关系。 (2)设:即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量。 (3)列:即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解:即解所列的分式方程，求出未知数的值 (5)验:即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义 (6)答:即写出答案，注意单位和答案要完整 特别解读 审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分数量的等量关系列方程。 设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数:若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数;有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数即设辅助未知数. 应用题中解分式方程同样要验根 题型一、分式的判断 1．（23-24八年级下·山西晋城·期末）下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·山西临汾·期末）在学习整式的加、减、乘及除法运算时，我们是回忆小学学习整数的加、减、乘及除法运算的方法来研究的．由整数的除法可得到分数，由两个整式相除可得到分式．学习分式的相关运算时，我们同样是回忆和对比分数的有关知识来探索和发现分式的运算方式，这种研究分式的方法是（    ） A．转化 B．类比 C．数形结合 D．公理化 题型二、分式有意义的条件 4．（23-24八年级下·山西太原·期末）若分式有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·山西晋城·期末）若分式有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·山西太原·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·山西运城·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·山西太原·期末）分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 题型三、分式值为零的条件 9．（23-24八年级下·山西长治·期末）使得分式值为0的条件是 ． 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）若分式的值为0，则x的值为 ． 11．（22-23八年级下·山西晋城·期末）取何值时，分式的值为0（    ） A．2 B． C． D．3 题型四、判断分式变形是否正确 12．（22-23八年级下·山西运城·期末）下列分式的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·山西临汾·期末）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·山西晋中·期末）下列式子从左到右变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五、利用分式的基本性质判断分式值的变化 15．（23-24八年级下·山西临汾·期末）若把分式中的x，y都缩小为原来的，则分式的值（  ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．无法确定 16．（23-24八年级下·山西运城·期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．缩小为原来的 17．（22-23八年级下·山西运城·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六、最简分式 18．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 题型七、约分 21．（22-23八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·山西晋中·期末）下列分式是最简分式的为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·山西太原·期末）将分式化成最简分式的结果为 ． 题型八、分式除法 24．（23-24八年级下·山西临汾·期末）计算的结果是 ． 25．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 26．（22-23八年级下·山西晋中·期末）化简的结果是 ． 题型九、异分母分式加减法 27． （23-24八年级下·山西临汾·期末）化简：． 28．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 29．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式                               第一步                                  第二步                          第三步                                         第四步                                        第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．函数思想      B．数形结合思想     C．转化思想     D．统计思想 (2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； (3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 题型十、分式加减乘除混合运算 30．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步         第二步     第三步         第四步         第五步         第六步 任务一：①以上化简步骤中，第二步的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步出错的原因是______； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 31．（23-24八年级下·山西晋城·期末）化简的结果是 32．（22-23八年级下·山西临汾·期末）下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 ……………………第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于______；（填“整式乘法”或“因式分解”） ②以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______； ③第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是____________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______． 题型十一、分式化简求值 33．（23-24八年级下·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中． 请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成相应任务： 原式          第一步             第二步            第三步               第四步            第五步 当时，原式      第六步 任务一：小明的解题过程中，第二步变形运用的运算律是______；第五步变形的依据是______； 任务二：小明的解题过程中，第______步开始出错的，正确的结果是_______． 34．（23-24八年级下·山西朔州·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 35． （23-24八年级下·山西太原·期末）先化简，再求值：，其中， 36．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 37．（22-23八年级下·山西大同·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 题型十二、解分式方程（化为一元一次） 38．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 39．（23-24八年级下·山西晋城·期末）（1）计算：； （2）解方程：. 40．（23-24八年级下·山西临汾·期末）（1）计算：． （2）下面是小华解分式方程的过程，请你认其阅读并完成相应的任务． 解：原方程可变形为，………………第1步 去分母，得，…………………………第2步 解，得，…………………………………………第3步 检验：将代入，， 所以，是原方程的解．…………………………第4步 任务： ①上述解答过程中第1步变形逆用了______（填运算律）； ②上述解答过程中，从第______步开始出错，请你将这步改正为________________； ③写出解原方程的正确结果：______． 题型十三、列分式方程 41．（23-24八年级下·山西运城·期末）为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·山西临汾·期末）天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23八年级下·山西太原·期末）随着太原西山封山防火期结束，6月1日，天龙山景区向游客恢复自驾游．天龙山公路全长30千米，起点与终点的高低落差达350米，被誉为“云端上的公路”．李老师驾车游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去程慢6千米/时，结果返程比去程多用了15分钟．根据情境小颖列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（　　）    A．去程的平均速度 B．返程的平均速度 C．去程所用的时间 D．返程所用的时间 题型十四、分式方程的实际问题 44．（22-23八年级下·山西临汾·期末）某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校的山西博物院开展“研学之旅”，大巴车从学校出发时，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往山西博物院，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 45．（23-24八年级下·山西临汾·期末）为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，某山区积极推进增绿、补绿、复绿工程，计划对面积为的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队每天完成绿化的面积是甲工程队每天完成绿化面积的1.5倍．已知完成面积为的绿化工程时，甲工程队比乙工程队多用3天．求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积． 46．（23-24八年级下·山西长治·期末）长治市漳泽湖国家湿地公园是长治的城市后花园,也是三晋大地独一无二的城市湿地，更是山西省乃至华北地区湖泊、河流湿地的典型代表．春日的漳泽湖国家城市湿地公园．就像一幅充满生机与活力的画卷．为了让游客有更好的游览体验，公园管理人员计划购进白色和粉色两种郁金香装饰景点．已知白色郁金香的单价比粉色郁金香的单价高，用600元购买粉色郁金香的朵数比用864元购买白色郁金香的朵数少20朵，求白色郁金香和粉色郁金香两种花的单价各是多少元？ 47．（23-24八年级下·山西临汾·期末）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 【例1】先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键是需要检验方程的根是否使得分式有意义，再进行代值计算． 首先化简分式，然后解一元二次方程求出的值，然后选取使分式有意义的值代入求解即可． 【详解】解： ， 解得：， ， ， 当时，原式． 【例2】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得出两种情况：当时，方程无解；当时，方程的解为，根据分式方程的分母为得出，此时分式方程无解；分别求出的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 整理，得， 当时，方程无解，此时； 当时，方程的解为， 关于的分式方程无解， ，即， ， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 【例3】学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下： ① ② ③ ④ (1)请你分析小明的解答从第_____步开始出现错误（填序号），错误的原因是______； (2)请写出正确解答过程，并求出当时此式的值． 【答案】(1)③，直接去掉了分母 (2)过程见解析，， 【知识点】分式化简求值、分式加减混合运算 【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：小明的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是漏掉了分母； （2）正确的解答过程如下： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 检验分式方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则:这个解不是原分式方程的解.(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式; (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式再找公因式. 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（    ） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 4．已知，则分式为 ． 5．化简，结果是 6．化简的结果是 ． 7．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 8．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并回答问题．     第一步     第二步         第三步         第四步         第五步 任务一：填空 ①在以上化简过程中，第__________步对分式进行了通分，通分的依据是__________． ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确答案________________________________________． 任务三：除纠正以上错误外，请你根据平时学习经验，就分式化简时还需要注意什么事项，给其他同学一条建议________________________________________． 9．某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 10．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子进行销售．经了解，每个鲜肉粽的进价是每个蜜枣粽进价的，用2000元购进鲜肉粽的个数比用900元购进蜜枣粽的个数多50个． (1)鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共300个（两种都有），若鲜肉粽、蜜枣粽的售价分别为14元/个、8元/个，若要使两种粽子全部售完时获得的利润不少于1000元，则该超市至少应购进鲜肉粽多少个？ 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$