13.3.1 空间图形的表面积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间图形表面积，通过A/B/C三层设计实现从基础公式应用到综合探究的进阶，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|单一几何体表面积计算（正六棱柱、圆锥等）|选择填空为主，强化公式直接应用| |B层|组合体与几何变换（内接圆柱、轴截面）|含多选题与中档解答题，提升推理能力| |C层|复杂情境与探究（直三棱柱综合、包装问题）|综合性解答题，发展创新意识与模型观念|

13.3.1　空间图形的表面积 A层 基础达标练 1.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为(　　) A.48(3+) B.48(3+2) C.24() D.144 2.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为(　　) A.4π B.5π C.6π D.12π 3.若正三棱锥P-ABC的表面积是底面积的5倍,则=(　　) A. B. C. D.2 4.已知圆台的母线与底面所成的角为60°,上底面圆的半径为1(较小底面的半径),侧面积为6π,则圆台的母线长为(　　) A.2 B. C.3 D. 5.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　) A. B. C. D. 6.如图①所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图②所示的几何体,那么此几何体的表面积为　　　　.  ① ② 7. 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长; (2)PC与NC的长; (3)此三棱柱的表面积. B层 能力提升练 8.(多选题)已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,设圆锥的顶点为P,A,B是底面圆周上的两个动点,则下列说法中正确的是(　　) A.圆锥的侧面积为4π B.圆锥的母线长为2 C.△PAB可能为等腰直角三角形 D.△PAB面积的最大值为 9.如图,圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等,圆柱的表面积为S1,圆锥的表面积为S2,则S1∶S2=(　　) A.1∶(1+) B.1∶ C.1∶(-1) D.1∶(+2) 10.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　　.  11.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,且该圆锥的母线是底面半径的倍,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　　.  12.有一塔形空间图形由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形空间图形的表面积为　　　　.  13.如图,在四边形ABCD中,AB=2,PD=DC=BC=1,AB∥DC,∠BCD=90°,F为AB上的点且AF=,若PD⊥平面ABCD,E为PC的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的侧面积. C层 拓展探究练 14. (多选题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是A1B1,AC1的中点,则下列说法中正确的是(　　) A.直线MN∥平面BCC1B1 B.△ABC1的面积为2 C.四棱锥C1-ABB1A1的表面积为2+8 D.四棱锥C1-ABB1A1的表面积为+8 15.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 16. 正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比; (2)若大棱锥的侧棱长为12 cm,小棱锥的底面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面积与全面积. 参考答案 1.A　由题知侧面积为6×6×4=144,两底面积之和为242×6=48,所以表面积S=48(3+).故选A. 2.C　因为底面半径r=2,所以底面周长L=2πr=4π,又圆锥母线长l==3,所以圆锥侧面积S=πrl=6π.故选C. 3.B　设正三棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,则底面面积为S1=a2,侧面积为S2=3a,且表面积是底面积的5倍,则侧面积是底面积的4倍,即4S1=S2,化简可得a,即,所以故选B. 4.A　设圆台上、下底面的半径分别为r1,r2(r2>r1),母线长为l,则r1=1,=cos 60°,所以r2=l+1.由圆台的侧面积S=π(r1+r2)l=l=6π,得l2+4l-12=0,解得l=2或l=-6(舍去).故选A. 5.A　设正方形边长为a,圆柱底面半径为r,易知圆柱高为a,则2πr=a,r=,全面积为S=2πr2+a2=2π+a2=a2,而侧面积为S'=a2,所以全面积与侧面积之比+1=故选A. 6.(2+)a2　由已知可得正方体的棱长为a,新几何体的表面积为S表=2a·a+4=(2+)a2. 7.解 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为 (2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线. 设PC=x,即P1C=x.在Rt△MAP1中,(3+x)2+22=29,解得x=2或x=-8(舍去),所以PC=P1C=2. 又因为,所以NC=2 (3)此三棱柱的表面积S表=S侧+2S底=9×4+232= 8.BD　设圆锥母线长为l.由题意,得πl=2π×1,解得l=2,故B正确;侧面积为S=πrl=π×1×2=2π,故A错误;显然圆锥的轴截面是正三角形,顶角为,因此△PAB的顶角∠APB,不可能为直角三角形,故C错误;因为轴截面面积为S'=22=,所以△PAB面积的最大值为,故D正确.故选BD. 9.A　作圆锥、圆柱轴截面,如图所示.设圆锥的底面半径和高为R,圆柱的底面半径和高为r,则, 所以R=2r,S1=2πr2+2πr·r=4πr2,S2=πR2+πRR=(1+)·4πr2,所以S1∶S2=1∶(1+). 故选A. 10.2∶1　因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形,故圆柱的底面半径r=a,母线长l=a,故圆柱的表面积S=2πr(r+l)=a2π.因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形,故圆锥的底面半径r'=a,母线长l'=a,故圆锥的表面积S'=πr'(r'+l')=a2π,故它们的表面积之比为2∶1. 11.40　 如图,设顶点S在底面圆的射影点为H,连接HA,HB,AB.因为圆锥的母线是底面半径的倍,设HB=x,则SA=SB=x,SH=x.因为母线SA,SB所成角的余弦值为,所以sin∠ASB=,又△SAB的面积为SA·SB·sin∠ASB=xx=5,所以x=2,SA=SB=4,所以该圆锥的侧面积为π×24=40 12.36　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1, ∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36. ∴该塔形空间图形的表面积为36. 13.(1)证明 如图,设CD的中点为H,连接EH,FH, ∵E为PC的中点, ∴EH∥PD. 又∵PD⊂平面PAD,EH⊄平面PAD, ∴EH∥平面PAD. ∵CD=1,AB∥DC,AF=, ∴DH∥AF,且DH=AF=, ∴四边形AFHD为平行四边形, ∴FH∥AD. 又∵AD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD, ∴FH∥平面PAD. 又∵EH∩FH=H,EH,FH⊂平面EFH, ∴平面PAD∥平面EFH. 又∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAD. (2)解 ∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC. 又∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.同理,PD⊥DC,PD⊥AD, 又∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PDC, ∴BC⊥平面PDC,又PC⊂平面PDC,∴BC⊥PC, ∴△PDC,△PDA,△PCB都为直角三角形. ∵AB=2,PD=DC=BC=1,AB∥DC,∠BCD=90°, ∴PC=,AD=,PA=,PB=,可得PA=PB, ∴S△PBC=1,S△PDC=1×1=, S△PDA=1= 设等腰三角形PAB中,AB边上的高为h, 则h=, ∴S△PAB=2, ∴S△PBC+S△PDC+S△PDA+S△PAB=, 即四棱锥P-ABCD的侧面积为 14.AD　 对于A,如图,取AB的中点E,连接ME,NE. 因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=BC=BB1=2,所以△ABC是等边三角形.又因为M,N分别是A1B1,AC1的中点, 所以ME∥BB1,EN∥BC1.又BB1⊄平面MNE,ME⊂平面MNE,所以BB1∥平面MNE. 同理,BC1∥平面MNE.又BB1∩BC1=B,BB1,BC1⊂平面BCC1B1,所以平面BCC1B1∥平面MNE.因为MN⊂平面MNE,所以MN∥平面BCC1B1,故A正确; 对于B,由条件知BC1=AC1==2,所以2,故B不正确;对于C,D,四棱锥C1-ABB1A1的表面积S=+2+22×2+2×2×sin 60°+2×2=+8,故C不正确,D正确.故选AD. 15.B　如图①是棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.故选B. 图① 图② 16.解 (1)设小棱锥的底面边长为a,斜高为h,则大棱锥的底面边长为2a,斜高为2h, 所以S大棱锥侧=62a×2h=12ah,S小棱锥侧=6ah=3ah, 所以棱台的侧面积为12ah-3ah=9ah,因此,大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3. (2)因为小棱锥底面边长为4 cm,所以大棱锥底面边长为8 cm, 又因为大棱锥的侧棱长为12 cm,所以斜高为=8(cm), 所以S大棱锥侧=68×8=192(cm2), 所以棱台的侧面积为192=144(cm2), S棱台上底面=642=24(cm2), S棱台下底面=682=96(cm2), 所以S棱台全=144+120(cm2), 故棱台的侧面积为144 cm2,全面积为(144+120)cm2. 10 学科网（北京）股份有限公司 $