山东烟台市莱山区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制）

山东省烟台市莱山区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1．（3分）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．不期而遇 B．旭日东升 C．竹篮打水 D．画饼充饥 3．（3分）下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3分）如图，在下列条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A+∠AFD＝180° B．∠A＝∠CFD C．∠BED＝∠EDF D．∠A＝∠BED 5．（3分）将一把直尺和一个含30°角的三角尺按如图位置摆放，若∠α＝18°，则∠β 的度数是（　　） A．118° B．122° C．132° D．138° 6．（3分）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　） A．由①得y＝5﹣2x B．由①得y＝2x﹣5 C．由②得x＝3y﹣10 D．由②得x＝10+3y 7．（3分）从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 8．（3分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x+y＝2的解的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为（　　） A．3.2m2 B．2.4m2 C．1.6m2 D．0.8m2 10．（3分）如图，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．105° B．100° C．90° D．85° 11．（3分）如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（　　） A．12 B．48 C．58 D．72 12．（3分）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，给出下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13．（3分）把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 　 　 ． 14．（3分）在英语句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“u”的概率为　 　 ． 15．（3分）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线CD与地面平行，车架AB与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若AE∥BD，∠AEC＝75°，则∠D+∠ECD的度数是　 　 ． 16．（3分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价格一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值三百钱；劣田7亩价值500钱．今合买良，劣田100亩，价值10000钱．问良田，劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为　 　 ． 17．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE＝2∠CFD′，则∠AEF的度数是　 　 ． 18．（3分）解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a+b﹣c＝　 　 ． 19．（3分）如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　 ． 20．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21．（6分）用适当的方法解下列方程组． （1）； （2）． 22．（8分）（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 　 　 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 23．（6分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，点F在AC的延长线上，过点C作直线MN∥AB，且∠BCF＝74°，∠BCN＝26°．求∠DCE的度数． 24．（6分）我们规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程5x+6y＝12　 　 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程2kx+（k﹣3）y＝9是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求8p﹣3q的值． 25．（6分）如图，已知∠FED+∠BGF＝180°，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥DF； （2）∠FED﹣∠AED＝51°，∠FED﹣∠BEF＝63°，求∠D． 26．（8分）某超市购进甲、乙两种类型的保温杯进行销售，已知购进4个甲类保温杯和5个乙类保温杯的价钱相同，购进3个甲类保温杯比购进2个乙类保温杯多用154元． （1）求甲、乙两类保温杯每一个的进价分别是多少？ （2）超市根据市场需求，决定购进这两种类型的保温杯共80个进行销售，甲类保温杯每个售价160元，乙类保温杯每个售价140元，若超市购进的这两类保温杯全部售出后，共获利4100元，则该超市本次购进甲、乙两种类型的保温杯各多少个？ 27．（10分）【问题情境】（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝130°，∠DCP＝120°，则∠APC的度数为　 　 ； 【问题迁移】（2）如图2，AB∥CD，点P在直线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在线段BD上（不与B，D重合）时，∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； 【问题应用】（3）在（2）的条件下，如果点P不在线段BD上，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2：与x轴交于点B（1，0），与l1相交于点C（m，4）． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形OBCD的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点M（t，0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q．若S△AQC＝2S△ABC，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 山东省烟台市莱山区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案 1、 选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 答案 B A C D C B D D B C B D 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分） 13．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 14．． 15．75°． 16．． 17．72°． 18．11． 19．35°． 20．． 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分） 21．（解：（1）， 由①得：x＝3y+1③， 把③代入②，得3（3y+1）+y＝13， 去括号，得9y+3+y＝13， 解得：y＝1， 把y＝1代入③，得x＝3×1+1＝4， ∴方程组的解为； （2）原方程组变形为：， ①×2，得8x﹣2y＝10③， ②+③，得11x＝22， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得4×2﹣y＝5， 解得：y＝3， ∴方程组的解为． 22．解：（1）根据题意，图中正方形的面积为2a×2a＝4a2， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率P； （2）∵图形的总面积为a2+（2a）2＝5a2，阴影部分面积为5a2﹣（2a+a）×2a÷2＝2a2， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： ∵甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 23．解：∵MN∥AB， ∴∠B＝∠BCN＝26°， ∵∠BCF＝74°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝106° ∵CE平分∠ACB， ∴， ∵∠DEC是△BEC的外角， ∴∠DEC＝∠B+∠BCE＝79°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDA＝90°， ∴∠DC＝∠CDA﹣∠DEC＝11°． 24．解：（1）∵5+6＝11≠12， ∴方程不是“幸福”方程； 故答案为：不是； （2）2k+k﹣3＝9， 解得k＝4； （3）由题意得， 解得， ∴，解得， ∴， ∴8p﹣3q＝5． 25．解：（1）∵∠FED+∠BGF＝180°，∠BGF＝∠EGC， ∴∠FED+∠EGC＝180°， ∴BC∥ED， ∴∠B+∠BED＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BFD+∠D＝180°， ∴AB∥DF； （2）设∠FED＝x， ∵∠FED﹣∠AED＝51°，∠FED﹣∠BEF＝63°， ∴∠AED＝x﹣51°，∠BEF＝x﹣63°， ∵∠AED+∠FED+∠BEF＝180°， ∴x﹣51°+x+x﹣63°＝180°， ∴x＝98°， ∴∠AED＝98°﹣51°＝47°， ∵AB∥DF， ∴∠D＝∠AED＝47°． 26．解：（1）设甲类保温杯每个进价为x元，乙类保温杯每个的进价为y元，依题意得： ， 解得：． 答：甲类保温杯每个的进价为110元，乙类保温杯每个的进价为88元； （2）设该超市本次购进甲类保温杯m个，则购进乙类保温杯为（80﹣m）个， 依题意得：（160﹣110）m+（140﹣88）（80﹣m）＝4100， 解得：m＝30， ∴80﹣m＝80﹣30＝50（台）． 答：该超市本次购进甲类保温杯30个，乙类保温杯50个． 27．解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+∠CPE＝180°， ∵∠BAP＝130°，∠DCP＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°， 故答案为：110°； （2）∠APC＝α+β，理由如下： 过点P作PF∥AB，如图2， ∵AB∥CD， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠CPF＝∠PCD＝β，∠FPA＝∠PAB＝α， ∴∠APC＝∠CPF+∠FPA＝α+β； （3）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α，理由如下： 当P在射线DM上时，PA交CD于G，如图3，∠APC＝α﹣β，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠PGD＝∠PAB＝α， ∵∠PGD＝∠PCD+∠APC， ∴∠APC＝∠PGD﹣∠PCD＝α﹣β； 当P在射线BO上时，PC交AB于H，如图，4，∠APC＝β﹣α，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠PHB＝∠PCD＝β， ∵∠PHB＝∠PAB+∠APC， ∴∠APC＝∠PHB﹣∠PAB＝β﹣α． 28．解：（1）∵直线l1：y＝x+2与l2相交于点C（m，4）， ∴4＝m+2， 解得m＝2， ∴C（2，4）， 设直线l2的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把点B（1，0），C（2，4）代入得： ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝4x﹣4； （2）当x＝0时，y＝2， ∴直线l1与y轴的交点D的坐标为（0，2）， ∴OD＝2， 当y＝0时，0＝x+2，x＝﹣2， ∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵B（1，0）， ∴AB＝3， ∴． （3）∵过点M（t，0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q， ∴点Q的坐标为：（t，4t﹣4）， ， ∴S△AQC＝2S△ABC＝12， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：t＝4， ∴此时点Q的坐标为（4，12）； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：t＝0， ∴此时点Q的坐标为（0，﹣4）； 综上分析可知，点Q的坐标为（0，﹣4）或（4，12）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $