11.2 正弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形 11.2　正弦定理 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.掌握正弦定理及其变形. 2.能用正弦定理解决简单的实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　正弦定理 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等,即. 知识点二　正弦定理的变形公式 若R为△ABC外接圆的半径,则 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. (2)sin A=,sin B=,sin C=. (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A. (4)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. (5)=2R. (6)A>B⇒a>b⇒sin A>sin B. 知识点三　三角形面积公式 S△ABC=bcsin A;S△ABC=acsin B;S△ABC=absin C(a,b,c是△ABC的三个内角A,B,C所对的边). 【拓展】S△ABC=,S△ABC=r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径). 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 对于△ABC, (1)若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形.(　　) (2)若A>B,则sin A>sin B.(　　) (3)若b=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个.(　　) (4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　) √ √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】已知两角和一边解三角形 例 1 [链接教材例1]在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形. 解 ∵B=30°,C=105°, ∴A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理,得, 解得a==4 因为sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° =,故c==2+2 题后反思　已知两角及一边解三角形 (1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 跟踪训练1 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,B=45°,C=75°,则b=(　　) A. B.1 C. D. C 解析 ∵B=45°,C=75°,∴A=180°-B-C=180°-45°-75°=60°. 在△ABC中,a=,根据正弦定理可得, ∴b=故选C. 【题型二】已知两边和其中一边对角解三角形 例 2 [链接教材例2]在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形. 解 ∵,∴sin B=, ∴B=30°或B=150°. 又a>b,∴A>B,∴B=30°,∴C=180°-45°-30°=105°. 由正弦定理得c=+1. 题后反思　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表: 类别 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 跟踪训练2 在△ABC中,a=2,b=6,A=,则此三角形(　　) A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 C 解析 在△ABC中,a=2,b=6,A=,根据正弦定理可得, 可得sin B=,则B=或B=当B=时,C=;当B=时, C=故此三角形有两解.故选C. 【题型三】三角形形状判断 例 3 [链接教材例4]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2=(acos B+bcos A)2,试判断△ABC的形状. 解 △ABC是直角三角形. 证明:(方法一)∵a2-b2=(acos B+bcos A)2, ∴由正弦定理,可得sin2A-sin2B=(sin Acos B+sin Bcos A)2, ∴sin2A-sin2B=sin2(A+B). ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴sin(A+B)=sin C, ∴sin2A-sin2B=sin2C. 由正弦定理,可得a2-b2=c2,即b2+c2=a2, ∴△ABC为直角三角形. (方法二)由射影定理得,acos B+bcos A=c, ∴a2-b2=(acos B+bcos A)2=c2, 即b2+c2=a2,∴△ABC为直角三角形. 题后反思　判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下: (1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径); (2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有: sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). 跟踪训练3 在△ABC中,acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D 解析 在△ABC中,acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,整理可得sin 2A=sin 2B,故2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=故三角形为等腰三角形或直角三角形.故选D. 【题型四】三角形面积公式的应用 例 4 [链接教材习题11.2,T7]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,求△ABC的面积. 解 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B, ∵b=6,a=2c,B=,∴36=(2c)2+c2-4c2cos, ∴c2=12,∴S△ABC=acsin B=c2sin B=12=6 题后反思　求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),及该角的两边,代入公式求面积; (2)若已知三角形的三边,可先求某个角的余弦值,再求其正弦值,最后代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 跟踪训练4 (1)已知在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,且AC≠BC,则△ABC的面积为(　　) A. B.3 C.2 D.4 C 解析 在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即4=12+BC2-2×2BC,解得BC=4或BC=2.又AC≠BC,所以BC=4, 因此S△ABC=AB·BC·sin B=24=2故选C. (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,c=3,△ABC的内切圆半径r=,则△ABC的面积为　　　　　.  解析 如图,设内切圆与△ABC三边AB,AC,CB分别相切于点D,E,F,易知CE=CF,∠ECO=∠FCO=30°.因为CA+CB-AB=CE+CF=2CE,所以在Rt△CEO中,有CE=rtan 60°=1,所以a+b-c=2.又c=3,所以a+b=5,则a+b+c=8,所以S△ABC=(a+b+c)·r= $