11.1 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形 11.1　余弦定理 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.掌握余弦定理. 2.能够利用余弦定理解决有关问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　余弦定理 文字 语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C 知识点二　余弦定理的变形 cos A=,cos B=,cos C=. 知识点三　余弦定理的应用 利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知三边,求三个角. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在△ABC中,若a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形.(　　) (2)在△ABC中,若cos A=>0,则△ABC为锐角三角形.(　　) (3)已知三角形两边及夹角,则此三角形完全确定.(　　) (4)在△ABC中,若b2+c2-a2<0,则△ABC为钝角三角形.(　　) √ × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】已知两边一角解三角形 例 1 (1)(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=30°,a=1,c=,则b的值可能是(　　) A.1 B. C. D.2 AD 解析 在△ABC中,A=30°,a=1,c=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以1=b2+3-2b,即b2-3b+2=0,解得b=1或b=2,所以b的值可能是1或2.故选AD. (2)若在△ABC中,a=5,b=4,sin C=,则c=　　 　　.  解析因为sin C=,0<C<π,所以cos C=± 当cos C=时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+16-2×5×4=17.因为c>0,所以c=; 当cos C=-时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+16-2×5×4 =65. 因为c>0,所以c=故答案为 题后反思　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以直接用余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. 跟踪训练1 在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=(　　) A.4 B. C. D.2 A 解析 ∵cos C=2cos2-1=2-1=-,cos C==-, ∴AB=4故选A. 【题型二】已知三边(或关系)解三角形 例 2 在△ABC中,若(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则△ABC的最大内角的度数为(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° C 解析 令b+c=8k,k>0,则c+a=10k,a+b=12k, 所以a=7k,b=5k,c=3k,所以A最大, 所以cos A==-, 因为0°<A<180°,所以A=120°.故选C. 题后反思　已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理求出其中两个角的余弦值,从而求出两个角;再利用三角形的内角和定理求出第三个角. 跟踪训练2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,则A等于　　　　.  解析 在△ABC中,cos A=又因为A∈(0,π),所以A= 【题型三】判断三角形形状 例 3 已知在△ABC中,A+C=,b2=ac,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 B 解析 因为A+C=,所以B=又b2=ac,由余弦定理,可得b2=a2+c2-2accos B =a2+c2-ac,所以a2+c2-ac=ac,即a2+c2-2ac=(a-c)2=0,解得a=c.又B=,所以△ABC为等边三角形.故选B. 题后反思　判断三角形形状的方法 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论: ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. ④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=. 跟踪训练3 在△ABC中,1+cos A=,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰三角形 A 解析 在△ABC中,1+cos A=,则1+,整理得c2=b2+a2,则C=90°, 因此△ABC的形状为直角三角形.故选A. $