函数模型及其应用课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据高考评价体系覆盖三种函数模型性质比较、常见函数模型应用及实际问题建模三大核心考点，通过真题分析明确“函数增长差异”“实际问题建模”等高频考点权重，归纳出图象分析、最值求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+建模思维+素养提升”的训练体系，如以2023新高考Ⅰ卷噪声污染问题为例，运用“数学建模”和“逻辑推理”素养，指导学生通过函数表达式转化、参数计算突破考点。设“解题思维路径”和“方法导引”，帮助学生掌握建模技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第11节　函数模型及其应用 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第11节　函数模型及其应用 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 两个高考关键点 关键点1 三种函数模型性质的比较 1.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(　　)[命题点❶] A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) B 返回目录 解析:在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 返回目录 2.(人教B版必修第一册教材习题改编)在某个物理实验中,测量出变量x和变量y的几组数据如下表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是(　　)[命题点❶] A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x D 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入其余各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D. 返回目录 3.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知函数y1=0.25x,y2=log2x+1, y3=1.002x,则随着x的增大,增长速度的大小关系是　　 　　　.(填关于y1,y2,y3的关系式)[命题点❶] y3>y1>y2 解析:根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得y3>y1>y2. 返回目录 关键点2 几种常见函数模型的应用 4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)[命题点❷] A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 C 解析:由题意知4.9=5+lg V,得lg V=-0.1,得V=10.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 返回目录 5.已知A,B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,则汽车与A地的距离s(单位:km) 关于时间t(单位:h)的函数表达式是　 　　　　　　　　　.[命题点❷] s= 返回目录 解析:当0≤t≤2.5时,s=60t;当2.5<t≤3.5时,s=150;当3.5<t≤6.5时, s=150-50(t-3.5)=325-50t.故s关于t的函数表达式为s= 返回目录 回归教材•考教衔接 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 1.三种函数模型的性质[❶] 结合图象比较增长差异;根据实际场景选择模型 返回目录 2.几类常见函数模型[❷] 依据数据趋势选模型;结合实际问题定参数 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) “对勾”函数模型 f(x)=ax+(a>0,b>0) 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 命题视角:观察图象特征,解读变化规律,将实际过程转化为函数关系并进行合理预测. 例1 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示: 返回目录 考点1 考点2 考点3 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中正确的是(　 　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 ABC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　已知函数模型解决实际问题 命题视角:将生产、生活、科技等现实问题抽象为函数模型,通过求解最值、分析单调性等决策优化方案. 例2 (1)(2026·广东梅州模拟)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+),它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1 000提升至5 000,则C大约增加了(　　)(附:lg 2≈0.301 0) A.20% B.23% C.28% D.50% B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:依题意,C1=Wlog2(1+5 000)≈Wlog25 000,C0=Wlog2(1+1 000)≈ Wlog21 000,则lg 5=0.23,所以C大约增加了23%.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2023·新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　 　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 ACD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意可知,燃油汽车=20×lg[60,90],所以 [60,90],① 同理,[50,60],② =102=100.③ 对于A选项,由表知,所以A正确;对于B选项,由②÷③,得[,10],所以10,所以p2≤10p3,所以B错误;对于C选项,由③,得=100,故p3=100p0,所以C正确;对于D选项,由①÷②,得[1,102],所以[1,100].所以p1≤100p2.所以D正确.故选ACD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 1.明确问题中变量与函数对应关系. 2.确定函数类型与参数的实际意义. 3.分析定义域、单调性等性质解释现象. 4.代入数据计算求解,验证结果合理性. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　构建函数模型解决实际问题 命题视角:以生活或科技情境为背景,建立函数模型,进行预测、决策与最优化求解. 例3在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2,设矩形的长为x m. (1)求总造价y(单位:元)关于长度x(单位:m)的函数; (2)当x(单位:m)取何值时,总造价最低,并求出最低总造价. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由矩形的长为x m,得矩形的宽为m,则中间区域的长为(x-4)m,宽为(-4)m,定义域为x∈(4,50).则y=100(x-4)(-4)+200×[200-(x-4)(-4)],整理得y=18 400+400(x+),x∈(4,50). (2)因为x+2=20,当且仅当x=,即x=10(4,50)时取等号.所以当x=10时,总造价最低为(18 400+8 000)元. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练 某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品,每袋桃酥的成本为6元,预计当一袋桃酥的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为万袋,并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费,一年的利润=一年的销售量×售价-(一年销售桃酥的成本+一年的管理费)(单位:万元). (1)求该专营店一年的利润L(单位:万元)与每袋桃酥食品的售价x的函数解析式; (2)当每袋桃酥的售价为多少元时,该专营店一年的利润L最大,并求出L的最大值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由题意知,该专营店一年的利润L(单位:万元)与售价x的函数解析式为L=x-(6+3x)=-3x,x∈[9,11]. (2)L=-3x=48--3(x-5)-15=33--3(x-5), 因为9≤x≤11,所以+3(x-5)≥2=24,当且仅当=3(x-5),即x=9时,取等号,此时L最大,为9万元.故当每袋桃酥的售价为9元时,该专营店一年的利润最大,且最大利润为9万元. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. (3)解模:求解函数模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势:近年高考突出函数建模的实际应用,侧重从生活情境中抽象函数模型,考查建模与数据处理能力. 1.(2025·安徽江南十校联考)酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全,交通法规定:机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20 mg~79 mg为酒后驾车,80 mg及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后,其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒后,其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少,则到他能驾驶需要的时间至少为(精确到0.001.参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　) A.7.963小时 B.8.005小时 C.8.022小时 D.8.105小时 C 返回目录 解析:设需经过x小时,由已知得1.2×0.8x<0.2,所以x>8.022,所以x>8.022. 返回目录 模块内融合:与函数性质、导数结合,通过单调性、最值分析优化模型,强化综合运用能力. 2.(原创)学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现,若捕鱼活动量为x(x>1)个单位,则捕鱼活动的收益P(x)=,捕鱼活动的成本Q(x)=kx,其中k为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下k=2,且当x=x0时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题,现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到k',使得x=x0时捕鱼活动的利润减少到0,则k'约为(　　) A.4.6 B.5.4 C.6.2 D.7.0 C 返回目录 解析:设捕鱼活动的利润为y,则y=P(x)-Q(x)=-2x=-x-+37,x>1,所以y'=-1+,令y'=0,解得x=6,所以当x∈(1,6)时,y'>0,单调递增;当x∈(6,+∞)时,y'<0,单调递减;所以当x=6时,y取最大值,所以x0=6;由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到k',当x=x0=6时,P(x)-Q(x)=-k'x=0,所以-6k'=0,解得k'=6.2.故选C. 返回目录 模块外融合:融合概率统计、数列等知识,构建跨模块综合题,考查学生交叉应用与创新思维能力. 3.(原创)某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利最大为(　　) A.204万元 B.220万元 C.304万元 D.320万元 A 返回目录 解析:设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设备引进费用,第n年的成本为an万元,则由题意,知{an}为等差数列,前n年成本之和为[24n+8]万元,故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,n∈N*,所以当n=10时,f(n)max=204,即总盈利的最大值为204万元.故选A. 返回目录 $