法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 线框模型 单杆模型 双杆模型 考点一 线框模型 解题思路点拨：分析线框进出磁场过程，判断感应电动势与感应电流；受力分析求安培力，结合平衡、牛顿定律或能量守恒，求解速度、位移、电量与焦耳热。 例1．（25-26高二下·重庆渝中·期中）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小，和均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放，金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中匀速运动。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。 (1)求金属框匀速运动的速率v； (2)求金属框从静止释放到刚完全离开Ⅰ区域过程中运动的位移及所用时间； (3)当金属框的ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（），若此时金属框的速率为，且，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，金属框移动的距离。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，根据楞次定律可得，安培力水平向左，则切割磁感线产生的电动势 线框中电流 线框做匀速直线运动，则 解得金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程的速率 （2）金属框开始释放到边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得 可得释放时边与区域Ⅰ上边界的距离 金属框释放后到完全离开Ⅰ区域运动的位移 金属框释放后到完全离开Ⅰ区域运动的时间 （3）当边刚进入区域Ⅱ时开始计时（），设线框边运动到区域Ⅱ距点的距离为时，线框的速度为，线框中产生的感应电动势 （其中） 线框中的感应电流 线框边受到沿轨道向上的安培力，大小为 线框边受到沿轨道向下的安培力，大小为 则线框受到的安培力 代入 化简得 当线框平衡时，可知此时线框速率为。 则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得 即 对时间累积求和可得 可得 例2．（25-26高二下·海南海口·期中）如图所示，两条平行虚线 和 将光滑水平面分成三个区域，其中区域Ⅰ和区域III分布有竖直向下的匀强磁场。区域Ⅰ中磁场的磁感应强度随时间变化的关系为（B0、k均为已知正常数）；区域III中磁场的磁感应强度 恒定。一正方形导体框放在水平面，左右两边与虚线平行，且一半面积处在区域I中，在时由静止释放。已知导体框的边长为L、质量为m、电阻为R，导体框刚要进入区域III时速度为 ，和间距离大于L。忽略电磁辐射能量损耗。 (1)求时导体框的磁通量。 (2)求时导体框的加速度大小a。 (3)若，，，，，求导体框恰好完全进入磁场区域III时的速度的大小。 (4)仍沿用第（3）问已知条件，求导体框进入区域III的过程中产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）时区域I中磁场的磁感应强度为，则导体框的磁通量为 （2）时导体框的感应电动势为 感应电流为 根据牛顿第二定律有 解得加速度大小为 （3）导体框进入区域III的过程中，根据动量定理有 其中 联立解得导体框恰好完全进入磁场区域III时的速度大小为 （4）根据能量守恒可得导体框进入区域III的过程中产生的焦耳热为 代入数据解得 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，边长为L=0.5m、质量为m=1kg的正方形单匝线框abcd，将其放置在光滑绝缘的水平面内。线框abcd以初速度进入磁感应强度大小为B=2T、方向竖直向下，宽度为d的匀强磁场，测得当线框完全穿过磁场时，其速度大小为，如图所示。 (1)求线框的电阻R (2)线框完全进入磁场时的速度v和该过程产生的焦耳热Q (3)当线框右端刚进入磁场时，求线框所受安培力大小和ab两点间电压Uab的大小。 【答案】(1)0.5 (2)3m/s，3.5J (3)8N，3V 【详解】（1）设线框电阻为R，对线框穿过磁场全过程，通过线框某一截面的电荷量 由动量定理 求和 联立解得 （2）对线框进入磁场过程，通过线框某一截面的电荷量 由动量定理 求和 联立解得 由能量守恒该过程产生的焦耳热 （3）由 由闭合电路的欧姆定律 线框所受安培力大小为 ab等效于电源，ab两点间的电压为路端电压，故 变式1．（25-26高二下·湖北十堰·期中）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为。纸面内有一正方形均匀金属线框，其边长为，总电阻为，边与磁场边界平行。从边刚进入磁场直至边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度匀速运动，求： (1)间的电压； (2)拉力做功的功率； (3)边产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从边刚进入磁场到边刚要进入的过程中，只有边切割磁感线，所以产生的感应电动势为 线框进入过程中线框中的电流为 所以ad间电压为 （2）ad边受到的安培力为 线框做匀速运动，拉力与安培力大小相等，所以拉力的功率为 （3）线框进入磁场的过程所用的时间为 ab边的电阻占总电阻的四分之一，所以ab边产生的焦耳热为 变式2．（25-26高二下·北京房山·期中）一个边长l=0.1m的正方形单匝线圈abcd，质量m=10g总阻值为R=0.2Ω。由高度h=0.2m处自由下落，如图所示。其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止，此匀强磁场区域宽度也为l，g取10m/s2，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)线圈在穿出匀强磁场过程中流过的电荷量q； (3)线圈在穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热。 【答案】(1)1T (2)0.05C (3)0.02J 【详解】（1）下边ab进入匀强磁场区域时的速度 线圈进入磁场时由平衡可知 解得B=1T （2）线圈在穿出匀强磁场过程中流过的电荷量 （3）由能量关系可知，线圈在穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热 变式3．（2026·山东枣庄·二模）如图所示，足够长的斜面倾角，虚线MN是其面内的一条水平线，MN下方区域内的匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度大小为，单匝正方形导体框abcd恰能静止在斜面上，ab边与MN的距离为。对导体框施加沿斜面向上的恒定拉力，使其由静止开始运动，ab边越过MN时导体框受力平衡，cd边离开磁场时撤去拉力。已知导体框的质量为、边长为、电阻为R，ab边始终与MN平行，重力加速度为。 (1)求导体框与斜面间的动摩擦因数以及ab边越过MN时速度大小； (2)若在MN上方的斜面上安装一水平弹性直挡板（未画出），挡板跟斜面垂直且与MN的距离为，导体框与挡板碰撞前后的速度大小不变，方向反向。导体框能再次到达磁场区域，但未能全部进入磁场，求应满足的条件。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）单匝正方形导体框abcd恰能静止在斜面上，则有 解得 导体框ab边越过MN之前，根据动能定理有 ab边越过MN时导体框受力平衡，则有 感应电动势 感应电流 解得 （2）假设导体框cd边再次向下进入磁场速度为时，导体框恰好全部进入磁场，该过程重力沿斜面的分力与滑动摩擦力大小相等，方向相反，根据动量定理有 感应电流的平均值 该过程的位移 解得 导体框出磁场向上运动过程做匀速直线运动，速度为，导体框越过磁场后向上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 当导体框以上述加速度减速到0过程，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 解得 导体框与挡板碰撞后开始向下做匀速直线运动，由于要求导体框与挡板碰撞后导体框能再次到达磁场区域，但未能全部进入磁场，则导体框与挡板碰撞时的速度满足 可知，导体框与挡板碰撞前，导体框应处于向上做匀减速直线运动阶段，令导体框向上运动，速度由减速至的位移为，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 解得 则应满足 解得 考点二 单杆模型 解题思路点拨：导体杆切割磁感线产生感应电动势，构建电路求电流；分析安培力与外力，用牛顿运动定律、动量定理或能量关系，求解运动状态和电热。 例1．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，一足够长的金属导轨质量，放在光滑的绝缘水平面上，导体棒质量（电阻不计）放置在导轨上且接触良好，已知导体棒与导轨动摩擦因数，构成矩形，导体棒右侧有两个固定于水平面的立柱。导轨段长，开始时右侧导轨的总电阻，导轨单位长度的电阻。以ef为界，其右侧匀强磁场方向竖直向上，左侧匀强磁场水平向右，磁感应强度大小均为。在时，一水平向右的拉力垂直作用在导轨的边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度，重力加速度。 (1)求回路中感应电流随时间变化的表达式； (2)求PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式； (3)导轨由静止开始做匀加速直线运动的过程中拉力的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知回路中的感应电动势为 导体做匀加速直线运动，则有 t时间内运动的位移为 回路中的总电阻 联立，得 （2）导轨受到外力F，安培力以及导体棒PQ的摩擦力的作用，其中安培力为 根据电路中电流大小处处相等，两侧磁场的磁感应强度大小相等，则导体棒PQ所受安培力的大小也是，方向竖直向下。导轨受到的摩擦力为 （3）根据牛顿第二定律可得 整理可得 由数学知识可知，当时，外力F有最大值，即 外力F的最大值为 例2．（25-26高二下·广东惠州·期中）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供I=1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为L=0.5m，磁感应强度大小为B=1T，MM′到NN′的距离为x=5m，a、b质量分别为ma=2kg、mb=8kg，a在导轨间的电阻为R=0.1Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若S接2端，a与b分离后某时刻a棒水平向右的速度大小为v=5m/s，求此时通过a的电流大小和方向。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为x1=1.25m时，求a与b正碰后储存的弹性势能Ep以及一起运动至NN′时的速度大小。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f=kv2（k=0.025N·s2/m2），且平行长直导轨足够长，求开关S一直接1端，a与b正碰后锁定并一起运动的最大速度大小。 【答案】(1)25A，方向从M′流向M (2)500J，20m/s (3) 【详解】（1）分离后当导体棒a水平向右的速度大小为5m/s时，根据法拉第电磁感应定律有                                            通过a的电流 联立解得I1=25A 根据右手定则可知通过a的电流方向从 流向M （2）规定水平向右为正方向，从运动至b位置过程中，由安培力提供加速度，根据牛顿第二定律有 解得 a与b正碰前，根据速度位移公式有 解得a的速度大小为 a与b碰撞过程中系统动量守恒，有 解得 根据能量守恒，可得储存的弹性势能为 解得                             ab碰后一起运动至过程中，根据牛顿第二定律有 解得 设ab一起运动至时的速度大小为，根据速度位移公式有                              解得 （3）当a棒所受安培力与b所受空气阻力大小相等时，a、b一起运动的速度最大，则有                                          代入数据解得 例3．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻不计。在之间接有一阻值的电阻。导体杆质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)杆速度减为时，杆加速度大小； (2)杆速度减为时，求杆上、两点电势差并判断、两点谁的电势更高？ (3)整个过程电阻上产生的热量； 【答案】(1) (2)1.5V，b点电势高 (3) 【详解】（1）ab杆速度减为2m/s时，ab杆产生的电动势为 回路电流为 ab杆受到的安培力为 则ab杆的加速度的大小为 （2）根据右手定则可知，b点电势高于a点电势，根据闭合电路的欧姆定律可知，杆上、两点电势差 （3）由能量守恒可知整个过程产生的热量为 电阻R上产生的热量为 变式1．（25-26高二下·福建·期中）如图甲所示，金属导轨MN和PQ平行，间距m，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度大小T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值的电阻，质量kg，电阻Ω的金属杆ab垂直导轨放置，金属杆与导轨间的动摩擦因数为。现用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属杆达到稳定状态时，通过电阻R的电荷量为3.5C。金属杆始终与导轨接触良好，对应过程的图像如图乙所示，取，，，导轨足够长且电阻不计，求： (1)恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，其运动的距离大小； (3)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，金属杆上产生的焦耳热； (4)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，其运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）当金属杆匀速运动时，由平衡条件得 由题图乙知，金属杆匀速运动时 则 联立代入相关已知数据求得 （2）由 又， 联立可得 代入数据可解得 （3）从金属杆开始运动到刚达到稳定状态的过程，由动能定理得 又                                      联立代入相关已知数据求得 可得金属杆上产生的焦耳热 （4）全程根据动量定理 其中 解得 变式2．（25-26高二下·湖南·期中）如图所示，两平行光滑导轨GP、KM固定在绝缘水平面上，两平行倾斜导轨PQ、MN固定在倾角θ=53°的绝缘斜面上，水平导轨和倾斜导轨（两部分均足够长）通过光滑绝缘材料平滑连接，导轨的间距均为L。G、K间通过开关连接着电动势为E、内阻为r的电源，N、Q间接有阻值为r的定值电阻。空间中存在着垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度为L的导体棒垂直水平导轨以及磁场静止放置，合上开关的瞬间导体棒对水平导轨的压力刚好为0，经过一段时间导体棒在水平导轨上做匀速直线运动，导体棒冲上倾斜导轨后，在倾斜导轨上运动至距水平面高度为h处时速度恰好为0，导体棒滑回到倾斜导轨底端前以大小为v的速度做匀速直线运动。已知重力加速度大小为g，导体棒在倾斜导轨上受到的摩擦力大小不变，，。导线、导轨以及导体棒的电阻均忽略不计。求： (1)导体棒的质量m； (2)导体棒从开始运动到第一次运动至MP处安培力对导体棒做的功W； (3)导体棒从刚冲上倾斜导轨到运动至最高点的过程中定值电阻上产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）合上开关的瞬间，导体棒中的电流 对导体棒受力分析，则有 解得 （2）导体棒在水平导轨上做匀速直线运动时有 导体棒从开始运动到第一次运动至MP处安培力对导体棒做的功 解得 （3）设导体棒与倾斜导轨间的滑动摩擦力大小为f，导体棒从刚冲上倾斜导轨到运动至最高点的过程中，则有 导体棒在倾斜导轨上做匀速直线运动时，则有 联立解得 变式3．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，电阻为r。导轨的电阻均可忽略不计。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒以速度v沿导轨向右匀速运动。 (1)求通过导体棒MN的电流的大小和方向； (2)求导体棒两端的电压U； (3)通过公式推导证明：在时间内，拉力对导体棒所做的功等于电路获得的电能。 【答案】(1)，方向沿导体棒由N到M (2) (3)见解析 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律 根据闭合电路欧姆定律 方向沿导体棒由N到M。 （2）根据欧姆定律 （3）导体棒MN匀速运动，受力平衡，则拉力 在时间内，拉力做功 电路获得的电能 可得 考点三 双杆模型 解题思路点拨：两杆组成闭合回路，安培力为系统内力；优先用动量守恒或动量定理分析速度变化，再结合电磁感应规律、能量守恒求速度、间距和焦耳热。 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，两条固定的光滑平行金属导轨，导轨宽度为，所在平面与水平面夹角为，导轨电阻忽略不计。虚线、均与导轨垂直其间距为，在与之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根质量均为，电阻均为的导体棒、先后自导轨上同一位置由静止释放，其时间间隔为，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知进入磁场时加速度恰好为0，当到达虚线处时仍在磁场区域内。求： (1)导体棒到达虚线处的速度； (2)当导体棒到达虚线的过程中导体棒上产生的热量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知进入磁场时加速度恰好为0，则对PQ此时进行受力分析，根据平衡条件有 解得此时电路中的电流为 则根据闭合电路欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有 解得导体棒到达虚线处的速度为 （2）根据能量守恒定律可知，该过程电路产生的总热量为 所以导体棒上产生的热量为 例2．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ由弯曲段和水平段组成，水平段的cdef矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，导体棒b处在磁场中垂直导轨放置，导体棒b静止的位置离ef的距离为s，导体棒a在弯曲段导轨上距水平段h高处由静止释放，当b刚要出磁场时，b的加速度为零。已知a、b两导体棒质量均为m，接入电路的电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导体棒a不会离开磁场，且运动中不会与b相碰撞，重力加速度为g，求： (1)导体棒a刚进入磁场时加速度大小； (2)整个过程中通过导体棒a的电荷量； (3)当b刚要离开磁场时，导体棒a在磁场中运动的距离； (4)整个过程中回路产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设导体棒a刚进入磁场时的速度大小为，根据机械能守恒有 解得 根据牛顿第二定律，， 联立，解得 （2）a棒最后必静止于磁场中，全程对其用动量定理 通过两个棒的电荷量相同，故 （3）a、b共速时加速度为零，设当b的加速度为零时，b的速度为，根据动量守恒有 解得 对b棒，根据动量定理 其中， 解得a、b导体棒之间减小的距离为 当b刚要离开磁场时，导体棒a在磁场中运动的距离为 （4）由能量守恒定律有 将代入可得 例3．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，光滑平行金属导轨由水平部分和圆弧部分及水平部分组成，固定于高度差为的两绝缘水平台面上。导轨间距均为，圆弧部分圆心角为半径为，水平部分足够长。右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。导体棒静置于右侧边缘处，导体棒静置于水平导轨上距为处。的质量分别为和，接入电路中的电阻分别为和2。现给一水平向右的瞬时冲量，使其从水平抛出，恰无碰撞地从沿切线滑入圆弧轨道。导体棒在轨道上时始终与两导轨垂直且接触良好，不计摩擦和空气阻力，导轨电阻不计，重力加速度取。 (1)求开始运动时的初速度大小； (2)求的最大加速度的大小： (3)从进入磁场，经过一段时间后，求达到的最终速度。 【答案】(1) (2) (3)1m/s，方向水平向右 【详解】（1）导体棒从到做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有 根据几何关系有 联立解得v0=1m/s （2）导体棒从到，根据动能定理有 解得 又导体棒刚进入磁场时速度最大，感应电动势最大，感应电流最大，则所受的安培力最大，即加速度最大。根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路的欧姆定律得 对分析，根据牛顿第二定律有 联立解得 （3）从进入磁场开始计时，经过一段时间后，达到共同速度，根据动量守恒定律有 解得v=1m/s，方向水平向右。 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图所示，间距均为的光滑平行倾斜导轨与足够长光滑平行水平导轨在、处平滑连接，虚线右侧存在方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场。a、b是两根完全相同粗细均匀的金属棒，每根棒的质量为，电阻为，刚开始a棒垂直固定在倾斜轨道上距水平面高处；b棒与水平导轨垂直并处于静止状态，距离的距离。现让a棒由静止释放，运动过程中与b棒始终没有接触且始终垂直于导轨；不计导轨电阻，重力加速度为，求： (1)a棒刚进入磁场时b棒上的电流大小； (2)稳定时b棒上产生的焦耳热； (3)稳定时a、b两棒间的间距。 【答案】(1)0.5A (2)0.1J (3)2m 【详解】（1）a棒下滑过程，设a棒刚进入水平磁场的速度为，根据动能定理有 解得 a棒刚进入磁场时产生的感应电动势 此时b棒上的感应电流 （2）系统稳定时ab棒共速，设共同速度为，根据动量守恒有 解得   根据能量守恒定律有 得   由于电阻相等，则 解得 （3）设a棒在水平轨道上运动至ab棒共速过程经历时间为，对棒进行分析，根据动量定理有   根据电流的定义式有 解得 上述过程电动势的平均值 根据闭合电路欧姆定律有 得   结合上述解得 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分ab是半径为R的四分之一圆弧，bcd水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨I部分两导轨间距为2L，导轨II部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨I部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求： (1)P棒运动到圆弧轨道末端b处时，P棒对轨道的压力大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，P棒的速度大小； (3)从P棒进入导轨II运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【答案】(1)3mg (2) (3) 【详解】（1）P棒到达轨道最低点时速度大小设为，根据动能定理，有    对P棒在b点，有    解得   由牛顿第三定律，有 （2）设Q棒第一次稳定运动时的速度为，P棒的速度为。当稳定时感应电流为零，则两棒产生的感应电动势相等 从Q棒开始运动到第一次速度达到稳定过程中，根据动量定理，对P棒有 对Q棒， 根据动量定理，有 联立解得 （3）从P棒进入导轨Ⅱ运动后，两棒切割磁场的长度相等，当速度稳定时，两棒的速度相同，设稳定速度为v。系统所受外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律，有 解得 P棒进入导轨Ⅱ运动后，接入电路的阻值变为，故P棒产生的热量 变式3．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图所示，两间距为的倾斜导轨与足够长的水平导轨平滑连接，导轨均平行且光滑，电阻不计。质量为的导体棒静止放在水平导轨上且与导轨垂直，在右侧存在竖直向上、大小为的匀强磁场。质量为的导体棒垂直于倾斜导轨，从离水平导轨高处由静止释放，整个过程、棒未接触。已知导体棒的有效电阻为，的有效电阻为，重力加速度为。求： (1)导体棒刚进入磁场时，俯视图看回路中感应电流的方向为“顺时针”还是“逆时针”？ (2)导体棒刚进入磁场时的加速度； (3)整个过程中通过导体棒的电荷量； (4)整个过程中导体棒产生的热量。 【答案】(1)逆时针 (2) (3) (4) 【详解】（1）根据右手定则可以判断导体棒刚进入磁场时，俯视图看回路中感应电流的方向为逆时针。 （2）导体棒a从静止释放到达cd，由 解得 此时导体棒开始切割磁感线，产生感应电动势 电流 安培力 根据 解得 （3）从a棒进入磁场到二者共速，由动量守恒定律得 对棒 通过棒的电荷量 解得 （4）从棒进入磁场到二者共速过程中，回路中产生的总焦耳热为 解得 导体棒产生的焦耳热 2 学科网（北京）股份有限公司 $法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 法拉第电磁感应定律的应用：线框模型、单杆模型、双杆模型专项训练 考点目录 线框模型 单杆模型 双杆模型 考点一 线框模型 解题思路点拨：分析线框进出磁场过程，判断感应电动势与感应电流；受力分析求安培力，结合平衡、牛顿定律或能量守恒，求解速度、位移、电量与焦耳热。 例1．（25-26高二下·重庆渝中·期中）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小，和均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放，金属框从开始进入到完全离开区域Ⅰ的过程中匀速运动。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。 (1)求金属框匀速运动的速率v； (2)求金属框从静止释放到刚完全离开Ⅰ区域过程中运动的位移及所用时间； (3)当金属框的ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（），若此时金属框的速率为，且，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，金属框移动的距离。 例2．（25-26高二下·海南海口·期中）如图所示，两条平行虚线 和 将光滑水平面分成三个区域，其中区域Ⅰ和区域III分布有竖直向下的匀强磁场。区域Ⅰ中磁场的磁感应强度随时间变化的关系为（B0、k均为已知正常数）；区域III中磁场的磁感应强度 恒定。一正方形导体框放在水平面，左右两边与虚线平行，且一半面积处在区域I中，在时由静止释放。已知导体框的边长为L、质量为m、电阻为R，导体框刚要进入区域III时速度为 ，和间距离大于L。忽略电磁辐射能量损耗。 (1)求时导体框的磁通量。 (2)求时导体框的加速度大小a。 (3)若，，，，，求导体框恰好完全进入磁场区域III时的速度的大小。 (4)仍沿用第（3）问已知条件，求导体框进入区域III的过程中产生的焦耳热Q。 例3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，边长为L=0.5m、质量为m=1kg的正方形单匝线框abcd，将其放置在光滑绝缘的水平面内。线框abcd以初速度进入磁感应强度大小为B=2T、方向竖直向下，宽度为d的匀强磁场，测得当线框完全穿过磁场时，其速度大小为，如图所示。 (1)求线框的电阻R (2)线框完全进入磁场时的速度v和该过程产生的焦耳热Q (3)当线框右端刚进入磁场时，求线框所受安培力大小和ab两点间电压Uab的大小。 变式1．（25-26高二下·湖北十堰·期中）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为。纸面内有一正方形均匀金属线框，其边长为，总电阻为，边与磁场边界平行。从边刚进入磁场直至边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度匀速运动，求： (1)间的电压； (2)拉力做功的功率； (3)边产生的焦耳热。 变式2．（25-26高二下·北京房山·期中）一个边长l=0.1m的正方形单匝线圈abcd，质量m=10g总阻值为R=0.2Ω。由高度h=0.2m处自由下落，如图所示。其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止，此匀强磁场区域宽度也为l，g取10m/s2，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)线圈在穿出匀强磁场过程中流过的电荷量q； (3)线圈在穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热。 变式3．（2026·山东枣庄·二模）如图所示，足够长的斜面倾角，虚线MN是其面内的一条水平线，MN下方区域内的匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度大小为，单匝正方形导体框abcd恰能静止在斜面上，ab边与MN的距离为。对导体框施加沿斜面向上的恒定拉力，使其由静止开始运动，ab边越过MN时导体框受力平衡，cd边离开磁场时撤去拉力。已知导体框的质量为、边长为、电阻为R，ab边始终与MN平行，重力加速度为。 (1)求导体框与斜面间的动摩擦因数以及ab边越过MN时速度大小； (2)若在MN上方的斜面上安装一水平弹性直挡板（未画出），挡板跟斜面垂直且与MN的距离为，导体框与挡板碰撞前后的速度大小不变，方向反向。导体框能再次到达磁场区域，但未能全部进入磁场，求应满足的条件。 考点二 单杆模型 解题思路点拨：导体杆切割磁感线产生感应电动势，构建电路求电流；分析安培力与外力，用牛顿运动定律、动量定理或能量关系，求解运动状态和电热。 例1．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，一足够长的金属导轨质量，放在光滑的绝缘水平面上，导体棒质量（电阻不计）放置在导轨上且接触良好，已知导体棒与导轨动摩擦因数，构成矩形，导体棒右侧有两个固定于水平面的立柱。导轨段长，开始时右侧导轨的总电阻，导轨单位长度的电阻。以ef为界，其右侧匀强磁场方向竖直向上，左侧匀强磁场水平向右，磁感应强度大小均为。在时，一水平向右的拉力垂直作用在导轨的边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度，重力加速度。 (1)求回路中感应电流随时间变化的表达式； (2)求PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式； (3)导轨由静止开始做匀加速直线运动的过程中拉力的最大值为多少？ 例2．（25-26高二下·广东惠州·期中）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供I=1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为L=0.5m，磁感应强度大小为B=1T，MM′到NN′的距离为x=5m，a、b质量分别为ma=2kg、mb=8kg，a在导轨间的电阻为R=0.1Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若S接2端，a与b分离后某时刻a棒水平向右的速度大小为v=5m/s，求此时通过a的电流大小和方向。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为x1=1.25m时，求a与b正碰后储存的弹性势能Ep以及一起运动至NN′时的速度大小。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f=kv2（k=0.025N·s2/m2），且平行长直导轨足够长，求开关S一直接1端，a与b正碰后锁定并一起运动的最大速度大小。 例3．（25-26高二下·广东东莞·期中）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨和，两导轨间距为，电阻不计。在之间接有一阻值的电阻。导体杆质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)杆速度减为时，杆加速度大小； (2)杆速度减为时，求杆上、两点电势差并判断、两点谁的电势更高？ (3)整个过程电阻上产生的热量； 变式1．（25-26高二下·福建·期中）如图甲所示，金属导轨MN和PQ平行，间距m，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度大小T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值的电阻，质量kg，电阻Ω的金属杆ab垂直导轨放置，金属杆与导轨间的动摩擦因数为。现用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属杆达到稳定状态时，通过电阻R的电荷量为3.5C。金属杆始终与导轨接触良好，对应过程的图像如图乙所示，取，，，导轨足够长且电阻不计，求： (1)恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，其运动的距离大小； (3)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，金属杆上产生的焦耳热； (4)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，其运动的时间。 变式2．（25-26高二下·湖南·期中）如图所示，两平行光滑导轨GP、KM固定在绝缘水平面上，两平行倾斜导轨PQ、MN固定在倾角θ=53°的绝缘斜面上，水平导轨和倾斜导轨（两部分均足够长）通过光滑绝缘材料平滑连接，导轨的间距均为L。G、K间通过开关连接着电动势为E、内阻为r的电源，N、Q间接有阻值为r的定值电阻。空间中存在着垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度为L的导体棒垂直水平导轨以及磁场静止放置，合上开关的瞬间导体棒对水平导轨的压力刚好为0，经过一段时间导体棒在水平导轨上做匀速直线运动，导体棒冲上倾斜导轨后，在倾斜导轨上运动至距水平面高度为h处时速度恰好为0，导体棒滑回到倾斜导轨底端前以大小为v的速度做匀速直线运动。已知重力加速度大小为g，导体棒在倾斜导轨上受到的摩擦力大小不变，，。导线、导轨以及导体棒的电阻均忽略不计。求： (1)导体棒的质量m； (2)导体棒从开始运动到第一次运动至MP处安培力对导体棒做的功W； (3)导体棒从刚冲上倾斜导轨到运动至最高点的过程中定值电阻上产生的焦耳热Q。 变式3．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好，电阻为r。导轨的电阻均可忽略不计。在平行于导轨的拉力作用下，导体棒以速度v沿导轨向右匀速运动。 (1)求通过导体棒MN的电流的大小和方向； (2)求导体棒两端的电压U； (3)通过公式推导证明：在时间内，拉力对导体棒所做的功等于电路获得的电能。 考点三 双杆模型 解题思路点拨：两杆组成闭合回路，安培力为系统内力；优先用动量守恒或动量定理分析速度变化，再结合电磁感应规律、能量守恒求速度、间距和焦耳热。 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，两条固定的光滑平行金属导轨，导轨宽度为，所在平面与水平面夹角为，导轨电阻忽略不计。虚线、均与导轨垂直其间距为，在与之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根质量均为，电阻均为的导体棒、先后自导轨上同一位置由静止释放，其时间间隔为，两者始终与导轨垂直且接触良好。已知进入磁场时加速度恰好为0，当到达虚线处时仍在磁场区域内。求： (1)导体棒到达虚线处的速度； (2)当导体棒到达虚线的过程中导体棒上产生的热量。 例2．（25-26高二下·山东临沂·阶段检测）如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ由弯曲段和水平段组成，水平段的cdef矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，导体棒b处在磁场中垂直导轨放置，导体棒b静止的位置离ef的距离为s，导体棒a在弯曲段导轨上距水平段h高处由静止释放，当b刚要出磁场时，b的加速度为零。已知a、b两导体棒质量均为m，接入电路的电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导体棒a不会离开磁场，且运动中不会与b相碰撞，重力加速度为g，求： (1)导体棒a刚进入磁场时加速度大小； (2)整个过程中通过导体棒a的电荷量； (3)当b刚要离开磁场时，导体棒a在磁场中运动的距离； (4)整个过程中回路产生的焦耳热。 例3．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，光滑平行金属导轨由水平部分和圆弧部分及水平部分组成，固定于高度差为的两绝缘水平台面上。导轨间距均为，圆弧部分圆心角为半径为，水平部分足够长。右侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。导体棒静置于右侧边缘处，导体棒静置于水平导轨上距为处。的质量分别为和，接入电路中的电阻分别为和2。现给一水平向右的瞬时冲量，使其从水平抛出，恰无碰撞地从沿切线滑入圆弧轨道。导体棒在轨道上时始终与两导轨垂直且接触良好，不计摩擦和空气阻力，导轨电阻不计，重力加速度取。 (1)求开始运动时的初速度大小； (2)求的最大加速度的大小： (3)从进入磁场，经过一段时间后，求达到的最终速度。 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图所示，间距均为的光滑平行倾斜导轨与足够长光滑平行水平导轨在、处平滑连接，虚线右侧存在方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场。a、b是两根完全相同粗细均匀的金属棒，每根棒的质量为，电阻为，刚开始a棒垂直固定在倾斜轨道上距水平面高处；b棒与水平导轨垂直并处于静止状态，距离的距离。现让a棒由静止释放，运动过程中与b棒始终没有接触且始终垂直于导轨；不计导轨电阻，重力加速度为，求： (1)a棒刚进入磁场时b棒上的电流大小； (2)稳定时b棒上产生的焦耳热； (3)稳定时a、b两棒间的间距。 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分ab是半径为R的四分之一圆弧，bcd水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨I部分两导轨间距为2L，导轨II部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨I部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求： (1)P棒运动到圆弧轨道末端b处时，P棒对轨道的压力大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，P棒的速度大小； (3)从P棒进入导轨II运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 变式3．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图所示，两间距为的倾斜导轨与足够长的水平导轨平滑连接，导轨均平行且光滑，电阻不计。质量为的导体棒静止放在水平导轨上且与导轨垂直，在右侧存在竖直向上、大小为的匀强磁场。质量为的导体棒垂直于倾斜导轨，从离水平导轨高处由静止释放，整个过程、棒未接触。已知导体棒的有效电阻为，的有效电阻为，重力加速度为。求： (1)导体棒刚进入磁场时，俯视图看回路中感应电流的方向为“顺时针”还是“逆时针”？ (2)导体棒刚进入磁场时的加速度； (3)整个过程中通过导体棒的电荷量； (4)整个过程中导体棒产生的热量。 2 学科网（北京）股份有限公司 $