动量守恒定律：反冲现象4种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第一册

动能守恒定律：反冲现象4种高频考点专项训练 动能守恒定律：反冲现象4种高频考点专项训练 考点目录 反冲现象中的动量守恒 火箭的原理 人船模型及其变式 爆炸问题 考点一 反冲现象中的动量守恒 解题思路点拨：系统初始总动量为零，内力远大于外力，全程动量守恒；依据动量守恒列方程，求解分离后各部分速度、位移。 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）一士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量为，该士兵用自动步枪沿水平方向连续射出发子弹，每发子弹的质量均为，子弹离开枪口时相对步枪的速度为。射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力。求： (1)第一次射击后皮划艇的速度大小； (2)第发子弹射击前后，皮划艇速度改变量的大小； (3)若，，，，连续射击10发子弹后，皮划艇的速度大小。 例2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）一架喷气式飞机质量为M，当水平飞行速度大小为v时，开始连续不断向后喷气。每次喷出气体的质量均为m，喷出气体相对飞机的速度大小均为u。求：（可能用到的近似：时，M-nm≈M；n为小于等于10的正整数） (1)第n次喷气时飞机的速度增大了多少? (2)若10m<<M，则第10次喷气后飞机速度多大? (3)若10m<<M，10次喷气所用时间为t，则该过程中飞机受到的平均反冲力多大? 例3．（25-26高二上·安徽六安·月考）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段时间后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： (1)脱离弹簧时A、B的速度大小和； (2)物块与桌面间的动摩擦因数； (3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 变式1．（25-26高二上·山东菏泽·期中）一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量，这个士兵用自动步枪在内沿水平方向射出一发子弹，该子弹的质量，子弹离开枪口时相对步枪的速度是，射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力，求： (1)射出子弹后皮划艇的速度； (2)射出子弹过程中枪受到的平均反冲作用力（计算结果保留两位有效数字）。 变式2．（25-26高二上·广东佛山·期中）太空“泊车”——航天器的动量魔术。在太空中，中国空间站“天宫”的核心舱（质量为M）正以速度V在预定轨道上平稳运行。一艘质量为m（m远小于M）的天舟货运飞船需要从后方与之对接。对接前，飞船的速度比核心舱稍快，为V+ΔV。为了使两个飞行器平稳、无冲击地对接，飞船不能使用主发动机进行“暴力刹车”，因为那样会消耗过多燃料且难以精确控制。工程师们采用了一种精妙的策略：飞船朝向核心舱的方向，短暂喷射出一股高速气体（可视为一股粒子流）。问： (1)请简要说明工程师应用什么物理知识（原理）实现天舟飞船与核心舱实现同步？ (2)假设喷射出的气体总质量为Δm，其相对于货运飞船的喷射速度为常数u。请推导出在喷射完成后，货运飞船速度的变化量ΔV的表达式。（为简化计算，可忽略核心舱质量因其被喷射气体撞击而产生的微小变化） 考点二 火箭的原理 解题思路点拨：利用向后喷气获得向前反冲推力；以系统动量守恒为核心，结合喷气质量与速度，分析火箭增速、变质量运动规律。 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）火箭的发射应用了反冲的原理，通过喷出燃气的反冲作用而获得巨大的速度.为简化问题研究，忽略燃气喷出过程中火箭重力和空气阻力的影响。 (1)某科技小组将质量为（不含燃料）的火箭模型由静止开始点火升空，燃料平均分为两次燃烧气体喷射（第一次喷射时，另一半燃料储存在火箭箭体中），在很短时间内从火箭喷口喷出，不计两次喷射的时间间隔.每次喷射的燃气相对喷射前火箭箭体的速度大小均为，重力加速度。求： ①第一次燃气喷射后的瞬间火箭动量的大小； ②火箭能够上升的最大高度.（结果保留两位有效数字） (2)现代火箭发动机的喷气速度通常在，为使火箭获得所需的推进速度，需要装载上百吨燃料。假设处于静止状态的火箭总质量为（含燃烧气体质量，燃烧气体总质量为），火箭发动机可以有两种方式喷射燃烧气体：一是在短时间内一次将质量为的燃气喷射出去：二是用较长的时间多次连续喷射，每次喷射质量为的燃气.若两种方式喷出的燃气相对于每一次喷射前火箭箭体的速度大小始终为，试论证哪种喷射方式会使火箭获得更大的速度。 例2．（25-26高二上·广东佛山·期中）烟花表演活动中，机器人手持小型烟花进行燃放。烟花筒总质量为0.5kg（含内部火药），点燃后火药在极短时间内燃烧完毕，产生质量为0.1kg的高温烟花以相对地面50m/s的速度向上喷出，此时机器人手部对烟花筒的平均作用力不超过28N才能保证安全，重力加速度为，不计空气阻力，回答以下问题： (1)火药燃烧结束后，求烟花筒获得的速度； (2)火药燃烧结束后，机器人在0.2s内让烟花筒的速度减为零，求机器人对烟花筒的平均作用力大小；判断机器人手持该烟花燃放是否安全，并说明理由。 例3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）在科技节上，同学们制作了一个“水火箭”，其工作原理是通过压缩空气，将水从火箭尾部的喷嘴高速喷出，产生反作用力。发射前，火箭箭体内密封水的体积V=2.0L； 启动火箭，在Δt=0.5s时间内，箭体内的水以相对于地面v0=20m/s的速度竖直向下喷出。“水火箭”（不含水）的质量M=1kg，水的密度，重力加速度大小取，忽略空气阻力。求： (1)水喷出过程“水火箭”受到的平均推力大小； (2)喷水结束时“水火箭”的速度大小。 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期中）2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量（含燃料）为M，极短时间Δt内喷射的燃气质量是m，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从v0减为v，火星表面的重力加速度为g，求： (1)瞬间喷出的燃气相对火星表面的速率。 (2)极短时间Δt内燃气对着陆器的作用力大小。 变式2．（24-25高二下·安徽·期中）霍尔推进器是一种应用了霍尔效应结构设计的离子推进器。我国的天宫空间站就搭载了4台国产自主研发的LHT-100型霍尔推进器，用来定期给空间站提升轨道高度。其基本原理如图所示，阳极和阴极间存在一加速电场，氙离子从阳极进入加速电场，经电场加速后喷出，形成推力。 (1)在地球上某大型实验室中，若氙离子初速度为零，喷射速度为v，单位时间内喷出氙离子的质量为m，求推进器受到的推力大小F； (2)若空间站上的霍尔推进器某时刻开始启动，在极短时间内喷出氙离子质量是，相对于未喷氙离子时的空间站，喷出离子的速度向后、大小为，喷出氙离子后空间站质量为M。求喷出离子后空间站相对于未喷时增加的速度大小。 考点三 人船模型及其变式 解题思路点拨：系统初动量为零，水平方向动量守恒、平均动量也守恒；利用位移与质量成反比规律，直接列位移关系式求解相对位移、各自位移。 例1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）如图所示，光滑水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为4R的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为0.04，物块与凹槽的质量相等，重力加速度大小为g。 (1)求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时的速度大小； (2)求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使在物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 例2．（25-26高二下·河南·开学考试）如图所示，点为水平地面上一点，点及点左侧的地面粗糙，右侧的地面光滑。在点右侧有一个质量为m、含半径为R的光滑圆轨道的矩形物块，圆轨道的圆心为O，OA、OB分别为水平和竖直方向的半径，轨道内径不计且底部与地面相切。质量为m的小球从O点正上方C点处由静止释放，当小球通过B点时与轨道上侧间的压力大小为3mg，之后小球落在点处（第一次与地面接触），该过程中圆轨道始终在O点右侧运动。当小球与地面发生碰撞后，小球竖直分速度大小不变，方向反向，水平方向小球与地面发生相对滑动但位移不计，碰撞过程中重力不计。已知小球与地面粗糙部分间的动摩擦因数，重力加速度为g，求： (1)C点到A点的距离H； (2)初始时圆轨道左侧到点的距离； (3)小球在点左侧的水平位移x。 例3．（2026·湖北襄阳·一模）如图所示，一质量的小车由水平部分和圆弧轨道组成，长，圆弧的半径，且与水平部分相切于点，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道相切，一质量为的物块从距离轨道底端高为处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为的物块（两物块均可视为质点）发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度。 (1)求物块与物块碰撞后的速度； (2)若碰后运动到点用时，求此过程小车位移； (3)要使物块既可以到达点又不会与小车分离，求与小车部分动摩擦因数的取值范围。 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图甲所示，弹簧发射装置固定于小车上，其发射角度可调。小车与发射装置总质量为5m，置于光滑水平面上。内壁光滑的发射筒水平放置，内置轻质弹簧被压缩并锁定，在弹簧末端静止放置一质量为m的小球，小球离筒口的距离为l。解除锁定，小球由静止弹出，小球运动至筒口时速度为v，弹簧原长小于发射筒长度。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求小球运动至筒口过程中，小车的位移大小x； (2)求弹簧初始的弹性势能Ep1； (3)如图乙所示，发射筒与水平方向成45°角，用外力将小球压至某一位置并锁定，此时小球距筒口距离为l0，解除锁定，小球弹出后离筒口的最大高度为h，求弹簧初始的弹性势能Ep2。 变式2．（25-26高二上·江西九江·期末）如图所示，光滑水平面上静止放有一辆小车，小车由四分之一光滑圆弧部分和粗糙水平部分组成，部分的长度为2.4m，且两者在点平滑连接。现有一可视为质点的小物块从圆心等高点处静止释放，小物块滑到圆弧最低点时的速度大小为，小车质量是物块质量的2倍，已知重力加速度。 (1)求圆弧的半径； (2)若小物块刚好不会从小车上滑下，求小物块在部分与车之间的动摩擦因数； (3)在（2）情景下，求小车和小物块整个过程的位移大小。 考点四 爆炸问题 解题思路点拨：爆炸瞬间内力远大于外力，系统动量守恒；爆炸化学能转化为机械能，动能增加；用动量守恒列速度方程，结合能量关系求解速率、动能分配。 例1．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图所示，在粗糙水平地面上静置着两个物块和，物块和之间夹有少量炸药。已知物块和的质量分别为，物块与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度。现引爆炸药，物块在极短的时间内获得的速度，炸药爆炸释放能量的60%转化为物块、的动能，求： (1)引爆炸药瞬间物块获得的速度大小和炸药释放的能量； (2)物块、间最终增加的距离。 例2．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）在某爆炸实验基地，把质量的爆炸物以一定初速度斜向上发射。当爆炸物速度减为时恰好到达最高点，此时爆炸物炸裂成两块A、B，其中，。经测量发现，A块恰好以原轨迹落回，忽略空气阻力及炸药质量。求： (1)若爆炸时间持续0.004s，则爆炸过程B对A的平均作用力大小； (2)爆炸过程中增加的机械能。 例3．（25-26高三上·广东江门·月考）质量为m的某型号双响爆竹的结构简化图如图所示，其内部结构分上、下两层，分别装载火药。某次在一水平地面上的燃放测试中，点燃引线，下层火药被瞬间引燃后，爆竹获得了竖直升空的初始速度。当爆竹上升到最大高度h处时，上层火药恰好被引燃，爆竹瞬间分裂成质量之比为的P、Q两部分。若P、Q均沿水平方向飞出，落地点间的水平距离为L，不计空气阻力及爆竹爆炸前后的质量变化，重力加速度为g。求： (1)下层火药被引燃后爆竹获得的动量； (2)上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为多少？ 变式1．（25-26高二上·贵州·月考）如图所示，足够长的水平平台离水平地面高H=1.25m，平台边缘处静置着物块A、B（均可视为质点），两物块之间有少量火药（火药的体积忽略不计）。火药爆炸（爆炸时间极短）后，物块A做平抛运动落至地面时到平台边缘的水平距离x=2m。已知物块A、B的质量分别为m1=2kg、m2=1kg，物块B与平台间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)爆炸后瞬间物块A的速度大小v1； (2)爆炸后物块B在平台上运动的距离d； (3)火药爆炸过程中物块A、B增加的机械能E。 变式2．（24-25高二下·云南昆明·月考）如图所示，轨道ABCD中的AB段为光滑圆弧，在B点与水平光滑轨道BC相切，最右侧为足够长的粗糙斜面CD，CD与水平面的夹角为θ=30°，水平轨道BC与倾斜轨道CD在C点平滑连接。在水平轨道BC上静止两小物块a和b，中间锁定一段压缩的轻质弹簧，弹簧与物块均不拴接，其中小物块a的质量为m，小物块b的质量为3m。某时刻将弹簧锁定解除，两物块向两侧弹开后分别滑上斜面CD和圆弧AB。已知物块b第一次到达点时受到的轨道支持力为其自身重力的3倍；物块a第一次经过C点时的速度大小为v0。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求初始弹簧存储的弹性势能； (2)求圆弧AB的半径； (3)若物块a第一次经过C点后沿CD向上滑行的最大高度为，求物块a与斜面CD之间的动摩擦因数以及物块a第二次经过C点时的速度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $动能守恒定律：反冲现象4种高频考点专项训练 动能守恒定律：反冲现象4种高频考点专项训练 考点目录 反冲现象中的动量守恒 火箭的原理 人船模型及其变式 爆炸问题 考点一 反冲现象中的动量守恒 解题思路点拨：系统初始总动量为零，内力远大于外力，全程动量守恒；依据动量守恒列方程，求解分离后各部分速度、位移。 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）一士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量为，该士兵用自动步枪沿水平方向连续射出发子弹，每发子弹的质量均为，子弹离开枪口时相对步枪的速度为。射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力。求： (1)第一次射击后皮划艇的速度大小； (2)第发子弹射击前后，皮划艇速度改变量的大小； (3)若，，，，连续射击10发子弹后，皮划艇的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)0.667 m/s 【详解】（1）第一次射击 解得 （2）同理，第二次射击有 解得 从而可得 第三次射击有 解得 … 以此类推 （3）连续射击后，有 解得 例2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）一架喷气式飞机质量为M，当水平飞行速度大小为v时，开始连续不断向后喷气。每次喷出气体的质量均为m，喷出气体相对飞机的速度大小均为u。求：（可能用到的近似：时，M-nm≈M；n为小于等于10的正整数） (1)第n次喷气时飞机的速度增大了多少? (2)若10m<<M，则第10次喷气后飞机速度多大? (3)若10m<<M，10次喷气所用时间为t，则该过程中飞机受到的平均反冲力多大? 【答案】(1)。 (2)（近似）。 (3) 【详解】（1）飞机喷气过程系统动量守恒，以飞机的速度方向为正方向，设飞机的速度为v，第1次喷气过程，由动量守恒定律得 解得第1次喷气后飞机速度 第2次喷气过程，以飞机的速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得第2次喷气后飞机速度 同理第3次喷气，由动量守恒定律得 解得第3次喷气后飞机速度 同理可得第n次喷气后飞机速度 故第n次喷气后飞机速度增大了 （2）若10m＜＜M，则前10次喷气过程中每次喷气后飞机速度增大量 第10次喷气后飞机速度 （3）前10次喷气过程中，对飞机，由动量定理得 在10m≪M的条件下，可近似认为M-10m≈M，解得飞机受到的平均反冲力大小为 例3．（25-26高二上·安徽六安·月考）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段时间后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： (1)脱离弹簧时A、B的速度大小和； (2)物块与桌面间的动摩擦因数； (3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，A飞出后做平抛运动 由平抛运动的规律，有水平射程 下落高度 联立解得 物块A、B与弹簧作用过程，由题意可知物块A、B受到的滑动摩擦力等大反向，则物块A、B与弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒定律 以向右为正方向，则有 解得 （2）对B脱离弹簧后沿桌面滑行一段时间后停止的过程，根据动量定理得 解得物块与桌面间的动摩擦因数为 （3）物块A、B与弹簧作用过程，A、B运动路程之和等于初始弹簧的压缩量 对此过程由能量守恒与功能关系有 又有， 解得 变式1．（25-26高二上·山东菏泽·期中）一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量，这个士兵用自动步枪在内沿水平方向射出一发子弹，该子弹的质量，子弹离开枪口时相对步枪的速度是，射击前皮划艇是静止的，不考虑水的阻力，求： (1)射出子弹后皮划艇的速度； (2)射出子弹过程中枪受到的平均反冲作用力（计算结果保留两位有效数字）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以速度的方向为正方向，士兵发射一发子弹的过程，根据动量守恒定律得 解得 （2）取皮划艇的运动方向为正方向，根据动量定理得 解得 变式2．（25-26高二上·广东佛山·期中）太空“泊车”——航天器的动量魔术。在太空中，中国空间站“天宫”的核心舱（质量为M）正以速度V在预定轨道上平稳运行。一艘质量为m（m远小于M）的天舟货运飞船需要从后方与之对接。对接前，飞船的速度比核心舱稍快，为V+ΔV。为了使两个飞行器平稳、无冲击地对接，飞船不能使用主发动机进行“暴力刹车”，因为那样会消耗过多燃料且难以精确控制。工程师们采用了一种精妙的策略：飞船朝向核心舱的方向，短暂喷射出一股高速气体（可视为一股粒子流）。问： (1)请简要说明工程师应用什么物理知识（原理）实现天舟飞船与核心舱实现同步？ (2)假设喷射出的气体总质量为Δm，其相对于货运飞船的喷射速度为常数u。请推导出在喷射完成后，货运飞船速度的变化量ΔV的表达式。（为简化计算，可忽略核心舱质量因其被喷射气体撞击而产生的微小变化） 【答案】(1)动量守恒定律 (2)见解析 【详解】（1）工程师应用动量守恒定律实现天舟飞船与核心舱实现同步。 （2）情况1：假设喷射气体后，货运飞船速度大小为，根据动量守恒定律得 可得 所以货运飞船速度的变化量 情况2：假设喷射气体后，货运飞船速度大小为，根据动量守恒定律得 可得 所以货运飞船速度的变化量 考点二 火箭的原理 解题思路点拨：利用向后喷气获得向前反冲推力；以系统动量守恒为核心，结合喷气质量与速度，分析火箭增速、变质量运动规律。 例1．（25-26高二上·广东梅州·期末）火箭的发射应用了反冲的原理，通过喷出燃气的反冲作用而获得巨大的速度.为简化问题研究，忽略燃气喷出过程中火箭重力和空气阻力的影响。 (1)某科技小组将质量为（不含燃料）的火箭模型由静止开始点火升空，燃料平均分为两次燃烧气体喷射（第一次喷射时，另一半燃料储存在火箭箭体中），在很短时间内从火箭喷口喷出，不计两次喷射的时间间隔.每次喷射的燃气相对喷射前火箭箭体的速度大小均为，重力加速度。求： ①第一次燃气喷射后的瞬间火箭动量的大小； ②火箭能够上升的最大高度.（结果保留两位有效数字） (2)现代火箭发动机的喷气速度通常在，为使火箭获得所需的推进速度，需要装载上百吨燃料。假设处于静止状态的火箭总质量为（含燃烧气体质量，燃烧气体总质量为），火箭发动机可以有两种方式喷射燃烧气体：一是在短时间内一次将质量为的燃气喷射出去：二是用较长的时间多次连续喷射，每次喷射质量为的燃气.若两种方式喷出的燃气相对于每一次喷射前火箭箭体的速度大小始终为，试论证哪种喷射方式会使火箭获得更大的速度。 【答案】(1)①；② (2)一次性喷出时使火箭获得的速度更大 【详解】（1）①根据动量守恒可知，在燃气喷出后的瞬间火箭动量的大小等于第一次喷射的燃气动量大小。设每次喷出燃气质量为，相对箭体速度为，由 得 ②设火箭模型质量为，第一次喷射时，根据动量守恒： 得： 第二次喷射时： 得： 火箭做竖直上抛运动： （2）一次性喷出时，根据动量守恒 解得 多次喷出的过程中，根据动量守恒，第一次喷射时 可得 第二次喷射时 解得 第次喷出时 可得  ，累加可得：   可知： 因此一次性喷出时使火箭获得的速度更大。 例2．（25-26高二上·广东佛山·期中）烟花表演活动中，机器人手持小型烟花进行燃放。烟花筒总质量为0.5kg（含内部火药），点燃后火药在极短时间内燃烧完毕，产生质量为0.1kg的高温烟花以相对地面50m/s的速度向上喷出，此时机器人手部对烟花筒的平均作用力不超过28N才能保证安全，重力加速度为，不计空气阻力，回答以下问题： (1)火药燃烧结束后，求烟花筒获得的速度； (2)火药燃烧结束后，机器人在0.2s内让烟花筒的速度减为零，求机器人对烟花筒的平均作用力大小；判断机器人手持该烟花燃放是否安全，并说明理由。 【答案】(1)速度大小12.5m/s，方向竖直向下 (2)29N，不安全 【详解】（1）火药燃烧时，烟花筒与火药系统动量守恒。取竖直向上为正方向，已知火药质量，喷出速度，烟花筒剩余质量 由动量守恒定律得 解得烟花筒获得的速度，负号表示方向竖直向下。 （2）机器人对烟花筒减速过程中，对烟花筒应用动量定理，取向上为正方向 根据动量定理得 解得机器人对烟花筒的平均作用力大小。 因，超出安全限值，故机器人手持该烟花燃放不安全。 例3．（25-26高二上·山东潍坊·期中）在科技节上，同学们制作了一个“水火箭”，其工作原理是通过压缩空气，将水从火箭尾部的喷嘴高速喷出，产生反作用力。发射前，火箭箭体内密封水的体积V=2.0L； 启动火箭，在Δt=0.5s时间内，箭体内的水以相对于地面v0=20m/s的速度竖直向下喷出。“水火箭”（不含水）的质量M=1kg，水的密度，重力加速度大小取，忽略空气阻力。求： (1)水喷出过程“水火箭”受到的平均推力大小； (2)喷水结束时“水火箭”的速度大小。 【答案】(1)60N (2)25m/s 【详解】（1）喷出的水的质量 对喷出的水，取竖直向下为正方向，根据动量定理 解得 根据牛顿第三定律，水对火箭的平均推力 （2）对火箭和水组成的系统，竖直方向动量守恒。取竖直向上为正方向，根据动量定理有 代入数据解得 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期中）2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，中国首次火星探测任务取得圆满成功。携带火星车的着陆器与环绕器分离后，最后阶段利用反推火箭在火星表面实现软着陆，设着陆器总质量（含燃料）为M，极短时间Δt内喷射的燃气质量是m，为使着陆器经一次瞬间喷射燃气后，其下落的速率从v0减为v，火星表面的重力加速度为g，求： (1)瞬间喷出的燃气相对火星表面的速率。 (2)极短时间Δt内燃气对着陆器的作用力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）喷射燃气的过程动量守恒，有 解得 （2）一次瞬间喷射过程中，对燃气根据动量定理有 解得 根据牛顿第三定律可知，极短时间Δt内燃气对着陆器的作用力大小为 变式2．（24-25高二下·安徽·期中）霍尔推进器是一种应用了霍尔效应结构设计的离子推进器。我国的天宫空间站就搭载了4台国产自主研发的LHT-100型霍尔推进器，用来定期给空间站提升轨道高度。其基本原理如图所示，阳极和阴极间存在一加速电场，氙离子从阳极进入加速电场，经电场加速后喷出，形成推力。 (1)在地球上某大型实验室中，若氙离子初速度为零，喷射速度为v，单位时间内喷出氙离子的质量为m，求推进器受到的推力大小F； (2)若空间站上的霍尔推进器某时刻开始启动，在极短时间内喷出氙离子质量是，相对于未喷氙离子时的空间站，喷出离子的速度向后、大小为，喷出氙离子后空间站质量为M。求喷出离子后空间站相对于未喷时增加的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设极短时间内经电场加速后喷出的氙离子，受到作用力为，根据动量定理可得 解得 根据牛顿第三定律，推进器受到的推力大小为 （2）以未喷离子时空间站为参考系，系统总动量为零。根据动量守恒有 解得 考点三 人船模型及其变式 解题思路点拨：系统初动量为零，水平方向动量守恒、平均动量也守恒；利用位移与质量成反比规律，直接列位移关系式求解相对位移、各自位移。 例1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）如图所示，光滑水平面上静置一凹槽，凹槽由两个半径均为R的四分之一光滑圆轨道和一个长度为4R的平直轨道平滑连接而成。现将一小物块从左侧圆轨道顶端的A点由静止释放，已知物块与平直轨道间的动摩擦因数为0.04，物块与凹槽的质量相等，重力加速度大小为g。 (1)求物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时的速度大小； (2)求从物块释放至其最终停止运动，物块的水平位移大小； (3)若水平面粗糙，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使在物块运动过程中凹槽始终保持静止，凹槽与水平面间的动摩擦因数至少多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块与凹槽的质量均为m，物块第一次运动到左侧圆轨道底端B点时，物块速度大小为，凹槽速度大小为，对物块和凹槽组成的系统有 水平方向 解得 （2）系统水平方向动量守恒，故物块与凹槽最终都静止。设物块在平直轨道滑行路程为s，物块水平位移，凹槽水平位移，由能量守恒定律 解得 水平方向有 ，即物块静止在B点右侧R处，由几何关系 解得 （3）物块第一次在圆弧轨道运动，若凹槽没有移动，则凹槽将始终保持静止，设在某个位置，其受轨道支持力F与水平方向夹角为，由机械能守恒定律 设凹槽受到静摩擦力大小为f，地面对其支持力大小为N，水平方向 竖直方向 凹槽始终静止，满足 解得 而，不等式恒成立，由数学知识得 例2．（25-26高二下·河南·开学考试）如图所示，点为水平地面上一点，点及点左侧的地面粗糙，右侧的地面光滑。在点右侧有一个质量为m、含半径为R的光滑圆轨道的矩形物块，圆轨道的圆心为O，OA、OB分别为水平和竖直方向的半径，轨道内径不计且底部与地面相切。质量为m的小球从O点正上方C点处由静止释放，当小球通过B点时与轨道上侧间的压力大小为3mg，之后小球落在点处（第一次与地面接触），该过程中圆轨道始终在O点右侧运动。当小球与地面发生碰撞后，小球竖直分速度大小不变，方向反向，水平方向小球与地面发生相对滑动但位移不计，碰撞过程中重力不计。已知小球与地面粗糙部分间的动摩擦因数，重力加速度为g，求： (1)C点到A点的距离H； (2)初始时圆轨道左侧到点的距离； (3)小球在点左侧的水平位移x。 【答案】(1)2R (2)1.5R (3)2R 【详解】（1）设小球到达B点时，小球和圆轨道的速度分别为v1和v2，则由水平方向动量守恒可知 在B点时 解得 由能量关系 解得H=2R （2）小球做平抛运动 由人船模型可知, 可知 初始时圆轨道左侧到点的距离 （3）小球落到点的水平速度为 竖直速度 反弹时竖直方向 水平方向 解得 第一次弹起后到第二次落地的水平位移 同理可知第二次弹起后水平方向 可得，则水平位移为零。 最终小球在点左侧的水平位移 例3．（2026·湖北襄阳·一模）如图所示，一质量的小车由水平部分和圆弧轨道组成，长，圆弧的半径，且与水平部分相切于点，小车静止时左端与固定的光滑曲面轨道相切，一质量为的物块从距离轨道底端高为处由静止滑下，并与静止在小车左端的质量为的物块（两物块均可视为质点）发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知除了小车段粗糙外，其余所有接触面均光滑，重力加速度。 (1)求物块与物块碰撞后的速度； (2)若碰后运动到点用时，求此过程小车位移； (3)要使物块既可以到达点又不会与小车分离，求与小车部分动摩擦因数的取值范围。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【详解】（1）物块沿滑下，设末速度，由机械能守恒定律得 解得 物块碰撞，取向右为正，碰后速度分别为，由动量守恒得 由机械能守恒得 解得， 故碰撞后瞬间物块的速度为，方向水平向右。 （2）碰后物块从运动到过程，系统水平方向动量守恒，则 等式两边同时乘，然后求和可得 又因为 解得 （3）考虑极限情况： 若物块刚好向右到达点时就与小车共速，由动量守恒定律有 解得   由能量守恒定律得 解得 若物块刚好回到点时与小车共速，由能量守恒定律得 解得 若当物块在圆弧上上升高度为时，二者刚好共速，由能量守恒定律得 解得 因为，所以不会从圆弧轨道上滑出，则的取值范围为 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图甲所示，弹簧发射装置固定于小车上，其发射角度可调。小车与发射装置总质量为5m，置于光滑水平面上。内壁光滑的发射筒水平放置，内置轻质弹簧被压缩并锁定，在弹簧末端静止放置一质量为m的小球，小球离筒口的距离为l。解除锁定，小球由静止弹出，小球运动至筒口时速度为v，弹簧原长小于发射筒长度。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求小球运动至筒口过程中，小车的位移大小x； (2)求弹簧初始的弹性势能Ep1； (3)如图乙所示，发射筒与水平方向成45°角，用外力将小球压至某一位置并锁定，此时小球距筒口距离为l0，解除锁定，小球弹出后离筒口的最大高度为h，求弹簧初始的弹性势能Ep2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球运动至筒口速度为v，小车速度为v1，小球位移为x'，小车位移为x， 系统动量守恒 可得，又 联立解得 （2）以小球的运动方向为正方向，对小车与发射装置、小球组成的系统， 由动量守恒得 由机械能守恒得 解得 （3）小球弹出离开筒口时，水平方向的速度为vx，竖直方向速度为vy 小球竖直方向竖直上抛运动 对小车与发射器、小球组成的系统水平方向动量守恒得 由机械能守恒得 小球相对发射筒与水平方向成45°角射出， 联立解得 变式2．（25-26高二上·江西九江·期末）如图所示，光滑水平面上静止放有一辆小车，小车由四分之一光滑圆弧部分和粗糙水平部分组成，部分的长度为2.4m，且两者在点平滑连接。现有一可视为质点的小物块从圆心等高点处静止释放，小物块滑到圆弧最低点时的速度大小为，小车质量是物块质量的2倍，已知重力加速度。 (1)求圆弧的半径； (2)若小物块刚好不会从小车上滑下，求小物块在部分与车之间的动摩擦因数； (3)在（2）情景下，求小车和小物块整个过程的位移大小。 【答案】(1)1.2m (2)0.5 (3)1.2m， 【详解】（1）M、m组成的系统水平方向动量守恒，当小物块滑到圆弧最低点B时，小物块和小车速度大小分别为和，则 由系统机械能守恒得 联立解得m （2）当小物块刚好运动到C点，速度刚好为零，由系统水平动量守恒可知，此时M速度也为零，由能量守恒得 解得 （3）m、M组成的系统水平方向动量守恒，整个过程m、M水平位移大小分别为和，有 位移关系为 解得， 即小物块水平位移大小是2.4m，竖直位移大小是1.2m，所以小物块位移大小为 考点四 爆炸问题 解题思路点拨：爆炸瞬间内力远大于外力，系统动量守恒；爆炸化学能转化为机械能，动能增加；用动量守恒列速度方程，结合能量关系求解速率、动能分配。 例1．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图所示，在粗糙水平地面上静置着两个物块和，物块和之间夹有少量炸药。已知物块和的质量分别为，物块与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度。现引爆炸药，物块在极短的时间内获得的速度，炸药爆炸释放能量的60%转化为物块、的动能，求： (1)引爆炸药瞬间物块获得的速度大小和炸药释放的能量； (2)物块、间最终增加的距离。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）以水平向左为正，对物块和，由动量守恒定律有 解得 依题意有 解得 （2）由牛顿第二定律有 解得物块和在地面滑行时的加速度大小 由，对物块有 解得 对物块有 解得 则物块、间最终增加的距离 例2．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）在某爆炸实验基地，把质量的爆炸物以一定初速度斜向上发射。当爆炸物速度减为时恰好到达最高点，此时爆炸物炸裂成两块A、B，其中，。经测量发现，A块恰好以原轨迹落回，忽略空气阻力及炸药质量。求： (1)若爆炸时间持续0.004s，则爆炸过程B对A的平均作用力大小； (2)爆炸过程中增加的机械能。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取爆炸物爆炸前运动方向为正方向，爆炸后裂成两块做平抛运动，A块恰好以原轨迹落回，则爆炸后A的速度 对物块A，由动量定理得 解得 （2）在最高点，取爆炸物爆炸前运动方向为正方向，爆炸过程中水平方向动量守恒，由动量守恒定律可得 解得 则爆炸过程增加的机械能等于系统动能的增加量，即 解得 例3．（25-26高三上·广东江门·月考）质量为m的某型号双响爆竹的结构简化图如图所示，其内部结构分上、下两层，分别装载火药。某次在一水平地面上的燃放测试中，点燃引线，下层火药被瞬间引燃后，爆竹获得了竖直升空的初始速度。当爆竹上升到最大高度h处时，上层火药恰好被引燃，爆竹瞬间分裂成质量之比为的P、Q两部分。若P、Q均沿水平方向飞出，落地点间的水平距离为L，不计空气阻力及爆竹爆炸前后的质量变化，重力加速度为g。求： (1)下层火药被引燃后爆竹获得的动量； (2)上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设下层火药被引燃后爆竹的速度大小为v，则 下层火药被引燃后爆竹获得的动量为 解得 （2）引燃上层火药后P、Q两部分向相反的方向做平抛运动，设水平方向初速度分别为、，则竖直方向有 水平方向有 上层火药燃爆时，水平方向动量守恒，取P部分获得的速度方向为正方向，则有 解得， 所以上层火药燃爆后爆竹PQ两部分获得的机械能为 下层火药燃爆后爆竹获得的机械能为 解得 变式1．（25-26高二上·贵州·月考）如图所示，足够长的水平平台离水平地面高H=1.25m，平台边缘处静置着物块A、B（均可视为质点），两物块之间有少量火药（火药的体积忽略不计）。火药爆炸（爆炸时间极短）后，物块A做平抛运动落至地面时到平台边缘的水平距离x=2m。已知物块A、B的质量分别为m1=2kg、m2=1kg，物块B与平台间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)爆炸后瞬间物块A的速度大小v1； (2)爆炸后物块B在平台上运动的距离d； (3)火药爆炸过程中物块A、B增加的机械能E。 【答案】(1)4m/s (2)8m (3)48J 【详解】（1）对物块A由平抛运动的规律可知， 解得v1=4m/s （2）由动量守恒可知 可得v2=8m/s 对B由动能定理 解得d=8m （3）火药爆炸过程中物块A、B增加的机械能 变式2．（24-25高二下·云南昆明·月考）如图所示，轨道ABCD中的AB段为光滑圆弧，在B点与水平光滑轨道BC相切，最右侧为足够长的粗糙斜面CD，CD与水平面的夹角为θ=30°，水平轨道BC与倾斜轨道CD在C点平滑连接。在水平轨道BC上静止两小物块a和b，中间锁定一段压缩的轻质弹簧，弹簧与物块均不拴接，其中小物块a的质量为m，小物块b的质量为3m。某时刻将弹簧锁定解除，两物块向两侧弹开后分别滑上斜面CD和圆弧AB。已知物块b第一次到达点时受到的轨道支持力为其自身重力的3倍；物块a第一次经过C点时的速度大小为v0。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求初始弹簧存储的弹性势能； (2)求圆弧AB的半径； (3)若物块a第一次经过C点后沿CD向上滑行的最大高度为，求物块a与斜面CD之间的动摩擦因数以及物块a第二次经过C点时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）弹簧弹开的过程中动量守恒，有， 弹簧存储的弹性势能全部转化为两物块的动能，则 解得 （2）物块b第一次经过B点时，有， 解得 （3）物块a第一次滑上CD过程，有 解得 从物块a第一次经过C点到第二次经过C点，有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $