1.1 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕集合核心考点，按概念表示、元素关系、集合运算的逻辑架构梳理知识，结合不等式、函数等交汇内容，通过考点梳理、方法指导、真题讲解及分层练习，帮助学生构建系统知识网络，突破易错点辨析与综合应用难点。 资料以数学抽象和逻辑推理为导向，创新设计新定义问题探究与容斥原理应用等教学活动，如通过辨析点集与数集差异培养数学眼光，设置基础巩固到综合应用的分层练习。限时训练融入高考真题，保障复习效率，助力学生提升运算求解能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1　集　合 【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}. (　×　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}. (　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1. (　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B). (　√　) 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 3.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是　　　　.  1.掌握有限集子集个数的结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个. 2.灵活应用两个常用性质 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 3.牢记两个注意点 (1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. (2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} (2)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 【跟踪训练】1　已知a，b∈R，若={a2，a+b，0}，则a2 026+b2 026=　　　　.  题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ (2)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  【跟踪训练】2　(1)(2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是(　　) A.-2或1 B.2或1 C.-2 D.±2或1 (2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若集合M={x|<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. (2)(2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于(　　) A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{4} 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 命题点3　集合的应用 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪训练】3　(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，2] (2)(多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则(　　) A.M∪N={x|-3≤x<4} B.M∩N={x|-2≤x<4} C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞) D.M∩(∁UN)=(-3，-2) (3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  题型四　集合的新定义问题 例6　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A.0，1是任意数域中的元素 B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N 【跟踪训练】4　(多选)(2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则(　　) A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞) B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞) C.A·(∁RB)=[4，7] D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞) 【限时训练】 （60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于(　　) A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} 2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 5.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{2，3} D.[2，3] 7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M=∅，则实数p的可能取值为(　　) A.0 B.-3 C.3 D. 11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是(　　) A.集合A={-1，0，1，2，3} B.集合A的非空真子集的个数是62 C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞) D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2) 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=　　　　.  【答案】{x|4≤x≤5} 【解析】根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5}. 13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为　　　　.  14.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则 (1)集合A2(6)中的元素个数为　　　　；  (2)若A6(p)中的元素个数为56，则p的值为　　　　.  [每小题5分，共10分] 15.(2020·浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足： ①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T； ②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S. 下列命题正确的是(　　) A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素 16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为　　　　　　；  (2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.  成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 学科网（北京）股份有限公司 $成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1　集　合 【高考预测】预测2027年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与运算求解能力的考查。 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}. (　×　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}. (　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1. (　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B). (　√　) 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以∁UA={2，4，6，7，8}，故∁UA中元素的个数为5. 3.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 【答案】A 【解析】由题意可得M∪N={x|x<2}， 则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确； ∁UM={x|x≥1}， 则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误； M∩N={x|-1<x<1}， 则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误； ∁UN={x|x≤-1或x≥2}， 则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误. 4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(-∞，-1] 【解析】因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1. 1.掌握有限集子集个数的结论 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个. 2.灵活应用两个常用性质 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 3.牢记两个注意点 (1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. (2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M={3，-1}，P={(3，-1)} B.M={(3，1)}，P={(1，3)} C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R} D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R} 【答案】ABD 【解析】选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P； 选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. (2)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8 【答案】D 【解析】由题意，若a2-2a+1=4，解得a=3或a=-1，若a-4=4，解得a=8， 当a=-1时，A={-1，4，-5}满足题意； 当a=3时，A={-1，4，-1}违背了集合中元素间的互异性； 当a=8时，A={-1，4，49}满足题意， 综上所述，a的值可能为-1，8. 【思维升华】解决集合含义问题的关键点 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 【跟踪训练】1　已知a，b∈R，若={a2，a+b，0}，则a2 026+b2 026=　　　　.  【答案】1 【解析】由已知得a≠0，则=0，所以b=0， 于是a2=1，即a=1或a=-1， 又由集合中元素的互异性知，a=1应舍去，故a=-1， 所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A.A=B B.B⊆A C.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅ 【答案】C 【解析】因为集合A，B满足A⊆(A∩B)， 故可得A⊆B， 对A，当A为B的真子集时，不成立； 对B，当A为B的真子集时，也不成立； 对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立； 对D，当A为B的真子集时，不成立. (2)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  【答案】(-∞，2)∪(6，+∞) 【解析】①当B≠∅时，m+1≤2m-1，即m≥2，因为集合A={x|-2≤x≤7}， B={x|m+1≤x≤2m-1}，则∁UB={x|x<m+1或x>2m-1}， 又A⊆∁UB，则m+1>7或2m-1<-2，解得m>6或m<-，又m≥2，所以m>6； ②当B=∅时，m+1>2m-1，即m<2，此时∁UB=R，符合题意. 综上所述，实数m的取值范围为m<2或m>6. 【思维升华】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 【跟踪训练】2　(1)(2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是(　　) A.-2或1 B.2或1 C.-2 D.±2或1 【答案】D 【解析】因为集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则集合A只有一个元素， 即关于x的方程(m-2)x2+2mx-1=0只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当m-2=0，即m=2时，原方程为4x-1=0，解得x=，符合题意； 当m-2≠0，即m≠2时，则Δ=4m2+4(m-2)=4(m2+m-2)=0， 解得m=1或m=-2. 综上所述，m=±2或1. (2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】BCD 【解析】当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0； 当N≠∅时，m≠0， 解mx=1可得，x=. 因为N⊆M，所以=-1或=1. 当=-1时，m=-1； 当=1时，m=1. 综上所述，m=0或m=-1或m=1. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若集合M={x|<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. 【答案】D 【解析】因为M={x|<4}，所以M={x|0≤x<16}； 因为N={x|3x≥1}，所以N=. 所以M∩N=，故选D. (2)(2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于(　　) A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{4} 【答案】D 【解析】由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}， 又集合U={1，2，3，4，5}， 故∁U(A∪B)={4}. 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 【答案】B 【解析】由题可知A={x|y=ln(1-x2)} ={x|-1<x<1}， ∁RA={x|x≤-1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B=R，得a≥1. 【思维升华】对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 命题点3　集合的应用 (链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去. 我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A=｛a，b，c｝，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】设集合A={x|x是参加足球队的学生}， 集合B={x|x是参加排球队的学生}， 集合C={x|x是参加游泳队的学生}， 则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24， card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9. 设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46， 所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)， 即46=25+22+24-12-8-9+m， 解得m=4， 故三项都参加的有4人. 【思维升华】在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性. 【跟踪训练】3　(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，2] 【答案】B 【解析】由A∩B=A知A⊆B， 又A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，所以a≥2. (2)(多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则(　　) A.M∪N={x|-3≤x<4} B.M∩N={x|-2≤x<4} C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞) D.M∩(∁UN)=(-3，-2) 【答案】BC 【解析】由x2-2x-8≤0，得-2≤x≤4，所以N={x|-2≤x≤4}， 对于选项A，M∪N={x|-3≤x≤4}，故A错误； 对于选项B，M∩N={x|-2≤x<4}，故B正确； 对于选项C，由于∁UM=(-∞，-3)∪[4，+∞)，故(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)，故C正确； 对于选项D，由于∁UN=(-∞，-2)∪(4，+∞)，故M∩(∁UN)=[-3，-2)，故D错误. (3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　.  【答案】281 【解析】由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合， 则card(A)=203，card(B)=179，card(C)=165， card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，card(A∩B∩C)=90， 因此card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C) -card(A∩C)+card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281. 所以参加竞赛的学生总人数是281. 题型四　集合的新定义问题 例6　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F={a+b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A.0，1是任意数域中的元素 B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q⊆M∩N 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个非零元素a∈P，所以有a-a=0∈P，=1∈P，故A正确； 对于B选项，假设数域M={a+b|a，b∈Q}，N={a+b|a，b∈Q}，则当x=∈M，y=∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=+∉M且x+y=+∉N， 故x+y=+∉M∪N，故B错误； 对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z， 集合P={a+b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确； 对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P. 因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差， 故所有整数都属于数域P， 又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P， 所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D正确. 【思维升华】此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力. 【跟踪训练】4　(多选)(2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则(　　) A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞) B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞) C.A·(∁RB)=[4，7] D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞) 【答案】ABD 【解析】∵A=(-1，4]，B=[0，7)， ∴A∪B=(-1，7)，A∩B=[0，4]， ∴A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)， A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)，选项A，B正确； ∵∁RB=(-∞，0)∪[7，+∞)， ∴A∪(∁RB)=(-∞，4]∪[7，+∞)， ∴A·(∁RB)=(4，7)，选项C错误； ∵∁RA=(-∞，-1]∪(4，+∞)， ∴(∁RA)∩B=(4，7)，∴(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)，选项D正确. 【限时训练】 （60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于(　　) A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} 【答案】D 【解析】B={x|x3=x}={x|x(x2-1)=0}={0，-1，1}，故A∩B={0，1}. 2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x=3k，k∈Z} B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} D.∅ 【答案】A 【解析】方法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}， N={…，-1，2，5，8，11，…}， 所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}， 所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}. 方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【解析】因为集合B={x|x(1-x)>0}={x|0<x<1}， 且e>1，0<log0.20.3<1，20.2>1，可得A∩B={log0.20.3}， 所以A∩B的子集的个数为2. 4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 【答案】D 【解析】当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意； 当a≠0时，则ax2-2x+1=0满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1. 综上，实数a的值为0或1. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 【答案】B 【解析】若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. 6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{2，3} D.[2，3] 【答案】C 【解析】由(x+2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，所以B={-2，-1，0，1}， 又全集U={-2，-1，0，1，2，3}，A={1，2，3}，所以图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={2，3}. 7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 【答案】C 【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%. 8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【解析】当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}； 当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　) A.A∩B=∅ B.A⊆(A∪B) C.(∁UA)∪A=U D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B) 【答案】BCD 【解析】如图所示，A∩B≠∅，A选项错误； A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A=U，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，BCD选项正确. 10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M=∅，则实数p的可能取值为(　　) A.0 B.-3 C.3 D. 【答案】ACD 【解析】当A=∅时，Δ=p2-4<0，解得-2<p<2； 当A≠∅，即p≤-2或p≥2时，此时方程x2+px+1=0的两个根x1，x2需满足小于等于0， 则x1x2=1>0，x1+x2=-p<0，得p>0， ∴p≥2， 综上，p>-2. 11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是(　　) A.集合A={-1，0，1，2，3} B.集合A的非空真子集的个数是62 C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞) D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2) 【答案】BCD 【解析】当-1.1<x<-1时，y=[x]=-2， 当-1≤x<0时，y=[x]=-1， 当0≤x<1时，y=[x]=0， 当1≤x<2时，y=[x]=1， 当2≤x<3时，y=[x]=2， 当3≤x≤3.2时，y=[x]=3， 所以A={-2，-1，0，1，2，3}，集合A的非空真子集有26-2=62(个)，故A错误，B正确； 若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以m≥3，C正确； 若A∩B=∅，当B=∅时，m<-10； 当B≠∅时，解得-10≤m<-2. 综上，m<-2，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=　　　　.  【答案】{x|4≤x≤5} 【解析】根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5}. 13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】 【解析】因为A为非空集合，则a-1<2a+3， 解得a>-4，∁RB={x|x<-2或x>4}， 若A∩(∁RB)=A，则A⊆(∁RB)， 则2a+3≤-2或a-1≥4， 解得a≤-或a≥5， 综上所述，实数a的取值范围为. 14.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则 (1)集合A2(6)中的元素个数为　　　　；  (2)若A6(p)中的元素个数为56，则p的值为　　　　.  【答案】(1)5　(2)9 【解析】(1)集合A2(6)中的元素满足a1+a2=6，且a1，a2∈A，列举满足条件的(a1，a2)组合，共有5种，A2(6)={(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，即集合中有5个元素. (2)A6(p)中的元素满足a1+a2+a3+a4+a5+a6=p，且a1，a2，a3，a4，a5，a6∈A， 利用组合数公式，将问题转化为将p个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是a1，a2，a3，a4，a5，a6， 应用隔板法，每个盒子中至少有1个小球有种分法， 由=56，得p=9，经检验，此时必有a1，a2，a3，a4，a5，a6∈A，符合题意. [每小题5分，共10分] 15.(2020·浙江)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足： ①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T； ②对于任意的x，y∈T，若x<y，则∈S. 下列命题正确的是(　　) A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【解析】由题意，①令S={1，2，4}，则T={2，4，8}， 此时，S∪T={1，2，4，8}，有4个元素； ②令S={2，4，8}，则T={8，16，32}， 此时S∪T={2，4，8，16，32}，有5个元素； ③令S={2，4，8，16}，则T={8，16，32，64，128}， 此时，S∪T={2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素. 综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D； 由③可知A正确. 16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为　　　　　　；  (2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.  【答案】(1)100110　(2)4 【解析】(1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}， 所以∁UN={1，4，5}，所以∁UN表示的6位字符串为100110. (2)因为集合A∪B表示的字符串为011011， 所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}， 所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}， 即满足条件的集合A的个数为4. 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 学科网（北京）股份有限公司 $